第29講函數y＝Asin(ωx＋φ)1．結合具體實例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義，能借助圖象理解參數A、ω、φ的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響；2．掌握y＝Asin(ωx＋φ)圖象間的變換關系，并能正確指出其變換步驟。一、A，ω，φ對函數y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響1、A決定了函數的值域以及函數的最大值和最小值，通常稱A為振幅.2、φ決定了x=0時的函數值，通常稱φ為初相，ωx＋φ為相位.3、ω決定了函數的周期二、三角函數圖象變換1、振幅變換：要得到函數y＝Asinx（A＞0，A≠1）的圖象，只要將函數y＝sinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（當A＞1時）或縮短（當0＜A＜1時）到原來的A倍（橫坐標不變）即可得到．2、平移變換：要得到函數y＝sin（x＋φ）的圖象，只要將函數y＝sinx的圖象上所有點向左（當φ＞0時）或向右（當φ＜0時）平行移動|φ|個單位長度即可得到．3、周期變換：要得到函數y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的圖象，可以把函數y＝sinx上所有點的橫坐標縮短（當ω＞1時）或伸長（當0＜ω＜1時）到原來的倍（縱坐標不變）即可得到．4、函數y＝sinx的圖象經變換得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩種途徑5、三角函數圖象變換中的三個注意點（1）變換前后，函數的名稱要一致，若不一致，應先利用誘導公式轉化為同名函數；例如：sint=cos?(t?（2）要弄清變換的方向，即變換的是哪個函數圖象，得到的是哪個函數圖象，切不可弄錯方向；（3）要弄準變換量的大小，特別是平移變換中函數y＝Asinx到y＝Asin(x＋φ)的變換量是|φ|個單位，函數y＝Asinωx到y＝Asin(ωx＋φ)時，變換量是eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))個單位．三、用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示.x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0考點一：根據函數圖象求解析式例1．函數的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由圖可得，所以，則，又，則，所以，則，又因，所以.故選：A.【變式訓練】函數在一個周期內的圖像如圖，則此函數的解析式為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數在一個周期內的圖像如圖，觀察選項，不妨設，，，由函數圖像可得，，，，又，故，則函數的解析式可化為，將點代入得，即，又，取，得，此時.故選：A．考點二：同名函數的圖象變換過程例2．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度【答案】C【解析】只需將的圖象向左平移個單位長度即可得到的圖象故選：C【變式訓練】要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A．把各點的橫坐標縮短到原來的，再向右平移個單位B．把各點的橫坐標縮短到原來的，再向左平移個單位C．把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移個單位D．把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移個單位【答案】A【解析】將函數的圖象各點的橫坐標縮短到原來的倍，即可得到的圖象；再把的圖象向右平移個單位，可得的圖象.故選：A.考點三：異名函數的圖象變換過程例3．為得到函數的圖象，可將函數的圖象（）A．向右平移個單位B．向左平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單位【答案】B【解析】將函數的圖象向左平移個單位，可得的圖象，故選：B．【變式訓練】要得到函數的圖象，只需將函數的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度【答案】C【解析】因為，則將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得的圖象，再把所得的圖象向左平移個單位長度，即可得到的圖象．故選：C．考點四：函數圖象變換前后的解析式例4．將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應的解析式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得到圖象對應的函數解析式為，將的圖象向左平移個單位得到的圖象對應的解析式為.故選：B.【變式訓練】把函數圖象上的所有點向右平移個單位長度，再把橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象的解析式是，則函數的解析式為．【答案】【解析】將函數的圖象橫坐標縮短到原來的得到函數的圖象，再向左平移個單位長度，得到函數的圖象，所以.故答案為：.考點五：函數圖象變換前后的重合問題例5．若將函數的圖象向右平移個單位長度后，與函數的圖象重合，則的最小值為．【答案】【解析】由題設，將的圖象向右平移個單位長度后，有與圖象重合，所以，則，又，故的最小值為.故答案為：【變式訓練】（多選）將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象與圖像重合，則的值可以為（）A．－6B．6C．8D．12【答案】ABD【解析】由題意可知，，因為函數的圖象與圖像重合，所以，解得.當時，，故A正確；當時，，故B正確；當時，，故D正確；故選：ABD.考點六：由圖象變換研究函數的性質例6．將函數圖象上的所有點向左平移m(m>0)個單位長度后，所得圖象對應的函數為偶函數，則m的最小值為（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因為函數圖象上的所有點向左平移m個單位長度，所得圖象對應的函數為，所以即.又m>0，所以m的最小值為.故選：B．【變式訓練】將函數的圖象向右平移個單位長度后的圖象過原點，則m的最小值是.【答案】【解析】由題意可知，平移后函數解析式為，因為函數的圖象過原點，所以，即，解得，即，又，故時，m取最小值故答案為：.考點七：三角函數圖象性質綜合應用例7．已知函數的部分圖象如圖所示.

（1）求的解析式；（2）將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，求函數在內的零點.【答案】（1）；（2）零點為0與.【解析】（1）由圖象可得，，則，即，∴由圖象得，即，∴，，則，，又，∴，故；（2）將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函，∴，令，則或，解得，，或，，又，∴或，即函數在內的零點為0與.【變式訓練】某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：0x030（1）請將上表數據補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數的解析式；（2）將圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到的圖象，若圖象的一個對稱中心為，求的最小值.【答案】（1）表格見解析，;（2）【解析】（1）0x030-30由表格可知，周期，可得，代入點，可得，又，所以時，，故.（2）由（1）可以得到函數，將的圖象向左平移個單位長度，可以得到函數，而函數的一個對稱中心為，故，則，當時，.1．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）.A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度【答案】C【解析】將向左移動個單位長度有，∴只需將函數的圖象向左平移個單位長度，即可得的圖象.故選：C2．若將函數的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關于y軸對稱，則的最小值為（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】函數的圖象向右平移個單位長度所得函數為：，則關于y軸對稱，即，則，因為，所以當時，的最小值為，故選：D.3．將函數的圖象向右平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，則所得圖象的函數解析式為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】將的圖象向右平移個單位長度，得到圖象的解析式為，再將的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，則所得圖象的函數解析式為，故選：D．4．將函數的圖像向左平移個單位長度，再將得到的圖像上的所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），最后得到函數的圖像，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數的圖像向左平移個單位長度得，再將得到的圖像上的所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）得到，即，故選：C5．為得到函數的圖像，只需將函數的圖像（）A．向左平移個長度單位B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位D．向右平移個長度單位【答案】A【解析】，將函數向左平移個長度單位，得到，故，解得，即向左平移個長度單位.故選：A6．已知曲線的圖像，，則下面結論正確的是（）A．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線【答案】D【解析】對于曲線，，要得到，則把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到，即得到曲線.故選：D.7．將函數的圖象向左平移a(a>0)個單位長度得到函數g(x)=cos2x的圖象，則a的最小值為（）A．B．C．D．π【答案】B【解析】將函數f(x)=sin(2x-)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度，可得函數y=sin[2(x+a)-]=sin[2x+(2a-)]的圖象，所以y=sin[2x+(2a-)]的圖象與g(x)=cos2x的圖象重合.因為g(x)=cos2x=sin(2x+)，所以2a-=2kπ+，k∈Z，即a=kπ+，k∈Z.當k=0時，可得amin=.故選：B.8．（多選）函數(，，)在一個周期內的圖像如圖所示，則（）A．該函數的解析式為B．該函數圖像的對稱中心為，C．該函數的增區間是，D．把函數的圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，可得到該函數圖像【答案】ACD【解析】由題圖可知，，周期，所以，則，因為當時，，即，所以，，即，，又，故，從而，故A正確；令，，得，，故B錯誤；令，，得，，故C正確；函數的圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，可得到，故D正確．故選:ACD9．已知函數.（1）若把圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得圖象向右平移，得到函數的圖象，寫出的函數解析式；（2）在（1）的基礎上求在的單調區間及值域.【答案】（1）；（2）增區間為，減區間為；【解析】（1）把圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變得到，再將所得函數圖象向右平移得到，則，（2）由，則，所以，所以，令，解得，即的單調遞增區間為，令，解得，即的單調遞減區間為，所以；即在上的單調遞增區間為，單調遞減區間為，值域為；10．某同學用“五點法“畫圖數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：（1）請將上表數據補充完整；（2）直接寫出函數的解析式，并求在上的值域；（3）將函數圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數的圖象．若函數圖象的一個對稱中心為，求的最小值0050【答案】（1）詳見解析；（2），值域為；（3）【解析】（1）由條件可知，解得：，，所以，解得：，當，解得：，當時，解得：，當時，0x0500（2）由（1）可知，當時，，所以，即當時，函數取得最小值，當時，函數取得最大值5，所以函數的值域是（3）函數圖象上所有點向左平移個單位長度，得，因為的對稱中心是，因為函數圖象的一個對稱中心為，所以，解得：,因為，當時，的最小值是.1．要得到函數的圖象，只需要將函數的圖象（）A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單位【答案】B【解析】因為,所以要得到函數的圖象，只需要將函數的圖象向右平移個單位,故選:B.2．把函數f(x)的圖象向右平移個單位后得到函數y=sin(x+)的圖象，則f(x)為（）A．sin(x+)B．sin(x+)C．sin(x+)D．sin(x-)【答案】C【解析】向右平移個單位后得到，則即為向左平移個單位，即．故選：C3．若將函數的圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平移個單位，則所得函數圖象的一個對稱中心為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】將函數的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得的圖象，再向右平移個單位，得的圖象,令，，解得，；時，得函數圖象的一個對稱中心為，．故選：A4．把函數的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標擴大到原來的兩倍，然后把圖象向左平移個單位，則所得圖象表示的函數的解析式為（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】把的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半，得到，再把縱坐標擴大到原來的兩倍，得到；然后把圖象向左平移個單位，得到，故選：B.5．已知函數的圖像關于軸對稱，則函數的圖像可由函數的圖像（）A．向右平移個單位長度得到B．向右平移個單位長度得到C．向左平移個單位長度得到D．向左平移個單位長度得到【答案】B【解析】的圖像關于軸對稱，，，，，的圖像可由的圖像向右平移個單位長度得到.故選:B6．函數的圖象向右平移φ(0<φ<)個單位長度后，得到函數g(x)的圖象，若函數g(x)為偶函數，則φ的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意知的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象，因為為偶函數，所以，所以，，又因為，所以．答案：B7．(多選)已知曲線:，:，則下面結論正確的是（）A．把向左平移個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到曲線B．把向左平移個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到曲線C．把上各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線D．把上各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線【答案】AD【解析】把向左平移個單位長度，得到的圖像，再把得到的曲線上各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到的圖像