第三節用樣本估計總體【最新考綱】1.了解分布的意義與作用，能根據概率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點.2.理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差.3.能從樣本數據中提取基本的數字特征(如平均數、標準差)，并做出合理的解釋.4.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征．理解用樣本估計總體的思想，并用樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題．1．頻率分布直方圖①頻率分布表的畫法第一步：求極差，決定組數和組距，組距＝eq\f(極差,組數)；第二步：分組，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間；第三步：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表．②頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數據，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內的頻率．2．莖葉圖統計中還有一種被用來表示數據的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數．3．樣本的數字特征1．(質疑夯基)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平均數，眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢．()(2)一組數據的方差越大，說明這組數據越集中．()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數據落在該區間的頻率越高．()(4)莖葉圖一般左側的葉按從大到小的順序寫，右側的葉按從小到大的順序寫，相同的數據可以只記一次．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2.若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數據的中位數和平均數分別是()A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和92解析：這組數據由小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，96.∴中位數是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.答案：A3．(2014·山東卷)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗．所有志愿者的舒張壓數據(單位：kPa)的分組區間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組．下圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數為()A．6B．8C．12D．解析：全體志愿者共有：eq\f(20,（0.24＋0.16）×1)＝50(人)，所以第三組有志愿者：0.36×1×50＝18(人)，∵第三組中沒有療效的有6人，∴有療效的有18－6＝12(人)．答案：C4．(2015·廣東卷)已知樣本數據x1，x2，…，xn的均值eq\o(x,\s\up6(－))＝5，則樣本數據2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值為________．解析：由條件知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，則所求均值eq\o(x,\s\up6(－))0＝eq\f(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1,n)＝eq\f(2（x1＋x2＋…＋xn）＋n,n)＝2eq\o(x,\s\up6(－))＋1＝2×5＋1＝11.答案：115．(2016·鄭州調研)抽樣統計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環)，結果如下：運動員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________．解析：易知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝90.則seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.答案：2一種思想用樣本估計總體是統計的基本思想．兩點注意1．頻率分布直方圖與統計條形圖不同．2．(1)眾數、中位數及平均數都是描述一組數據集中趨勢的量，平均數是最重要的量，與每個樣本數據有關，這是中位數、眾數所不具有的性質．(2)標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小．標準差、方差越大，數據的離散程度就越大．三個特征利用頻率分布直方圖估計樣本的數字特征：1．中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數．2．平均數：平均數的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標之和．3．眾數：最高的矩形的中點的橫坐標．A級基礎鞏固一、選擇題1．(2015·湖北卷)我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為()A．134石B．169石C．338石D．1365石解析：254粒和1543石中夾谷的百分比含量是大致相同的，可據此估計這批米內夾谷的數量．設1534石米內夾谷x石，則由題意知eq\f(x,1534)＝eq\f(28,254)，解得x≈169.故這批米內夾谷約為169石．答案：B2．(2015·重慶卷)重慶市2013年各月的平均氣溫(℃)數據的莖葉圖如右圖，則這組數據的中位數是()A．19B．20C．21.5D．23解析：由莖葉圖可知這組數據由小到大依次為8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，所以中位數為eq\f(20＋20,2)＝20.答案：B3．某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學生600名，據此估計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數為()A．588B．480C．450D．120解析：不少于60分的學生的頻率為：(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，∴該模塊測試成績不少于60分的學生人數應為600×0.8＝480.答案：B4.(2016·濟南質檢)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數的平均分為91，現場做的9個分數的莖葉圖后來有一個數據模糊，無法辨認，在圖中以x表示：則7個剩余分數的方差為()A.eq\f(116,9)B.eq\f(36,7)C．36D.eq\f(6\r(7),7)解析：這組數據為87，87，94，90，91，90，90＋x，99，91，最高分為99，最低分為87，剩余數據為87，94，90，91，90，90＋x，91.eq\f(87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋91,7)＝91，所以x＝4.方差為答案：B5．(2014·陜西卷)某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為eq\o(x,\s\up6(－))和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為()A.eq\o(x,\s\up6(－))，s2＋1002B.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2＋1002C.eq\o(x,\s\up6(－))，s2D.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2解析：eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)＝eq\o(x,\s\up6(－))，yi＝xi＋100，所以y1，y2，…，y10的均值為eq\o(x,\s\up6(－))＋100，方差不變．答案：D二、填空題6．(2016·鄭州質檢)已知甲、乙兩組數據如莖葉圖所示，若它們的中位數相同，平均數也相同，則圖中的m、n的比值eq\f(m,n)＝________．解析：由莖葉圖可知甲的數據為27、30＋m、39，乙的數據為20＋n、32、34、38.由此可知乙的中位數是33，則30＋m＝33，∴m＝3.由此可以得出甲的平均數為33，所以乙的平均數也為33，所以有eq\f(20＋n＋32＋34＋38,4)＝33，所以n＝8，所以eq\f(m,n)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)7．抽樣統計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環)，結果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________．解析：由表中數據計算可得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝90，且seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，故乙的成績較為穩定，其方差為2.答案：28．(2015·湖北卷)某電子商務公司對10000名網絡購物者2014年度的消費情況進行統計，發現消費金額(單位：萬元)都在區間[0.3，0.9]內，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購物者中，消費金額在區間[0.5，0.9]內的購物者的人數為________．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)區間[0.3，0.5)內的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，[0.5，0.9]內的頻率為1－0.4＝0.6.因此，消費金額在區間[0.5，0.9]內的購物者的人數為0.6×10000＝6000.答案：(1)3(2)6000三、解答題9．(2016·北京東城區調研)從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間(單位：小時)的數據，整理得到數據分組及頻數分布表和頻率分布直方圖：(1)從該校隨機選取一名學生，試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率；(2)求頻率分布直方圖中的a，b的值；(3)假設同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替，試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數在第幾組(只需寫出結論)解：(1)根據頻數分布表，100名學生中課外閱讀時間不少于12小時的學生共有6＋2＋2＝10(名)．所以樣本中的學生課外閱讀時間少于12小時的頻率是1－eq\f(10,100)＝0.9.從該校隨機選取一名學生，估計其課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9.(2)課外閱讀時間落在組[4，6)的有17人，頻率為0.17，所以a＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.17,2)＝0.085.課外閱讀時間落在組[8，10)的有25人，頻率為0.25，所以b＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.25,2)＝0.125.(3)樣本中的100名學生中課外閱讀時間的平均數在第4組．10．(2014·廣東卷)某車間20名工人年齡數據如下表：(1)求這20名工人年齡的眾數與極差；(2)以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3)求這20名工人年齡的方差．解：(1)這20名工人年齡的眾數為：30；這20名工人年齡的極差為：40－19＝21.(2)以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖如下：(3)這20名工人年齡的平均數為：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；所以這20名工人年齡的方差為：eq\f(1,20)(30－19)2＋eq\f(3,20)(30－28)2＋eq\f(3,20)(30－29)2＋eq\f(5,20)(30－30)2＋eq\f(4,20)(30－31)2＋eq\f(3,20)(30－32)2＋eq\f(1,20)(30－40)2＝12.6.B級能力提升1．(2016·衡水中學質檢)某高校進行自主招生，先從報名者中篩選出400人參加筆試，再按筆試成績擇優選出100人參加面試．現隨機調查了24名筆試者的成績，如下表所示：據此估計允許參加面試的分數線大約是()A．75B．80C．85D．解析：因為參加筆試的400人中擇優選出100人，故每個人被擇優選出的概率P＝eq\f(100,400)＝eq\f(1,4)，因為隨機調查24名筆試者，則估計能夠參加面試的人數為24×eq\f(1,4)＝6，觀察表格可知，分數在[80，85)有5人，分數在[85，90)的有1人，故面試的分數線大約為80分．答案：B2．(2015·安徽高考改編)若樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為8，則數據2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標準差為________．解析：已知樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為s＝8，則s2＝64，數據2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標準差為eq\r(22×64)＝2×8＝16.答案：163．(經典再現)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)．試驗的觀測結果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.52．52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.41．60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？(2)根據兩組數據完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？解：(1)設A藥觀測數據的平均數為eq\o(x