平面及空間直線

（I）、平面基本性質及其推論

1、空間圖形是由點、線、面組成。點、線、面基本位置關系如下表所示:

圖形符號語言文字語言（讀法）

AaAWQ點A在直線a上。

小且A^a點A不在直線。上。

eA./Aea點A在平面a內。

A.

//A^a點A不在平面覆內。

ab=A直線。、〃交于A點。

a0a直線a在平面a內。

aaa=0直線a及平面a無公共點。

&/

.a\

/6L?A/aa=A直線a及平面a交于點A。

aZpaB=l平面a、4相交于直線

a<xa（平面a外直線a）表示aa=0或0a=A。

2、平面基本性質

公理1：假如一條直線兩點在一個平面內，那么這條直線上全部點都在這個平面內.

推理模式:。如圖示：

應用：是判定直線是否在平面內依據，也是檢驗平面方法。/AB/

公理2：假如兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,且全部這些公共點集合是一條

過這個公共點直線。

推理模式：且Ae/且/唯一.如圖示：a1

應用：①確定兩相交平面交線位置；②判定點在直線上。八，P

例1.如圖，在四邊形4及力中，已知46〃微直線46,BC,AD,小分別及平面a相

4

H

EG

交于點￡,G,//,F.求證：E,F,G,〃四點必定共線.

解：'：AB//CD,

：.AB,切確定一個平面B.

又?.,/Bna=E,ABu6,:.EWa,E&p,

即K為平面a及B一個公共點.

同理可證凡G,〃均為平面a及B公共點.

?.?兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點公共直線，

:.E,F,G,〃四點必定共線.

說明：在立體幾何問題中，證明若干點共線時，常運用公理2,即先證明這些點都是

某二平面公共點，而后得出這些點都在二平面交線上結論.

例2.如圖，已知平面a,B,且anB=1.設梯形ABCD中,AD//BC,且"ua,

5uB,求證：AB,CD,/共點（相交于一點）.

證明：梯形ABCD中,AD//BC,

：.AB,必是梯形力及力兩條腰.

AB,繆必定相交于一點，

設CD^M.

又?：ABua,切uB,：.M^a,且MGB.:.歸app.

又,.?a。8=/,:.MG1,

即力昆CD,/共點.

說明：證明多條直線共點時，一般要應用公理2,這及證明多點共線是一樣.

公理3：經過不在同一條直線上三點，有且只有一個平面。

推理模式：A,8,C不共線=存在唯一平面a,使得A3,Cea。

應用：①確定平面；②證明兩個平面重合。

例3.已知：a,b,c,d是不共點且兩兩相交四條直線，求證：a,b,c,d共面.

證明V若當四條直線中有三條相交于一點，不妨設a,b,c相交于一點兒

但如圖1.

，直線d和4確定一個平面a.

又設直線d及a,b,c分別相交于￡,F,G,

則A,E,F,GGa.

'."A,EGa,A,EGa,aua.

同理可證bua,cua.圖1

.,.a,b,c,d在同一平面a內.

2°當四條直線中任何三條都不共點時，如圖2.

?.?這四條直線兩兩相交，則設相交直線a,6確定

一個平面a.

設直線c及a,6分別交于點〃，K,則〃，K&a,

又H,KGc,cua.

同理可證dua.

；.a,b,c,d四條直線在同一平面a內.

說明：證明若干條線（或若干個點）共面一般步驟是：首先依據公理3或推論，由題給

條件中部分線（或點）確定一個平面，然后再依據公理1證明其余線（或點）均在這個平

面內.本題最簡單忽視“三線共點”這一種狀況.因此，在分析題意時，應細致推敲

問題中每一句話含義.

“有且只有一個”含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個”說明圖形假

如有頂多只有一個，但不保證符合條件圖形存在，“有且只有一個"既保證了圖形存在性，又保證

了圖形唯一性.在數學語言敘述中，“確定一個”，“可以作且只能作一個”及“有且只有一個”是

同義詞，因此，在證明有關這類語句命題時，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證。

推論1：經過一條直線和直線外一點有且只有一個平面。」］（..A

推理模式：Aea=存在唯一平面a,使得Aea,10a。

推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面。A

推理模式：=存在唯一平面a,使得。0“日》

推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面。..▲

推理模式：a〃6=＞存在唯一平面a,使得a,60a。a上小

練習：

1.如圖，在平行六面體/發力一45。〃中，4Cn6Q=Q，5。n平面46G=2

求證：PGBO\.

證明在平行六面體ABCD—A、C隊中,

???5〃n平面.??〃￡平面4%,PRB\D.

???B、Du平面BRD\D.：?PG平面AM,且PG平面

BB\D\D,

???尸￡平面4處0平面

???4Gn〃〃=Q，4Gu平面AB。,平面

，0\￡平面AiBCi,且0y平面BB\D\D.

又平面AfCi，且4e平面BBDD,

???平面48GD平面以〃〃=冽.:?PeB0,

說明一般地，要證明一個點在某條直線上，只要證明這個點在過這條直線兩個平面上。

（H）、空間兩條直線

1、空間兩直線位置關系：（1）相交——有且只有一個公共點；（2）平行一一在同一平面內，沒有

公共點；（3）異面——不在住何一個平面內，沒有公共點；

2、公理4：平行于同一條直線兩條直線相互平行。推理模式：allb,bllc^allc.

3、等角定理：假如一個角兩邊和另一個角兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

4、等角定理推論:假如兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩條直線所成銳角（或直

角）相等。

5、異面直線判定定理：連結平面內一點及平面外一點直線，和這個平面內不經過此點直線是異面直線。

推理模式：4￡。,8€%/<=。,3e/=>48及2是異面直線。異面直線判定方法：①判定定理；

②定義法；③反證法是證明兩直線異面有效方法。

例1.已知不共面三條直線“、b、c相交于點P,A&a,Bea,C&b,Dec,求

證：AO及BC是異面直線.

證一：（反證法）假設AD和BC共面，所確定平面為a,那么點P、A、B、C、D都在平

面a內，.?.直線a、b、c都在平面a內，及已知條件a、b、c不共面沖突，假設不成

立，...AD和BC是異面直線。

證二：（干脆證法）???anc=P,...它們確定一個平面，設為a,由已知C足平面a,B

6平面a,ADu平面a,BgAD,，AD和BC是異面直線。

6、異面直線所成角：己知兩條異面直線a,力，經過空間任一點。作直線"〃a/'〃b,a'/'所成

角大小及點。選擇無關，把〃所成銳角（或直角）叫異面直線。力所成角（或夾角）.為了簡

便，點。通常取在異面直線一條上。異面直線所成角范圍：。

7、異面直線垂直：假如兩條異面直線所成角是直角，則叫兩條異面直線垂直.兩條異面直線a,匕

垂直，記作aJ?匕。

8、求異面直線所成角方法：幾何法：（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另始終線平

行線；（2）找出及一條直線平行且及另一條相交直線，那么這兩條相交直線所成角即為所求。向

量法：用向量夾角公式。

例2.在正方體ABC。-AEC'D中，M、N分別是棱AA'和AB中點，P為上底面

A3CD中心，則直線PB及所成角為（A）

（A）30°（8）45°（C）60°（D）

例3.一條長為2c機線段45夾在相互垂直兩個平面

a、夕之間，AB及a所成角為45°,及一所成角為30°,

且aD4=/，ACVI,BD上I,C、。是垂足，求（1）

CD長；（2）A8及CO所成角------沙

解：（1）連BC、AD,可證ACJ.B,BD±a,.,.ABC=30°,

ZBAD=45°,RSACB中，BC=AB?cos30=V3,

在RtAADB中，BD=AB?sin45°=V2

在RtABCD中，可求出CD=lcm（也可由AB=AC2+BD2+CD2-2AC?BD?cos90°求得）（2）

作BE〃1,CE//BD,BEACE,則NABE就是AB及CD所成角，連AE,由三垂線定理可

證BELAE,先求出AE=VL再在RtaABE中，求得NABE=60"。

說明：在（3）中也可作CHLAB于H,DF_LAB于F,HF即為異面直線CH、DF公垂線，

22

利用公式CD=CH+DF+HF-2?CH?DFcosa,求出cosa=且0

3

9、兩條異面直線公垂線、距離：和兩條異面直線都奉亶相容直線，我們稱之為異面直線公垂線。

理解：因為兩條異面直線相互垂直時，它們不肯定相交，所以公垂線定義要留意“相交”含義。

兩條異面直線公垂線在這兩條異面直線間線段（公垂線段）長度，叫做兩條異面直線間距離。兩

條異面直線公垂線有且只有一條。計算方法：①幾何法；②向量法。

例4.在棱長為a正四面體中，相對兩條棱間距離為_（答案：）

例5.兩條異面直線a、6間距離是1cm,它們所成角為60°,。、。上各有一點A、B,

距公垂線垂足都是10cm,則A、B兩點間距離為.

答案：J101或J301cm

練習：

1.如圖，在正方體46修一46c〃中，求證：〃〃被平面4明分成1：2兩段.

證明：如圖1,在正方體46（力一4劣。〃中，'一---Y7G

連結6山，4C，BD,AC.zj

工M,N分別是旦如“1中點.聯/C

連結8%DNA遙

BB\〃DD\,豆BB尸DD\,

二四邊形BDDB是平行四邊形.

在平面BDDB中,設BM=0,B、￡）nD、N=0、,

在平行四邊形應族8中，Du_

?.eD\M〃NB,MD,M=NB,

/.四邊形隴%"是平行四邊形.Ai\\、\/B

：.BM〃ND、,即0M〃0、D\,7K'f/

。是的中點，即OgOB、.DN'W.L「

同理，06=0\D.

0\0=0B、=0、D.

綜上，0風:ODX=\：2.

2.如圖，已知平面a、B交于直線/,AB、分別在平面a,B內，且及/分別交于

B,。兩點.若NABD=NCDB,試問45,⑦能否平行？并說明理由.

證明：直線/反5不能平行.否則，若加

IICD,則18〃⑦共面，記這個平面為Y.

AB,CDuy.

ABua,Z?ey.

由題知I,ABua,Z?ea,且D^AB,

依據過一條直線及這條直線外一點，有且僅

有一個平面，a及丫重合.

同理，B及丫重合.

a及8重合，這及題設沖突.

AB,必不能平行.

3.平行六面體力版一48《〃中，求證：辦所在直線及6C所在直線是異面直線.

證明：假設3所在直線及園所在直線不是異面

直線.”7弋

設直線以及陽共面a.Q4A-----\

,：C,D\GC",B,C\GBC、,：.C,仄,B,gGa.V\\V\\

'：CC\〃BB\,:.CC”跖確定平面能GC,\八一》

：.C,B,gw平面仍gC.\/Z

?.?不共線三點C,B,G只有一個平面，D'c

???平面a及平面防CC重合.

平面88QC,沖突.

因此，假設錯誤，即勿所在直線及陽所在直線是異面直線.

基礎鞏固訓練

1、下列推斷中，錯誤是（）oC

A.A€l,Awa,Bel,Bea=>luaB.Awa,Aeea,3e/?napl/7=AB

C.I（Za,Ael=>A^aD.A,B,Cwa,A,B,Cw0,且A、B、C不共線na,僅重合

2、推斷下列命題真假，真打“J"，假打“X”。

(1)空間三點可以確定一個平面()。(2)兩條直線可以確定一個平面()?

(3)兩條相交直線可以確定一個平面()。(4)一條直線和一個點可以確定一個平面()。

(5)三條平行直線可以確定三個平面().(6)兩兩相交三條直線確定一個平面

().(7)兩個平面若有不同三個公共點，則兩個平面重合()?(8)若四點不共面，那么

每三個點肯定不共線(),.(1)X(2)X(3)V(4)X(5)X(6)X(7)X(8)V?

3、如下圖，正四面體$一ABC中，D為$C中點，則BD及SA所成角余弦值是()。

B旦B旦

A.3B：3c,6D：6

解析：取AC中點E,連結DE、BE,則DE〃SA,

AC

B

，ZBDE就是BD及SA所成角:設SA=a,則BD=BE=2aDE=2a,cosZBDE==不。答案：C

異面直線

題型：異面直線判定或求異面直線所成角及距離

［例4］、A是△3C￡)平面外一點，E、尸分別是BC、AO中點，\F

(1)求證：直線EF及BD是異面直線；\

(2)若AC=BD,求EF及所成角。B.D

(1)證明：用反證法。E''G

假設E尸及8。不是異面直線，則EF及8。共面，C

從而DF及BE共面,即A￡>及8C共面，所以4、B、C、。在同一平面內，這及4是△BCD平面

外一點相沖突故直線EF及BD是異面直線。

(2)解：取中點G,連結EG、FG,貝ljEG〃BO,所以相交直線EF及EG所成銳角或直角即

為異面直線EF及8。所成角在Rl^EGF中，求得NFEG=45°,即異面直線EF及BO所成角為

45°。

［反思歸納］①證明兩條直線是異面直線常用反證法；②求兩條異面直線所成角，首先要推斷兩條

異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成角為90。；若不垂直，則利用平移法求角，一般步驟是

“作(找)一證一算”留意，異面直線所成角范圍是(0,-L

2

［例5］、長方體ABC。-AqC］￡)|中，己知AB=a,BC=b.AAt=c,且a>b,求：

(1)下列異面直線之間距離：AB及CC”AB及AC；AB及80。

(2)異面直線QB及AC所成角余弦值。

(1)解：BC為異面直線AB及CG公垂線段，故AB及CG距離為b。

AA為異面直線AB及AG公垂線段，故AB及AG距離為c。

過B作BEJ.8C，垂足為E,則BE為異面直線AB及BQ公垂線，BE==,即AB及8c距離為。

(2)解法一：連結BD交AC于點0,取。A中點F,連結OF、AF,則OF〃。內，,NA0F就是異

面直線。田及AC所成角。

VA0=,0F=2D［B=,ALBt

AF=,.,.aAA0F4,,A

cosZA0F=="（?+〃）面+〃+c2）

解法二：建立空間直角坐標系，寫出坐標，用向量夾角公式計算。

［反思歸納］1、兩條異面直線公垂線在這兩條異面直線間線段(公垂線段)長度，叫做兩條異面

直線間距離。兩條異面直線公垂線有且只有一條。計算方法：①幾何法；②向量法。2、求異面直

線所成角方法：幾何法：(1)通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另始終線平行線；(2)

找出及一條直線平行且及另一條相交直線，那么這兩條相交直線所成角即為所求。向量法：用向

量夾角公式。

空間中平行關系

(I)、直線及平面平行

1.直線和平面位置關系：(1)直線在平面內(多數個公共點)；符號表示為：a0a,(2)直線和

平面相交(有且只有一個公共點)；符號表示為：a(］a=A,(3)直線和平面平行(沒有公共點)

一一用兩分法進行兩次分類.符號表示為：alia.

2.線面平行判定定理：假如不在一個平面內一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這

個平面平行.推理模式：l(za,m0a,l//m=^l//a.

3.直線及平面平行證明方法：

①證明直線和這個平面內一條直線相互平行；

②證明這條直線方向量和這個平面內一個向量相互平行；

③證明這條直線方向量和這個平面法向量相互垂直。

4,線面平行性質定理：假如一條直線和一個平面平行，經過這條直線平面和這個平面相交，那么這條

直線和交線平行.推理模式：U/a,l0p,aJ3=m=>l//m.

(II)、平面及平面平行

1.平行平面：假如兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面相互平行.

2.圖形表示：畫兩個平面平行時，通常把表示這兩個平面平行四邊形相鄰兩邊分別畫成平行.

3.平行平面判定定理：假如一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平

面相互平行.推理模式：：au尸，bu。,ah=P,alia,hIIa/3IIa.

平行平面判定定理推論：假如一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內兩條相交直

線，那么這兩個平面相互平行.

推理模式：ab=勿暇/a,a刎尸Mp,alla',bllb'^allp.

4.證明兩平面平行方法：

(1)利用定義證明。利用反證法，假設兩平面不平行，則它們必相交，再導出沖突。

(2)判定定理：一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行，這個定理

可簡記為線面平行則面面平行。用符號表示是：aClb,aCa,bCa,a〃6,b〃B,則。〃

Bo

(3)垂直于同始終線兩個平面平行。用符號表示是：ala,2，6則&〃0

(4)平行于同一個平面兩個平面平行。a〃夕,a〃/=尸〃/

5.兩個平面平行性質有五條：

(1)兩個平面平行，其中一個平面內任始終線必平行于另一個平面，這個定理可簡記為：“面面

平行，則線面平行”。用符號表示是：a〃B,aUa,則a〃B。

(2)假如兩個平行平面同時及第三個平面相交，那么它們交線平行，這個定理可簡記為：“面面

平行，則線線平行”。用符號表示是：a〃B,any=a,3ny=b,則a〃b。

(3)一條直線垂直于兩平行平面中一個平面，它也垂直于另一個平面。這個定理可用于證線面垂

直。用符號表示是：a〃B,a±a,則a_L6。

（4）夾在兩個平行平面間平行線段相等。

（5）過平面外一點只有一個平面及已知平面平行。

（III）、線線平行、線面平行、面面平行間㈣互轉換

|面面平行的判定

（三）、基礎鞏固訓練

1、若兩條直線m,n分別在平面a、B內，且&〃6,則m,n關

系肯定是（）。D

（A）平行（B）相交（C）異面（D）平行或異面

2、一條直線若同時平行于兩個相交平面，那么這條直線及這

兩個平面交線位置關系是（）.C

A異面B相交C平行D不能確定

3、a、b是兩條異面直線，A是不在a、b上點，則下列結論成立

是（）?（如圖）D

A過A有且只有一個平面平行于a、bB過A至少有一個平面平行于a、b

C過A有多數個平面平行于a、bD過A且平行a、b平面可能不存在

5、a、b、c為三條不重合直線，a、8、丫為三個不重合平面，直線均不在平面內，給出六個命

題:

Y//y

>=>a〃匕;②=>a〃匕;③二>a

①工p//c

//c^.a//v'

④“/c、二>a〃a;⑤$=>a〃笈⑥qa/7a.

I尸〃”

其中正確命題是

（將正確序號都填上）。①??⑥。

考點：線面平行判定及性質

題型：證明線面平行及線面平行性質運用

例1、如下圖，兩個全等正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MFAC,NGFB且AM=FN,求證:

MN〃平面BCE.

證法一：過M作MPJ_BC,NQ_LBE,P、Q為垂足，連結PQ.；MP〃AB,NQ〃AB,；.MP〃NQ，

6旦

又NQ=2BN=2CM=MP,，MPQN是平行四邊彩

；.MN〃PQ,PQ。平面BCE,而MNC平面BCE,MN〃平面BCE,

證法二：過M作MG〃BC,交AB于點G（如下圖），連結NG

VMG/7BC,BC0平面BCE,MG&平面BCE,

BGCMBN

；.MG〃平面BCE又GA=MA=NF,

.?.GN〃AF〃BE,同樣可證明GN〃平面BCE

又面MGCNG=G,，平面MNG〃平面BCE,又MN0平面MNG；.MN〃平面BCE?

［反思歸納］證明直線和平面平行通常采納如下兩種方法：①利用直線和平面平行判定定理，通過

，，線線”平行，證得“線面”平行；②利用兩平面平行性質定理，通過“面面”平行，證得“線

面”平行

例2、如下圖，設a、b是異面直線，AB是a、b公垂線，過AB中點0作平面a及a、b分別平行,

M、N分別是a、b上隨意兩點，MN及a交于點P,求證：P是MN中點

證明：連結AN,交平面a于點Q,連結PQ,

■：b//a,bu平面ABN,平面ABNAa=0Q,；.b〃OQ,又0為AB中點,

，Q為AN中點，'.'a//a,a0平面AMN且平面AMNCa=PQ,

.，.a〃PQ；.P為MN中點.

［反思歸納］本題重點考查直線及平面平行性質

考點：面面平行判定及性質

題型：證明面面平行及面面平行性質運用

例3、如圖，在四棱錐P-ABCD中，M,N分別是側棱PA和底面BC邊中點，。是底面平行四邊形

ABCD對角線AC中點.

求證：過0、M,N三點平面及側面PCD平行.

證明：：0、M分別是AC、PA中點,連接0M,則0M〃PC。

?.?OMN平面PCD,PCU平面PCD,...OM〃平面PCB.

連結ON,則ON〃AB,由AB//CD,知ON//CD.

VON(Z平面PCD,CDc平面PCD,；.0N〃平面PCD.

又：OMnON=O,...0M、ON確定一個平面OMN.

由兩個平面平行判定定理，知平面OMN及平面PCD平行，即過D、M、N三點平面及側面PCD平行。

（二）、強化鞏固訓練

1、如下圖，正方體ABCD—ABCD中,側面對角線ABi、BC上分別有兩點E、F,且BiE=GF求證:

EF〃平面ABCD。

證法一：分別過E、F作EMLAB于點M,FNLBC于點N,連結MN

：BBi_L平面ABCD,.?.BBi_LAB,BB,±BC

FN〃BB".EM〃FN又RE=CF,/.EM=FN

故四邊形MNFE是平行四邊形二EF〃MN又MN在平面ABCD中,

；.EF〃平面ABCD

BtEB］G

證法二：過E作EG〃AB交BBi于點G,連結GF,則B|"=B出

C,FB,G

CBBB

VBiE=CiF,B,A=C>B,A