.3雙曲線及其性質一、選擇題1.(2024屆安徽名校聯盟質檢(一),5)已知雙曲線x225-y25=1上一點P到其左焦點F的距離為8,則PF的中點M到坐標原點OA.9B.6C.5D.4答案A由題意知,|PF|=8,設雙曲線的右焦點為F2,則由雙曲線的定義,可得||PF2|-|PF||=10,又|PF2|>0,所以|PF2|=18,因為M是PF的中點,O是FF2的中點,所以由三角形中位線定理可知|MO|=12|PF2|=182=9,故選2.(2024屆江蘇百校大聯考,4)圖1所示的為陜西歷史博物館保藏的國寶——金筐寶鈿團花紋金杯,杯身曲線內收,玲瓏嬌美,巧奪天工,是唐代金銀細作的典范之作.如圖2,該杯的主體部分可以近似看作是由雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支、y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉一周得到的幾何體.若該金杯主體部分的上杯口外直徑為1033,下底座外直徑為2393,杯高為6,A.2B.2C.3D.4答案A由題意知M533,4,N393,-2,∵M,N都在雙曲線上,∴253a2-16b3.(2024屆江西贛州月考,6)已知雙曲線C1經過點A(4,-33),并且和雙曲線C2:x216-y29=1有共同的漸近線,則雙曲線C1A.y29-x216=1B.C.x232-y218=1D.答案D設雙曲線C1的方程為x216-y29=λ(λ≠0),將點A的坐標(4,-33)代入,可得1616-(-33)29=λ,解得λ=-2,所以雙曲線4.(2024屆成都零診,5)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A.y=±2xB.y=±12C.y=±xD.y=±2x答案A不妨取雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線bx-ay=0,右焦點(c,0),則右焦點到該漸近線的距離d=|bc|a2+5.(2024屆昆明質檢(一),7)直線3x+y=0是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線,且雙曲線的一個頂點和一個焦點到漸近線的距離之和為A.23B.3C.1D.2答案A由雙曲線漸近線方程知ba=3①,不妨取右頂點(a,0)和右焦點(c,0),則右頂點到漸近線3x+y=0的距離為3a2,易知雙曲線焦點到漸近線的距離為b,則3a2+b=332②,聯立①②解得a=1,b=3,6.(2024屆吉林遼源一模,10)已知雙曲線C的離心率為3,F1,F2是C的兩個焦點,P為C上一點,|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面積為2,則雙曲線C的實軸長為()A.1B.2C.3D.6答案B由離心率為3,得c=3a,由雙曲線定義可得||PF1|-|PF2||=2a,又知|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=3a,|PF2|=a.在△PF1F2中,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2×3a×a×cos∠F1PF2,解得cos∠F1PF2=-13,所以sin∠F1PF2=223,又知△PF1F2的面積為2,所以12×3a×a×223=2,解得a=1,所以雙曲線7.(2024屆河南焦作一模,11)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,雙曲線上有一點A,若|F1F2|=10,|AF1|+|AF2|=14,且AF1⊥AFA.x225-y224=1B.C.x2-y224=1D.x2答案C設|AF1|=m,|AF2|=n,由|AF1|+|AF2|=14,得m+n=14,又AF1⊥AF2,所以m2+n2=102,解方程組m+n=14,m2+n2=100得m=8,n=6或m=6,n=8,所以由雙曲線定義得||AF1|-|AF2||=2a=2,所以a=1,又知|F1F2|=2c=10,所以c=5,所以b8.(2024河北衡水中學聯考(二),6)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦點F(c,0)到漸近線的距離為32c,且點(2,3A.x29-y23=1B.C.x23-y212=1D.答案D雙曲線x2a2-y2b2=1的焦點F(c,0)到漸近線bx±ay=0的距離為bca2+b2=32c,解得b=32c,所以b2=34c2,又c2=a2+b2,所以b2=3a2,因為點(2,3)在雙曲線上,所以4a2-9.(2024屆蘭州摸底,10)已知橢圓C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和雙曲線C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,bA.23B.3C.33D.答案D設橢圓的半焦距為c1,雙曲線的半焦距為c2,由已知不妨設雙曲線的一條漸近線與橢圓的交點為c1,b12a1,所以雙曲線的此條漸近線的斜率k=b12a1c10.(2024河南四校3月模擬,10)已知F1,F2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,點A是雙曲線上其次象限內一點,且直線AF1與雙曲線的漸近線y=bax平行,△AF1FA.2B.5C.3D.23答案A由題意知,|AF2|-|AF1|=2a,|AF2|+|AF1|=9a-2c,解得|AF2|=11a-2c2因為直線AF1與雙曲線的漸近線y=bax平行所以tan∠AF1F2=ba,即cos∠AF1F2=a所以cos∠AF1F2=ac=|化簡,得c2+2ac-8a2=0,即e2+2e-8=0,解得e=2(舍負).故選A.11.(2024屆河南十校聯考(一),9)已知雙曲線E:x23-y2=1,F為E的左焦點,P,Q為雙曲線E右支上的兩點,若線段PQ經過點(2,0),△PQF的周長為83,則線段PQ的長為(A.2B.23C.4D.43答案B由已知得a=3,b=1,c=2,則雙曲線E的右焦點F'(2,0)在線段PQ上,則|PF|=|PF'|+23,|QF|=|QF'|+23,所以△PQF的周長為|PF|+|QF|+|PQ|=2|PQ|+43=83,所以|PQ|=23.故選B.12.(2024屆河北滄州一中月考,8)已知F1,F2分別是雙曲線C:x23-y2=1的左,右焦點,點M在直線x-y+3=0上,則|MF1|+|MF2|的最小值為(A.213B.6C.26D.5答案C由雙曲線C:x23-y2=1可得a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,可得c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),設點F2(2,0)關于直線x-y+3=0由m+22-n所以|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|≥|PF1|,當且僅當P,M,F1三點共線時等號成立,|PF1|=[-3-(-2)]2+(5-0)2=2613.(2024屆四川南充適應性考試,9)已知雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦點分別為F1,F2,過F1作雙曲線漸近線的垂線F1P,垂足為點P,若△POF1(O為坐標原點)的面積為36A.2B.3C.396D.答案D不妨取漸近線ax-by=0,則雙曲線的上焦點(0,c)到該漸近線的距離為|bc|a2+b2=b,所以|F1P|=b,在Rt△F1PO中,|OF1|=c,所以|OP|=|OF1|2-|F1P|2=c2-b2=a,所以S△OF1P=1214.(2024屆安徽蚌埠調研,10)已知F1、F2分別為雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,P為圓x2+y2=c2與雙曲線C1的交點,且tan∠PF1F2=A.102B.173C.2答案A如圖,不妨設點P在第一象限.由已知得PF1⊥PF2.在Rt△F1PF2中,tan∠PF1F2=13,可設|PF2|=m,則|PF1|=3m,則|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=10m=2c,又由|PF1|-|PF二、填空題15.(2024屆湖北部分學校11月質檢,13)已知雙曲線C的中心在坐標原點,一個焦點與拋物線y=x212的焦點相同,且它的一條漸近線方程為y=255x,則答案y24-解析由題意可設雙曲線C的方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),因為雙曲線的一條漸近線方程為y=255x,所以ab=255①,又因為拋物線y=x212的焦點是(0,3),所以c=3,則a2+b2=c2=9②.由①②16.(2024屆湖南岳陽一中入學考試,14)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為25,且雙曲線的一條漸近線與直線答案x24-y解析雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax,由已知得與直線2x+y=0垂直的漸近線為y=ba又a2+b2=c2=5,則a=2,b=1.故雙曲線的方程為x24-y17.(2024屆安徽蚌埠10月聯考,14)過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點作x軸的垂線,與C的一條漸近線相交于點A,若以C的右焦點為圓心,4為半徑的圓經過A,O兩點(O為坐標原點答案x24-解析由題意得c=4,∴a2+b2=16,而雙曲線的漸近線方程為y=±bax,故不妨設A(a,b),則有(a-4)2+b2=16,又b2=c2-a2,從而可得a=2,則a2=4,b2=12,所以雙曲線C的方程為x2418.(2024屆湖北部分重點中學開學聯考,13)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為答案5解析由題意得ba=2,所以e2=c2a2=1+b2a2=1+22=5,即e=19.(2024屆長沙雅禮中學月考一,15)已知F為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點,過F作與x軸垂直的直線交雙曲線于A,B兩點,若以答案5解析設雙曲線的半焦距為c,c>0,則F(c,0),把x=c代入雙曲線方程得y=±b2a,不妨令Ac,b2a,Bc,-b2a,因為以AB為直徑的圓過坐標原點,所以c=b2a,所以ac=c2-a三、解答題20.(2024屆廣東11月大聯考,20)已知雙曲線C:x2a2-y2b(1)求C的方程;(2)斜率為55的直線l與C交于P,Q兩點,且與x軸交于點M,若Q為PM的中點,求l的方程解析(1)因為e=ca=1+ba2=2,所以ba=3,即b=3a.將點P(2,3)代入得4a2-解得a2=1,故C的方程為x2-y2(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),M(m,0),因為Q為PM的中點,所以y1=2y2.因為直線l的斜率為55,所以可設l的方程為x=5聯立x2-y23=1,xΔ=(65t)2-4×14×3(t2-1)=12(t2+14)>0,由根與系數的關系可得y1+y2=-35t7,y1y2因為y1=2y2,所以y1+y2=3y2=-35t7,解得y2y1y2=2y22=2×-5t72=即t=±21,故l的方程為x-5y±21=0.21.(2024屆廣東深圳試驗學校、長沙市一中聯考,20)設雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦點分別是F1,F2,漸近線分別為l1,l2,過F2作漸近線的垂線,垂足為P,且(1)求雙曲線C的離心率;(2)動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),且△OAB的面積恒為8,是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線C?若存在,求出雙曲線C的方程;若不存在,說明理由.解析(1)由題意知,|PF2|=b,|OP|=a,由PF2⊥OP得S△OPF2=ab2,又因為S△OPF1=解得b=2a,則c=5a,所以雙曲線C的離心率e=5.(2)由(1)得漸近線l1:y=2x,l2:y=-2x,設雙曲線的方程為x2a2-y24a