第十章

第1節分類加法計數原理與分步乘法計數原理知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業內容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎回扣知識1知識梳理///////1．分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．m＋n2．分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．m×n3．分類加法和分步乘法計數原理，區別在于：分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終．1．分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類．2．分步乘法計數原理中，各個步驟相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”．1．判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”) (1)在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． (

) (2)在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(

) (3)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(

) (4)在分步乘法計數原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事． (

)

解析

分類加法計數原理，每類方案中的方法都是不同的，每一種方法都能完成這件事；分步乘法計數原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)，(4)均不正確．×

×

√

√

2．現有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有 (

) A．24種 B．30種

C．36種 D．48種 解析需要先給C塊著色，有4種結果；再給A塊著色，有3種結果；再給B塊著色，有2種結果；最后給D塊著色，有2種結果， 由分步乘法計數原理知共有4×3×2×2＝48(種)．D

3．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．從書架中任取1本書，則不同取法的種數為

________． 解析

從書架上任取1本書，有三類方法：第1類方法是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種方法． 根據分類加法計數原理，不同取法的種數是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9.9

4．(2020·重慶診斷)將3張不同的冬奧會門票分給10名同學中的3人，每人1張，不同的分法種數為 (

) A．720B．240C．120D．60

解析

將3張不同的門票分給10名同學中的3人，每人1張，可分三步：第一步，第1張門票有10種不同的分法；第二步，第2張門票有9種不同的分法；第三步，第3張門票有8種不同的分法，由分步乘法計數原理得，共有10×9×8＝720種不同分法．A

5．(2021·武漢模擬)中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種．現有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學哪個吉祥物都喜歡，如果讓三位同學選取禮物都滿意，則選法有 (

) A．30種B．50種C．60種D．90種 解析①若甲同學選擇牛，則乙有2種選擇，丙有10種選擇，選法有1×2×10＝20種； ②若甲同學選擇馬，則乙有3種選擇，丙有10種選擇，選法有1×3×10＝30種， 所以共有20＋30＝50種選法．故選B.B

B

考點分層突破題型剖析考點聚焦21．從甲地到乙地有三種方式可以到達．每天有8班汽車、2班火車和2班飛機．一天一人從甲地去乙地，共有________種不同的方法． 解析

分三類：一類是乘汽車有8種方法；一類是乘火車有2種方法；一類是乘飛機有2種方法，由分類加法計數原理知，共有8＋2＋2＝12(種)方法．考點一分類加法計數原理的應用///////自主演練12

2．如果把個位數是1，且恰有3個數字相同的四位數叫作“好數”，那么在由1，2，3，4四個數字組成的有重復數字的四位數中，“好數”共有________

個(用數字作答)． 解析

當組成的數字有三個1，三個2，三個3，三個4時，共有4種情況．當有三個1時：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9種；當有三個2，3，4時：2221，3331，4441，有3種，根據分類加法計數原理可知，共有12種結果．12

3．滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為________． 解析當a＝0時，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的個數為4；當a≠0時，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實數解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.

若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的個數為4； 若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，(a，b)的個數為3； 若a＝2，則b的值可以是－1，0，(a，b)的個數為2.

由分類加法計數原理可知，(a，b)的個數為4＋4＋3＋2＝13.13

分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置．(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準．(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復．(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏．感悟升華【例1】有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法(六名同學不一定都能參加？

(1)每人只參加一項，每項人數不限；

(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；

(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限． 解

(1)每人都可以從三個競賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種)．

(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．

(3)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六名同學中選出一人參賽，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種)．考點二分步乘法計數原理的應用///////師生共研1.利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．2.分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成．感悟升華【訓練1】(1)如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為 (

) A．24B．18C．12D．9

解析

分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑． 由分步乘法計數原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑．故選B.B

(2)如圖，某電子器件由3個電阻串聯而成，形成回路，其中有6個焊接點A，B，C，D，E，F，如果焊接點脫落，整個電路就會不通．現發現電路不通，那么焊接點脫落的可能情況共有________種．63

解析

因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個焊接點脫落，則電路就不通，故共有26－1＝63種可能情況．【例2】用0，1，2，3，4，5，6這7個數字可以組成________個無重復數字的四位偶數(用數字作答)． 解析要完成的“一件事”為“組成無重復數字的四位偶數”，所以千位數字不能為0，個位數字必須是偶數，且組成的四位數中四個數字不重復，因此應先分類，再分步． ①第1類，當千位數字為奇數，即取1，3，5中的任意一個時，個位數字可取0，2，4，6中的任意一個，百位數字不能取與這兩個數字重復的數字，十位數字不能取與這三個數字重復的數字． 根據分步乘法計數原理，有3×4×5×4＝240(種)取法．考點三兩個計數原理的綜合應用///////多維探究角度1與數字有關的問題420

②第2類，當千位數字為偶數，即取2，4，6中的任意一個時，個位數字可以取除首位數字的任意一個偶數數字，百位數字不能取與這兩個數字重復的數字，十位數字不能取與這三個數字重復的數字．根據分步乘法計數原理，有3×3×5×4＝180(種)取法．③根據分類加法計數原理，共可以組成240＋180＝420(個)無重復數字的四位偶數．【例3】如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是 (

) A．48B．18C．24D．36

解析

在正方體中，每一個表面有四條棱與之垂直，六個表面，共構成24個“正交線面對”；而正方體的六個對角面中，每個對角面有兩條面對角線與之垂直，共構成12個“正交線面對”，所以共有36個“正交線面對”．角度2與幾何有關的問題D

【例4】如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數．角度3涂色問題法二以S，A，B，C，D順序分步染色．第一步：S點染色，有5種方法；第二步：A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步：B點染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步：C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當A與C同色時，D點有3種染色方法；當A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法．由分步乘法、分類加法計數原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種)．1.在綜合應用兩個原理解決問題時應注意：(1)一般是先分類再分步．在分步時可能又用到分類加法計數原理．(2)對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當地列出示意圖或列出表格，使問題形象化、直觀化．2．解決涂色問題，可按顏色的種數分類，也可按不同的區域分步完成．感悟升華【訓練2】(1)(2020·衡水調研)用0，1，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為(

) A．243B．252C．261D．279

解析

0，1，2，…，9共能組成9×10×10＝900(個)三位數，其中無重復數字的三位數有9×9×8＝648(個)，∴有重復數字的三位數有900－648＝252(個)．B

(2)(2021·長沙模擬)如圖，請你用4種不同的顏色為每個區域涂色，要求相鄰區域不同色，共有________種不同的涂色方法(用具體數字作答)．72

解析

假設按a→b→c→d→e順序涂色，對于a有4種涂色的方法，對于b有3種涂色方法，對于c有2種涂色方法，對于e，若c與d顏色相同，則e有2種涂色方法，若c與d顏色不相同，則e只有1種涂色方法，故共有4×3×2×(2＋1)＝72種不同的涂色方法．課后鞏固作業提升能力分層訓練3一、選擇題1．從3名女同學和2名男同學中選1人主持主題班會，則不同的選法種數為(

) A．6B．5C．3D．2

解析

5個人中每一個都可主持，所以共有5種選法．B

2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內不同的點的個數是 (

) A．12B．8C．6D．4

解析

分兩步：第一步先確定橫坐標，有3種情況，第二步再確定縱坐標，有2種情況，因此第一、二象限內不同點的個數是3×2＝6， 故選C.C

3．從0，1，2，3，4，5這六個數字中，任取兩個不同的數字相加，其和為偶數的不同取法的種數為(

) A．30B．20C．10D．6

解析

從0，1，2，3，4，5這六個數字中任取兩個不同的數字的和為偶數可分為兩類： 第一類，取出的兩個數都是偶數，有0和2，0和4，2和4，共3種不同的取法； 第二類，取出的兩個數都是奇數，有1和3，1和5，3和5，共3種不同的取法． 由分類加法計數原理得，共有3＋3＝6種不同的取法．D

4．從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個不同的數，使這三個數成等比數列，這樣的等比數列的個數為 (

) A．3B．4C．6D．8

解析

以1為首項的等比數列為1，2，4；1，3，9； 以2為首項的等比數列為2，4，8； 以4為首項的等比數列為4，6，9； 把這4個數列的順序顛倒，又得到另外的4個數列， ∴所求的數列共有2(2＋1＋1)＝8(個)．D

5．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面個數為(

) A．40B．16C．13D．10

解析

分兩類情況討論： 第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面； 第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面． 根據分類加法計數原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．C

6．(2021·濟南模擬)如圖所示的幾何體由三棱錐P－ABC與三棱柱ABC－A1B1C1組合而成，現用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有 (

)C

A．6種B．9種C．12種D．36種 解析

先涂三棱錐P－ABC的三個側面，有3×2×1種情況，然后涂三棱柱的三個側面，有2×1×1種情況， 由分步乘法計數原理，共有3×2×1×2×1×1＝12種不同的涂法． 故選C.

解析第n名應屆畢業生報考的方法有3種(n＝1，2，3，4，5)，根據分步乘法計數原理，不同的報名方法共有3×3×3×3×3＝35(種)． 故選A.A

8．(2020·全國Ⅱ卷)如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數之和為 (

) A．5B．8C．10D．15

解析

滿足條件1≤i<j<k≤12，k－j＝3且j－i＝4的(i，j，k)有(1，5，8)，(2，6，9)，(3，7，10)，(4，8，11)，(5，9，12)，共5個；滿足條件1≤i<j<k≤12，k－j＝4且j－i＝3的(i，j，k)有(1，4，8)，(2，5，9)，(3，6，10)，(4，7，11)，(5，8，12)，共5個．所以一共有10個．C

二、填空題9．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a＋

bi，其中虛數的個數是________． 解析

因為a＋bi為虛數， 所以b≠0， 即b有6種取法，a有6種取法， 由分步乘法計數原理知可以組成6×6＝36個虛數．36

10．乘積(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開后的項數為

________． 解析

從第一個括號中選一個字母有3種方法，從第二個括號中選一個字母有4種方法，從第三個括號中選一個字母有5種方法， 故根據分步乘法計數原理可知共有N＝3×4×5＝60(項)．60

11．將2名教師、4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，則不同的安排方案共有________

種．12

12．設a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c為三條邊的長可以構成一 個等腰(含等邊)三角形，則這樣的三角形有______個． 解析

先考慮等邊的情況，a＝b＝c＝1，2，…，6，有六個， 再考慮等腰的情況，若a＝b＝1，c<a＋b＝2， 此時c＝1與等邊重復， 若a＝b＝2，c<a＋b＝4，則c＝1，3，有兩個， 若a＝b＝3，c<a＋b＝6，則c＝1，2，4，5，有四個， 若a＝b＝4，c<a＋b＝8，則c＝1，2，3，5，6，有五個， 若a＝b＝5，c<a＋b＝10，則c＝1，2，3，4，6，有五個， 若a＝