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10.2偏導數10.2.1偏導數的概念及其計算法

例如,二元函數

z=f(x,y),先讓

y固定

(即y為了一元函數的變化率,我們引入了導數的概念.對于多元函數,我們先考慮它關于一個自變量的變化率.稱為二元函數

z

對

x的偏導數.視為常數),這時z就是

x的一元函數,z對

x的導數,設二元函數z=f(x,y),P0(x0,y0)為平面上一點.定義1如果z=f(x,y0)在x0的某一鄰域內有定義且在x0點即極限存在,則稱此極限為函數對x的偏導數,記為或可導,同理,可定義函數

在點

處對y的偏導數為記為或的偏導數,

如果函數

z=f(x,y)在區域D

內任一點

(x,y)處那么這個偏導數就是x、y的

同理,可以定義函數

對自變量

y簡稱偏導數.函數,記作或記作或有時也會記做.請注意根據上下文區分.對x的偏導數都存在,

稱其為函數z=f(x,y)對自變量

x的偏導函數，求多元函數的偏導數并不需要新的方法,利用一元函數的求導法對x求導即可.解例1求

在點

處的偏導數．如求只需將y看作常量,證證畢．例2

設證明偏導數的概念可以推廣到二元以上函數如

在

處

解利用函數關于自變量的對稱性,有例3

求的偏導數.證例4

已知理想氣體的狀態方程(R

為常數),求證:設二元函數在點有如圖,為曲面偏導數.上的一點,過點作平面此平面與曲面相交得一曲線,曲線的方程為由于偏導數等于一元函數的導數故由一元函數導數的幾何意義10.2.2偏導數的幾何意義可知:偏導數在幾何上表示曲線在點處的切線對x軸的斜率;偏導數在幾何上表示曲線在點處的切線對y軸的斜率.例5

求曲線在點(2,4,5)處的切線與x軸正向所成的傾角.解因所以有關偏導數的幾點說明:例6解1.偏導數

是一個整體記號,不能拆分;2.分界點、不連續點處的偏導數要用定義求;按定義得一元函數中在某點可導

連續，偏導數存在與連續的關系？但函數在該點處并不連續.偏導數存在

連續.多元函數中在某點偏導數存在

連續，在(0,0)處,例如,函數例7研究函數在(0,0)點的解因為連續性與可導性.

所以,函數在(0,0)點連續.

而所以,純偏導混合偏導定義二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數.10.2.3高階偏導數函數的二階偏導數為證利用函數關于自變量的對稱性,有例8

設拉普拉斯方程驗證函數u滿足因此解例9

求的四個二階偏導數.

問題:混合偏導數都相等嗎?怎樣的條件才相等?驗證解例10設因此一般地,多元函數的高階混合偏導數如果連續就與求導次序無

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