PAGE第四章三角函數(shù)、解三角形其次講三角恒等變換練好題﹒考點(diǎn)自測(cè)1.[新課標(biāo)全國Ⅰ,5分]sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE2.[2024全國卷Ⅲ,5分]已知2tanθ-tan(θ+QUOTE)=7,則tanθ= ()A.-2 B.-1 C.1 D.23.[2024大同市調(diào)研測(cè)試]已知tanQUOTE=3,則QUOTE=()A.3 B.QUOTE C.-3 D.-QUOTE4.[2024全國卷Ⅱ,5分]已知α∈(0,QUOTE),2sin2α=cos2α+1,則sinα= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE5.[多選題]下列說法正確的是 ()A.兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是隨意的B.存在實(shí)數(shù)α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立C.公式tan(α+β)=QUOTE可以變形為tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且對(duì)隨意角α,β都成立D.存在實(shí)數(shù)α,使tan2α=2tanα6.tan67.5°-tan22.5°=.

7.[2024江蘇,5分]已知QUOTE=-QUOTE,則sin(2α+QUOTE)的值是.

拓展變式1.[2024全國卷Ⅲ,5分]已知sinθ+sin(θ+QUOTE)=1,則sin(θ+QUOTE)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.QUOTE-sin10°(QUOTE-tan5°)=.

3.已知α∈(0,π),化簡(jiǎn):QUOTE=.

4.[2024陜西省部分學(xué)校摸底檢測(cè)]數(shù)學(xué)家華羅庚提倡的“0.618優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛,0.618就是黃金分割比m=QUOTE的近似值,黃金分割比還可以表示成2sin18°,則QUOTE= ()A.4 B.QUOTE+1 C.2 D.QUOTE-15.[2024云南省部分學(xué)校統(tǒng)一檢測(cè)]已知α為銳角,cosα=QUOTE,則tan(QUOTE+QUOTE)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.36.(1)已知α∈(0,QUOTE),β∈(0,QUOTE),tanα=QUOTE,則 ()A.α+β=QUOTE B.α-β=QUOTE C.α+β=QUOTE D.α+2β=QUOTE(2)已知α,β為銳角,且(1-QUOTEtanα)·(1-QUOTEtanβ)=4,則α+β=.

7.已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=QUOTE,則tanθ的值為.

答案其次講三角恒等變換1.D原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=QUOTE.故選D.2.D由已知得2tanθ-QUOTE=7,解得tanθ=2.3.B因?yàn)閠anQUOTE=3,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故選B.4.B因?yàn)?sin2α=cos2α+1,所以4sinαcosα=2cos2α.因?yàn)棣痢?0,QUOTE),所以cosα>0,sinα>0,所以2sinα=cosα,所以4sin2α=cos2α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即sin2α=QUOTE,所以sinα=QUOTE.故選B.5.ABD易知ABD正確,對(duì)于C,只有當(dāng)α,β,α+β都不等于kπ+QUOTE(k∈Z)時(shí),公式才成立,C錯(cuò)誤,選ABD.6.2由tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)得tan67.5°-tan22.5°=tan45°(1+tan67.5°tan22.5°)=tan45°(1+tan67.5°·QUOTE)=1×2=2.7.QUOTEQUOTE=QUOTE=-QUOTE,解得tanα=2或tanα=-QUOTE.當(dāng)tanα=2時(shí),sin2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE,cos2α=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,此時(shí)sin2α+cos2α=QUOTE.同理當(dāng)tanα=-QUOTE時(shí),sin2α=-QUOTE,cos2α=QUOTE,此時(shí)sin2α+cos2α=QUOTE.所以sin(2α+QUOTE)=QUOTE(sin2α+cos2α)=QUOTE.1.B∵sinθ+sin(θ+QUOTE)=QUOTEsinθ+QUOTEcosθ=QUOTEsin(θ+QUOTE)=1,∴sin(θ+QUOTE)=QUOTE,故選B.2.QUOTE原式=QUOTE-sin10°·(QUOTE-QUOTE)=QUOTE-sin10°·QUOTE=QUOTE-sin10°·QUOTE=QUOTE-2cos10°=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.cosα原式=QUOTE.因?yàn)棣痢?0,π),所以cosQUOTE>0,所以原式=QUOTE=(cosQUOTE+sinQUOTE)·(cosQUOTE-sinQUOTE)=cos2QUOTE-sin2QUOTE=cosα.4.C∵m=QUOTE=2sin18°,∴QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,故選C.5.D解法一因?yàn)棣翞殇J角,且cosα=QUOTE,所以sinα=QUOTE,tanQUOTE=QUOTE=QUOTE.tan(QUOTE+QUOTE)=QUOTE=QUOTE=3.故選D.解法二因?yàn)棣翞殇J角,且cosα=QUOTE,所以sinα=QUOTE,所以tanα=QUOTE=QUOTE,解得tanQUOTE=QUOTE或tanQUOTE=-2(舍去),所以tan(QUOTE+QUOTE)=QUOTE=QUOTE=3.故選D.6.(1)B解法一已知等式可化為QUOTE=QUOTE,即sinα(1-sin2β)=cosαcos2β,整理得cosαcos2β+sinαsin2β=sinα,即cos(α-2β)=sinα.因?yàn)棣痢?0,QUOTE),β∈(0,QUOTE),所以α-2β∈(-π,QUOTE).又cos(α-2β)=sinα>0,所以α-2β∈(-QUOTE,QUOTE).又cos(α-2β)=sin[(α-2β)+QUOTE],且α-2β+QUOTE∈(0,π),α∈(0,QUOTE),所以α-2β+QUOTE=α或α-2β+QUOTE=π-α.當(dāng)α-2β+QUOTE=α?xí)r,β=QUOTE,此時(shí)1-sin2β=0,已知等式無意義,不符合題意,舍去;當(dāng)α-2β+QUOTE=π-α?xí)r,α-β=QUOTE.故選B.解法二tanα=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=tan(QUOTE+β).因?yàn)棣痢?0,QUOTE),β∈(0,QUOTE),所以α=QUOTE+β,即α-β=QUOTE.故選B.(2)QUOTE將(1-QUOTEtanα)(1-QUOTEtanβ)=4綻開,得-QUOTE(tanα+tanβ)=3(1-tanα·tanβ),即QUOTE=tan(α+β)=-QUOTE,由于α,β為銳角,所以0<α+β<π,故α+β=QUOTE.7.-QUOTE解法一將sinθ+cosθ=QUOTE兩邊同時(shí)平方,得1+2sinθcosθ=1-QUOTE,即sinθcosθ=-QUOTE,易知θ≠Q(mào)UOTE.故sinθcosθ=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,解得tanθ=-QUOTE或tanθ=-QUOTE.∵θ∈(0,π),sinθcosθ=-QUOTE<0,∴θ∈(QUOTE,π).由sinθ+cosθ=QUOTE>0可知sinθ>-cosθ,即|sinθ|>|cosθ|,故θ∈(QUOTE,QUOTE),(題中隱含條件挖掘)則tanθ<-1,∴tan