第03講空間向量及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：空間向量的線性運(yùn)算 1題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用 3題型三：求數(shù)量積 6題型四：求長(zhǎng)度 9題型五：求夾角 12題型六：向量的投影和投影向量 16題型七：空間向量夾角為鈍角（銳角）求參數(shù) 18題型八：求平面的法向量 20題型九：利用空間向量證明平行與垂直 21題型一：空間向量的線性運(yùn)算典型例題例題1．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體OABC中，，，．點(diǎn)在上，且滿足，為的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．例題2．（2023春·廣東·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）在三棱柱中，，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）三棱錐中，M是平面BCD內(nèi)的點(diǎn)，則以下結(jié)論可能成立的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高一單元測(cè)試）下列條件能使點(diǎn)與點(diǎn)一定共面的是（

）A．B．C．D．題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用典型例題例題1．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考期末）已知矩形為平面外一點(diǎn)，平面，點(diǎn)滿足，．若，則（

）A． B．1 C． D．例題2．（2023春·福建莆田·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)平面，且對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)滿足，則的值是（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于空間任意一點(diǎn)，以下條件可以判定點(diǎn)?共線的是（填序號(hào)）.①；②；③；④.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）設(shè)向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，若，求的值．3．（2023春·上海奉賢·高二校考階段練習(xí)）已知A，B，C，D四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，平面外一點(diǎn)O，滿足，則．題型三：求數(shù)量積典型例題例題1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，各棱長(zhǎng)都為的四面體中，，則向量（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·寧夏固原·高二校考階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考階段練習(xí)）平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為，求的值是．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·陜西西安·高一長(zhǎng)安一中校考期末）在正三棱錐中，是的中心，，則等于（

）A． B． C． D．2．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知，，，則.3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖,在直三棱柱(即平面),,,求題型四：求長(zhǎng)度典型例題例題1．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，在平行六面體中，，，，，為中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．例題2．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知向量，若與垂直，則（

）.A． B． C． D．例題3．（2023春·陜西寶雞·高一寶雞中學(xué)校考期末）如圖所示，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn).若，，.

(1)用，，表示；(2)求.精練核心考點(diǎn)1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為2，且它們彼此的夾角都是，則.2．（2023春·陜西安康·高二校聯(lián)考期末）已知空間向量，，兩兩夾角均為，其模均為1，則．3．（2023春·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，若，則（

）A．5 B． C． D．4．（2023春·甘肅臨夏·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，且，則（

）A． B．C． D．題型五：求夾角典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在平行六面體中，，且，則的余弦值是.例題2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則直線與的夾角為（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則．例題4．（2023秋·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，，，．(1)求，，；(2)求與所成角的余弦值．精練核心考點(diǎn)1．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知向量，向量，則與的夾角的大小為.2．（2023春·四川成都·高二統(tǒng)考期中）已知，，且，則向量與的夾角為3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖：正三棱錐中，分別在棱上，，且，則的余弦值為.4．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條邊的長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60°.求與所成角的余弦值.題型六：向量的投影和投影向量典型例題例題1．（2023春·甘肅臨夏·高二統(tǒng)考期末）已用，，則在方向上的投影向量為．例題2．（2023秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知向量，，則在方向上的投影向量為．2．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是．3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知向量，，則在上的投影數(shù)量為題型七：空間向量夾角為鈍角（銳角）求參數(shù)典型例題例題1．（多選）（2022秋·高二單元測(cè)試）已知，且與夾角為鈍角，則的取值可以是（）A．-2 B．1 C． D．2例題2．（2023春·河南焦作·高一統(tǒng)考期中）若向量的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B．(，4)C． D．(，1)精練核心考點(diǎn)1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知，．若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．（2022春·上海黃浦·高一上海市敬業(yè)中學(xué)校考期末）已知、是相互垂直的單位向量，，，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．（2022秋·遼寧大連·高二大連市第三十六中學(xué)校考期中）已知向量，若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型八：求平面的法向量典型例題例題1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若是平面的一個(gè)法向量，則下列向量能作為平面的法向量的是（

）A． B．C． D．例題2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)，，，則平面的一個(gè)法向量．精練核心考點(diǎn)1．（多選）（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知，是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則平面的一個(gè)法向量可以是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知三點(diǎn)、、，則平面的法向量可以是．（寫出一個(gè)即可）題型九：利用空間向量證明平行與垂直典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，線段的中點(diǎn)為且底面，，，是的中點(diǎn)．證明：平面.例題2．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，是一個(gè)正三角形，平面，，且.求證：平面平面.例題3．（2023秋·廣西玉林·高二統(tǒng)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)求與所成角的余弦值．