專題四一次方程（組）九種題型歸類目錄一、熱點題型歸納【題型一】一元一次方程相關概念【題型二】解一元一次方程【題型三】同解方程【題型四】二元一次方程及解【題型五】二元一次方程組的相關概念【題型六】解二元一次方程組【題型七】同解方程組【題型八】二元一次方程組的含參問題【題型九】一次方程（組）的實際應用二、最新模考題組練【題型一】一元一次方程相關概念【典例分析】1.若方程（m﹣1）x|m﹣2|﹣8＝0是關于x的一元一次方程，則m＝（）A．1 B．2 C．3 D．1或32.根據等式的性質，下列各式變形正確的是（）A．若＝，則a＝b B．若ac＝bc，則a＝b C．若a2＝b2，則a＝b D．若﹣x＝6，則x＝﹣2【提分秘籍】一元一次方程的概念要注意：最高次數為1，只有一個未知數，且是整式方程。等式的基本性質要牢記：（1）等式的兩邊都加上(或減去)同一個數（或式子），結果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不為零），結果仍是等式.【變式演練】1.下列運用等式的性質對等式進行的變形中，錯誤的是（）A．若a＝b，則＝ B．若a＝b，則ac＝bc C．若a（x2+1）＝b（x2+1），則a＝b D．若x＝y，則x﹣3＝y﹣32.小麗同學在做作業時，不小心將方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一個常數污染了，在詢問老師后，老師告訴她方程的解是x＝9，請問這個被污染的常數■是（）A．4 B．3 C．2 D．13.假設“▲、●、■”分別表示三種不同的物體．如圖，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應放（）個■．A．5 B．6 C．7 D．8【題型二】解一元一次方程【典例分析】1.對于兩個不相等的有理數a，b，我們規定符號min{a，b}表示a、b兩數中較小的數，例如min{2，﹣4}＝﹣4，則方程min{x，﹣x}＝3x+4的解為（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1或x＝﹣2 D．x＝1或x＝22.若單項式與﹣2a3bn的和仍是單項式，則方程的解為（）A．x＝﹣23 B．x＝23 C．x＝﹣29 D．x＝293.解方程：（1）4x﹣5＝1﹣2（x﹣3）； （2）．【提分秘籍】解一元一次方程的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數化成1；⑥檢驗(檢驗步驟可以不寫出來).特別注意計算時符號的變化。【變式演練】1.按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是．2.小明解方程﹣1＝的步驟如下：解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①去括號，得3x+3﹣1＝2x﹣2②移項，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③合并同類項，得x＝﹣4④以上解題步驟中，開始出錯的一步是（）A．① B．② C．③ D．④3.解方程：（1）5x﹣2＝3x+6； （2）﹣1＝．4.解方程：（1）2（x+8）＝3（x﹣1）； （2）．【題型三】同解方程【典例分析】1.若方程3（2x﹣2）＝2﹣3x的解與關于x的方程6﹣2k＝2（x+3）的解相同，則k的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣【提分秘籍】同解方程的解相同，通過代入原方程求出參數或者于參數有關的新的方程，再解含參的方程即可。【變式演練】1.我們把有相同的解的兩個方程稱為同解方程．例如，方程2x＝6與方程4x＝12的解都為x＝3，所以它們為同解方程．若關于x的方程x﹣2（x﹣m）＝4和﹣＝1是同解方程，求m的值．2.方程3x+6＝0與關于x的方程3x＝2﹣2m的解相同，則m的值為（）A．﹣2 B．2 C．3 D．4【題型四】二元一次方程及解【典例分析】1.已知關于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1＝6是二元一次方程，則m，n的值為（）A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C． D．【提分秘籍】二元：含有兩個未知數；一次：最高次數為1，方程：為整式方程（組），根據概念列方程求值。【變式演練】1.若方程（m﹣1）x﹣2y＝4是關于x，y的二元一次方程，則m的值不可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22.若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是關于x，y的二元一次方程，則2a+b的值為（）A．0 B．﹣3 C．3 D．4【題型五】二元一次方程組的相關概念【典例分析】1.下列方程組是二元一次方程組的有（）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2.如果是關于x和y的二元一次方程mx﹣2y＝2的解，那么m的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【提分秘籍】判斷一個方程組是不是二元一次方程組應從方程組的整體上看，若一個方程組內含有兩個未知數，并且未知數的次數都是1次，這樣的方程組都叫做二元一次方程組．【變式演練】1.已知與都是方程x+y＝b的解．求（b+c）2016的值．2.方程組的解為，則被△和▽遮蓋的兩個數分別為（）A．﹣10，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．10，﹣63.若方程組是關于x，y的二元一次方程組，則mn＝．【題型六】解二元一次方程組【典例分析】1.解方程組：【提分秘籍】二元一次方程組的解法(1)代入消元法；(2)加減消元法.【變式演練】1.解方程組：． ．2.已知方程組的解滿足2kx﹣3y＜5，求k的取值范圍．【題型七】同解方程組【典例分析】1.已知方程組與有相同的解，求m和n值．【提分秘籍】利用同解的條件，求出x,y的值，代入方程，列出關于m，n的方程組，再進行求解。【變式演練】1.已知方程組和有相同的解，求a2﹣2ab+b2的值．2.已知方程組與有相同的解，則a，b的值為（）A． B． C． D．【題型八】二元一次方程組的含參問題【典例分析】1.已知3x|m|+（m+1）y＝6是關于x、y的二元一次方程，則m的值為（）A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝22.在方程組中，若未知數x、y滿足x+y＞0，則m的取值范圍應為（）A．m＜3 B．m＞3 C．m＜0 D．m＞0【提分秘籍】根據題意用參數表示x,y，再根據題意列出方程或不等式，最后求解即可。【變式演練】1.解關于x，y方程組可以用①×2+②，消去未知數x；也可以用①+②×5消去未知數y．則m＝，n＝．2.關于x，y的二元一次方程組，若x﹣3y≥0，則k的取值范圍是．3.已知二元一次方程組，xy≥2，則t的最小值是（）A．1 B． C．0 D．【題型九】一次方程（組）的實際應用【典例分析】1.為了增強學生的安全防范意識，某校初三（1）班班委舉行了一次安全知識搶答賽，搶答題一共20個，記分規則如下：每答對一個得5分，每答錯或不答一個扣1分．小紅一共得70分，則小紅答對的個數為（）A．14 B．15 C．16 D．172.在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發，則甲出發半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的速度．3.學校開展大課間活動，某班需要購買A、B兩種跳繩．已知購進10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元；購進15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元．（1）求購進一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？（2）設購買A種跳繩m根，若班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，所花費用不少于548元且不多于560元，則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？4.一列火車從A站開往B站，若火車以90千米/時的速度行駛，能準時到達B站，現火車以80千米/時的速度行駛了2小時后把速度提高到120千米/時，也能準時到達B站，求A、B兩站之間的距離．【提分秘籍】工程問題：工作量=工作效率×工作時間利息問題：利息=本金×利率×時間銷售問題：利潤=售價-進價=進價×利潤率；售價=標價×折扣；銷售額=售價×銷量行程問題：路程=速度×時間；順水速度=靜水速度＋水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度【變式演練】我省某村委會根據“十四五”規劃的要求，打造鄉村品牌，推銷有機黑胡椒和有機白胡椒．已知每千克有機黑胡椒比每千克有機白胡椒的售價便宜10元，購買2千克有機黑胡椒和3千克有機白胡椒需付280元，求每千克有機黑胡椒和每千克有機白胡椒的售價．2.某商場購進A，B兩種商品，已知購進3件A商品和5件B商品費用相同，購進3件A商品和1件B商品總費用為360元．（1）求A，B兩種商品每件進價各為多少元？（列方程或方程組求解）（2）若該商場計劃購進A，B兩種商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元銷售，B商品按每件80元銷售，求銷售完A，B兩種商品后獲得總利潤w（元）與m（件）的函數關系式．3.《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？4.某農場用2臺大收割機和5臺小收割機同時工作2小時共收割小麥3.6公頃，3臺大收割機和2臺小收割機同時工作5小時共收割小麥8公頃．1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥多少公頃？5.某校的大學生自愿者參與服務工作，計劃組織全校自愿者統一乘車去某地．若單獨調配36座客車若干輛，則空出6個座位．若只調配22座客車若干輛，則用車數量將增加3輛，并有12人沒有座位．（1）計劃調配36座客車多少輛？該大學共有多少名自愿者？（列方程組解答）（2）若同時調配36座和22座兩種車型，既保證每人有座，又保證每車不空座，則兩種車型各需多少輛？1．（2023·廣東河源·統考一模）下列式子中，是它的解的是（）A． B． C． D．2．（2023·山東濱州·統考一模）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方（如圖1），將9個數填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數字之和都相等，就得到一個廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫了一些數字和字母，若能構成一個廣義的三階幻方，則（

）A．1 B．2 C．3 D．03．（2023·廣東廣州·統考一模）《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作之一，書中記載：“今有人共買兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，問人數幾何？”意思是：“有若干人共同出錢買兔，如果每人出七錢，那么多了十一錢；如果每人出五錢，那么少了十三錢．問：共有幾個人?”設有個人共同買兔，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．4．（2023·北京海淀·北理工附中校考模擬預測）已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為（

）A． B．1 C． D．05．（2023·河南駐馬店·校聯考二模）若關于的分式方程的解是，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江溫州·統考一模）若干名學生一起去種樹，如果每人種4棵，則還剩下3棵樹苗：如果每人種5棵，則缺少5棵樹苗．設學生有人，樹苗有棵，根據題意可列出方程組（

）A． B． C． D．7．（2023·安徽合肥·合肥市第四十八中學校考一模）已知三個實數a，b，c滿足，，則下列結論正確的是（）A．， B．，C．， D．，8．（2023·江蘇鹽城·統考一模）已知二元一次方程，其中x與y互為相反數，則x、y的值為（

）A． B． C． D．9．（2023·甘肅定西·統考一模）已知是方程組的解，則a﹣b的值是（

）A． B． C． D．10．（2023·江蘇揚州·統考一模）若關于x的方程的一個根為3，則m的值為_______．11．（2023·江西贛州·統考一模）幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”當中，根據幻方的相等關系設計出來一個“幻圓”，即大圓．小圓．橫線．豎線上的四個數字加起來的和均相等．如圖給出了部分數字，則幻圓中的值為________．12．（2023·陜西西安·校考三模）請閱讀下面的詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數，四只棲一樹，五只沒處去，五只棲一樹，閑了一棵樹，請你仔細數，鴉樹各幾何？”詩中談到的鴉為_____只，樹為_____棵．13．（2023·山東泰安·寧陽二中校考一模）關于的方程組，則的值等于______．14．（2023·山東濟寧·統考一模）已知關于x，y的方程組的解是，則直線與的交點坐標為______．15．（2023·重慶·模擬預測）若一個四位數M的各個數位數字之和為16，并且千位數字與十位數字之差的絕對值等于2，百位數字與個位數字之差的絕對值等于2，則這個四位數M為“差2數”．若一個四位數N的各個數位數字成比例，則這個四位數N為“成比例數”，例如：，∵各個數位數字由小到大排列后為1，2，3，6，滿足，∴1362為“成比例數”．若一個四位數Q既是“差2數”，又是“成比例數”，則滿足條件的Q的最大值為_______．16．（2023·統考一模）解方程：17．（2023·山東德州·統考一模）按要求計算(1)解方程組：(2)化簡：．18．（2023·廣東梅州·統考一模）若關于x，y的二元一次方程，若滿足，．(1)求參數a的取值范圍；(2)若y為一個直角三角形的一條直角邊長，x為該直角三角形的斜邊長，另一條直角邊長為方程的一個根，試求該直角三角形的周長．19．（2023·安徽宿州·宿州市第十一中學校考模擬預測）為了豐富同學們的課余生活、拓展同學們的視野，學校書店準備購進甲、乙兩類中學生書刊，已知甲類書刊比乙類書刊每本貴2元，若購買500本甲類書刊和400本乙類書刊共需要8200元，其中甲、乙兩類書刊的進價和售價如表：甲乙進價/（元/本）售價/（元/本）2013(1)求，的值；(2)第二次小賣部購進了1000本甲書刊和500本乙書刊，為了擴大銷量，小賣部準備對甲書刊進行打折出售，乙書刊價格不變，全部售完后總利潤為8500元，求甲書刊打了幾折？20．（2023·陜西西安·交大附中分校校考三模）如圖，某小區矩形綠地的長寬分別為．現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．若擴充后的矩形綠地的長是寬的2倍，求新的矩形綠地的長與寬；21．（2023·安徽宿州·統考一模）2022年7月，河南安陽等地遭遇特大暴雨襲擊，暴雨中有房屋倒塌，道路被沖毀，車輛被沖走．災情發生后，全國各地紛紛援助．合肥某公司籌集了一批物資，準備運往災區，計劃租用甲、乙兩種型號的貨車，在每輛貨車都滿載的情況下，若租用30輛甲型貨車和50輛乙型貨車可裝載1500箱物資；若租用20輛甲型貨車和60輛乙型貨車可裝載1400箱物資．求出甲、乙兩種型號的貨車每輛分別可裝載多少箱物資？22．（2023·河南開封·一模）部分手機生產商以環保為名銷售手機時不再搭配充電器，某電商看準時機，購進一批慢充充電器和快充充電器在網上銷售，已知該電商銷售個慢充充電器和個快充充電器的利潤為元；銷售個慢充充電器和個快充充電器的利潤為元．(1)求每個慢充充電器和每個快充充電器的銷售利潤；(2)該電商購進兩種型號的充電器共個，其中快充充電器的進貨量不超過慢充充電器的倍，設購進慢充充電器個，這個充電器的銷售總利潤為元．①求關于的函數關系式；②該電商購進兩種充電器各多少個，才能使銷售總利潤最大？最大利潤是多少？專題四一次方程（組）九種題型歸類目錄一、熱點題型歸納【題型一】一元一次方程相關概念【題型二】解一元一次方程【題型三】同解方程【題型四】二元一次方程及解【題型五】二元一次方程組的相關概念【題型六】解二元一次方程組【題型七】同解方程組【題型八】二元一次方程組的含參問題【題型九】一次方程（組）的實際應用二、最新模考題組練【題型一】一元一次方程相關概念【典例分析】1.若方程（m﹣1）x|m﹣2|﹣8＝0是關于x的一元一次方程，則m＝（）A．1 B．2 C．3 D．1或3分析：根據一元一次方程的定義得出|m﹣2|＝1且m﹣1≠0，再求出m即可．【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m﹣2|﹣8＝0是關于x的一元一次方程，∴|m﹣2|＝1且m﹣1≠0，即m＝3或1且m≠1，∴m＝3，故選：C．【點評】本題考查了一元一次方程的定義，能根據一元一次方程的定義得出|m﹣2|＝1和m﹣1≠0是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數，并且所含未知數的項的最高次數是1次的整式方程，叫一元一次方程．2.根據等式的性質，下列各式變形正確的是（）A．若＝，則a＝b B．若ac＝bc，則a＝b C．若a2＝b2，則a＝b D．若﹣x＝6，則x＝﹣2分析：根據等式的性質，進行計算逐一判斷即可解答．【解答】解：A、若＝，則a＝b，故A符合題意；B、若ac＝bc（c≠0），則a＝b，故B不符合題意；C、若a2＝b2，則a＝±b，故C不符合題意；D、﹣x＝6，則x＝﹣18，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了等式的性質，熟練掌握等式的性質是解題的關鍵．【提分秘籍】一元一次方程的概念要注意：最高次數為1，只有一個未知數，且是整式方程。等式的基本性質要牢記：（1）等式的兩邊都加上(或減去)同一個數（或式子），結果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不為零），結果仍是等式.【變式演練】1.下列運用等式的性質對等式進行的變形中，錯誤的是（）A．若a＝b，則＝ B．若a＝b，則ac＝bc C．若a（x2+1）＝b（x2+1），則a＝b D．若x＝y，則x﹣3＝y﹣3分析：根據等式的性質2對A選項、B選項和C選項進行判斷；根據等式的性質1對D選項進行判斷．【解答】解：A．若a＝b，c≠0，則＝，所以A選項符合題意；B．若a＝b，則ac＝bc，所以B選項不符合題意；C．若a（x2+1）＝b（x2+1），則a＝b，所以C選項不符合題意；D．若x＝y，則x﹣3＝y﹣3，所以D選項不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了等式的性質：性質1、等式兩邊加同一個數（或式子）結果仍得等式；性質2、等式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式．2.小麗同學在做作業時，不小心將方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一個常數污染了，在詢問老師后，老師告訴她方程的解是x＝9，請問這個被污染的常數■是（）A．4 B．3 C．2 D．1分析：根據方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可．【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得2×（9﹣3）﹣■＝9+1，解得■＝2；故選：C．【點評】本題考查了方程的解，掌握代入計算法是解題關鍵．3.假設“▲、●、■”分別表示三種不同的物體．如圖，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應放（）個■．A．5 B．6 C．7 D．8分析：根據前兩架天平保持平衡，可得：1個三角形等于1個圓加1個正方形，2個圓等于1個三角形和1個正方形，所以2個圓等于1個圓加2個正方形，據此推得1個圓＝2個正方形，所以要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應放6個■．【解答】解：∵1個▲＝1個●+1個■，2個●＝1個▲+1個■，∴2個●＝（1個●+1個■）+1個■＝1個●+2個■，∴1個●＝2個■，∴3個●＝6個■，∴如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應放6個■．故選：B．【點評】此題主要考查了等式的性質，要熟練掌握，解答此題的關鍵是判斷出圓、正方形的關系．【題型二】解一元一次方程【典例分析】1.對于兩個不相等的有理數a，b，我們規定符號min{a，b}表示a、b兩數中較小的數，例如min{2，﹣4}＝﹣4，則方程min{x，﹣x}＝3x+4的解為（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1或x＝﹣2 D．x＝1或x＝2分析：根據題意，（1）x≥0時，﹣x＝3x+4，（2）x＜0時，x＝3x+4，根據解一元一次方程的方法，求出x的值即可．【解答】解：（1）x≥0時，x≥﹣x，∵min{x，﹣x}＝3x+4，∴﹣x＝3x+4，解得x＝﹣1．（2）x＜0時，x＜﹣x，∵min{x，﹣x}＝3x+4，∴x＝3x+4，解得x＝﹣2．綜上，可得方程min{x，﹣x}＝3x+4的解為x＝﹣1或x＝﹣2．故選：C．【點評】此題主要考查了解一元一次方程的方法，解答此題的關鍵是注意分兩種情況．2.若單項式與﹣2a3bn的和仍是單項式，則方程的解為（）A．x＝﹣23 B．x＝23 C．x＝﹣29 D．x＝29分析：首先根據題意，可得：，據此求出m、n的值；然后根據解一元一次方程的方法，求出方程的解即可．【解答】解：∵單項式與﹣2a3bn的和仍是單項式，∴，解得：，∴﹣＝1，去分母，可得：2（x﹣7）﹣3（1+x）＝6，去括號，可得：2x﹣14﹣3﹣3x＝6，移項，可得：2x﹣3x＝6+14+3，合并同類項，可得：﹣x＝23，系數化為1，可得：x＝﹣23．故選：A．【點評】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1．3.解方程：（1）4x﹣5＝1﹣2（x﹣3）；（2）．分析：（1）先去括號，然后移項合并同類項，即可求解；（1）先去分母，再去括號，然后移項合并同類項，即可求解．【解答】解：（1）去括號得：4x﹣5＝1﹣2x+6，移項得：4x+2x＝1+6+5，合并同類項得：6x＝12，系數化為1，得：x＝2；（2）去分母得：2x﹣1＝3（2x﹣3），去括號得：2x﹣1＝6x﹣9，移項2x﹣6x＝﹣9+1，合并同類項得：﹣4x＝﹣8，系數化為1，得：x＝2．【點評】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的基本步驟，并注意移項要變號，去括號時括號前面是負號，去掉括號和負號，里面各項都變號是解題的關鍵．【提分秘籍】解一元一次方程的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數化成1；⑥檢驗(檢驗步驟可以不寫出來).特別注意計算時符號的變化。【變式演練】1.按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是．分析：不知x的正負，因此需要分類討論，分別求解．【解答】解：當x＞0時，+1＝2，解并檢驗得x＝1．當x≤0時，2x﹣1＝2，解得x＝1.5，∵1.5＞0，舍去．所以x＝1．故答案為：x＝1．【點評】本題中的字母表示的數沒有明確告知正負數時，需要分類討論，再代入解方程，注意：解必須在條件下才成立．2.小明解方程﹣1＝的步驟如下：解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①去括號，得3x+3﹣1＝2x﹣2②移項，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③合并同類項，得x＝﹣4④以上解題步驟中，開始出錯的一步是（）A．① B．② C．③ D．④分析：對題目的解題過程逐步分析，即可找出出錯的步驟．【解答】解：方程兩邊同乘6應為：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），∴出錯的步驟為：①，故選：A．【點評】本題考查解一元一次方程，解題關鍵在于能準確觀察出出錯的步驟．3.解方程：（1）5x﹣2＝3x+6；（2）﹣1＝．分析：（1）方程移項，合并同類項，把x系數化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號，移項，合并同類項，把x系數化為1，即可求出解．【解答】解：（1）移項，得：5x﹣3x＝6+2，合并同類項，得：2x＝8，解得：x＝4；（2）去分母，得：3（x+2）﹣6＝2（2x﹣1），去括號，得：3x+6﹣6＝4x﹣2，移項，得：3x﹣4x＝﹣2﹣6+6，合并同類項，得：﹣x＝﹣2，解得：x＝2．【點評】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關鍵．4.解方程：（1）2（x+8）＝3（x﹣1）；（2）．分析：（1）去括號，移項，合并同類項，系數化成1即可；（2）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化成1即可．【解答】解：（1）2（x+8）＝3（x﹣1），去括號，得2x+16＝3x﹣3，移項，得2x﹣3x＝﹣3﹣16，合并同類項，得﹣x＝﹣19，系數化成1，得x＝19；（2），去分母，得3（2x﹣1）﹣2（2x+5）＝6x﹣7﹣6，去括號，得6x﹣3﹣4x﹣10＝6x﹣13，移項，得6x﹣4x﹣6x＝﹣13+3+10，合并同類項，得﹣4x＝0，系數化成1，得x＝0．【點評】本題考查了解一元一次方程，能正確根據等式的性質進行變形是解此題的關鍵．【題型三】同解方程【典例分析】1.若方程3（2x﹣2）＝2﹣3x的解與關于x的方程6﹣2k＝2（x+3）的解相同，則k的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣分析：先解方程3（2x﹣2）＝2﹣3x，得x＝，因為這個解也是方程6﹣2k＝2（x+3）的解，根據方程的解的定義，把x代入方程6﹣2k＝2（x+3）中求出k的值．【解答】解：3（2x﹣2）＝2﹣3x得：x＝把x＝代入方程6﹣2k＝2（x+3）得：6﹣2k＝2（+3）解得：k＝．故選：B．【點評】本題的關鍵是正確解一元一次方程．理解方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．【提分秘籍】同解方程的解相同，通過代入原方程求出參數或者于參數有關的新的方程，再解含參的方程即可。【變式演練】1.我們把有相同的解的兩個方程稱為同解方程．例如，方程2x＝6與方程4x＝12的解都為x＝3，所以它們為同解方程．若關于x的方程x﹣2（x﹣m）＝4和﹣＝1是同解方程，求m的值．分析：先求出兩個方程的解，然后再利用同解方程的定義列出關于m的方程進行計算即可解答．【解答】解：x﹣2（x﹣m）＝4，x﹣2x+2m＝4，x＝2m﹣4，﹣＝1，3（x+m）﹣2x＝6，3x+3m﹣2x＝6，x＝6﹣3m，由題意得：2m﹣4＝6﹣3m，5m＝10，m＝2，∴m的值為2．【點評】本題考查了同解方程，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．2.方程3x+6＝0與關于x的方程3x＝2﹣2m的解相同，則m的值為（）A．﹣2 B．2 C．3 D．4分析：先解方程3x+6＝0，求出x的值，然后再把x的值代入方程3x＝2﹣2m中進行計算即可解答．【解答】解：3x+6＝0，3x＝﹣6，x＝﹣2，把x＝﹣2代入方程3x＝2﹣2m中可得：﹣6＝2﹣2m，解得：m＝4，故選：D．【點評】本題考查了同解方程，熟練掌握同解方程是解題的關鍵．【題型四】二元一次方程及解【典例分析】1.已知關于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1＝6是二元一次方程，則m，n的值為（）A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C． D．分析：利用二元一次方程的定義判斷即可．【解答】解：∵方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1＝6是二元一次方程，∴，解得：，故選：A．【點評】此題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解本題的關鍵．【提分秘籍】二元：含有兩個未知數；一次：最高次數為1，方程：為整式方程（組），根據概念列方程求值。【變式演練】1.若方程（m﹣1）x﹣2y＝4是關于x，y的二元一次方程，則m的值不可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2分析：利用二元一次方程的定義，得出關于m的一元一次不等式組，再解不等式組即可即可．【解答】解：因為（m﹣1）x﹣2y＝4是關于x、y的二元一次方程，所以m﹣1≠0，所以m≠1，故選：C．【點評】本題主要考查了二元一次方程的定義，利用二元一次方程的定義，得出關于m的式子是解題的關鍵．2.若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是關于x，y的二元一次方程，則2a+b的值為（）A．0 B．﹣3 C．3 D．4分析：根據二元一次方程的定義，得出a+b＝1，3a+2b﹣4＝1，解出a、b的值，然后把a、b的值代入2a+b，計算即可得出結果．【解答】解：∵4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是關于x，y的二元一次方程，∴，解得，把代入2a+b，得：2a+b＝2×3﹣2＝4．故選：D．【點評】此題考查二元一次方程定義，二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數；（2）含未知數項的次數都為一次；（3）方程是整式方程【題型五】二元一次方程組的相關概念【典例分析】1.下列方程組是二元一次方程組的有（）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個分析：根據二元一次方程組的定義求解即可．【解答】解：經過觀察可發現方程組③有三個未知數，不是二元一次方程組，方程組①②④都是二元一次方程組，共有3個．故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程組，利用二元一次方程組的定義是解題關鍵．二元一次方程組的定義：由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數的方程組叫做二元一次方程組．2.如果是關于x和y的二元一次方程mx﹣2y＝2的解，那么m的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2分析：把代入方程mx﹣2y＝2得出﹣2m﹣6＝2，求出m即可．【解答】解：把代入方程mx﹣2y＝2得，﹣2m﹣6＝2，解得m＝﹣4，故選：A．【點評】本題考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出關于m的一元一次方程是解此題的關鍵．【提分秘籍】判斷一個方程組是不是二元一次方程組應從方程組的整體上看，若一個方程組內含有兩個未知數，并且未知數的次數都是1次，這樣的方程組都叫做二元一次方程組．【變式演練】1.已知與都是方程x+y＝b的解．求（b+c）2016的值．分析：把與代入方程x+y＝b，求出b、c的值，再應用代入法，求出（b+c）2016的值即可．【解答】解：∵與都是方程x+y＝b的解，∴，解得：，∴（b+c）2016＝[2+（﹣1）]2016＝12016＝1．【點評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應用．2.方程組的解為，則被△和▽遮蓋的兩個數分別為（）A．﹣10，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．10，﹣6分析：首先把x＝﹣2代入x﹣y＝4，求出y的值，然后把x、y的值代入2x﹣y＝△，求出△的值即可．【解答】解：∵方程組的解為，∴﹣2﹣y＝4，解得：y＝﹣6，∴▽＝﹣6，∴Δ＝2×（﹣2）﹣（﹣6）＝2，∴被△和▽遮蓋的兩個數分別為2，﹣6．故選：B．【點評】此題主要考查了二元一次方程組的解的含義和應用，解答此題的關鍵是求出y的值．3.若方程組是關于x，y的二元一次方程組，則mn＝．分析：先根據二元一次方程組的概念得出，據此求出m、n的值，代入計算可得．【解答】解：根據題意知，，解得m＝﹣1，n＝2，則mn＝（﹣1）2＝1，故答案為：1．【點評】本題考查的是一元二次方程組的定義，二元一次方程組也滿足三個條件：①方程組中的兩個方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個未知數．③每個方程都是一次方程．【題型六】解二元一次方程組【典例分析】1.解方程組：分析：利用加減消元法解答即可．【解答】解：，①+②，得：5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入①，得：6+y＝8，解得y＝4，所以原方程組的解為．【提分秘籍】二元一次方程組的解法(1)代入消元法；(2)加減消元法.【變式演練】1.解方程組：．分析：方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．【解答】解：方程組整理得：，①×15+②×2得：49x＝﹣294，解得：x＝﹣6，把x＝﹣6代入②得：y＝1，則方程組的解為．．【解答】解：整理方程組得，①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，y＝1，把y＝1代入①得x﹣2＝3，解得x＝5，∴方程組的解為．【點評】本題考查了解二元一次方程組，做題關鍵是掌握加減消元法和代入消元法解二元一次方程組．2.已知方程組的解滿足2kx﹣3y＜5，求k的取值范圍．分析：用加減消元法求出方程組的解，代入2kx﹣3y＜5即可得到k的取值范圍．【解答】解：①+②得：2x＝4，∴x＝2，①﹣②得：2y＝2，∴y＝1，代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，∴k＜2．答：k的取值范圍為：k＜2．【點評】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉化為一元是解題的關鍵．【題型七】同解方程組【典例分析】1.已知方程組與有相同的解，求m和n值．分析：兩個方程組的解相同，也就是有一組x、y的值是這四個方程的公共解，當然也是其中任意兩個方程的公共解，所以可以把原來的方程組打亂，重新組合起來求解．【解答】解：由已知可得，解得，把代入剩下的兩個方程組成的方程組，得，解得m＝﹣1，n＝﹣4．【點評】解答此題的關鍵是熟知方程組有公共解得含義，考查了學生對題意的理解能力．【提分秘籍】利用同解的條件，求出x,y的值，代入方程，列出關于m，n的方程組，再進行求解。【變式演練】1.已知方程組和有相同的解，求a2﹣2ab+b2的值．分析：先求出已知方程組（1）的解，再代入方程組（2）即可求出a、b的值，進一步即可求解．【解答】解：解方程組得，把代入第二個方程組得，解得，則a2﹣2ab+b2＝22﹣2×2×1+12＝1．【點評】考查了同解方程組，解答此題的關鍵是要弄清題意，方程組有相同的解及說明方程組（1）的解也適合（2），不要盲目求解，造成解題過程復雜化．2.已知方程組與有相同的解，則a，b的值為（）A． B． C． D．分析：因為方程組有相同的解，所以只需求出一組解代入另一組，即可求出未知數的值．【解答】解：解方程組：它的解滿足方程組，解得：解之得，代入，解得，故選：D．【點評】此題很簡單，解答此題的關鍵是熟知方程組有公共解的含義，考查了學生對題意的理解能力．【題型八】二元一次方程組的含參問題【典例分析】1.已知3x|m|+（m+1）y＝6是關于x、y的二元一次方程，則m的值為（）A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2分析：根據二元一次方程的定義列式進行計算即可得解．【解答】解：根據題意得|m|＝1且m+1≠0，所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，所以m＝1．故選：A．【點評】本題考查了二元一次方程的形式及其特點：含有2個未知數，未知數的最高次項的次數是1的整式方程，要注意未知項的系數不等于0．2.在方程組中，若未知數x、y滿足x+y＞0，則m的取值范圍應為（）A．m＜3 B．m＞3 C．m＜0 D．m＞0分析：將方程組中兩方程相加，便可得到關于x+y的方程，再根據x+y＞0，即可求出m的取值范圍．【解答】解：，①+②得，（2x+y）+（x+2y）＝（1﹣m）+2，即3x+3y＝3﹣m，可得x+y＝，∵x+y＞0，∴＞0，解得m＜3，故選：A．【點評】此題考查的是二元一次方程組和不等式的性質，要注意x+y＞0，則解出x，y關于m的式子，最終求出m的取值范圍．【提分秘籍】根據題意用參數表示x,y，再根據題意列出方程或不等式，最后求解即可。【變式演練】1.解關于x，y方程組可以用①×2+②，消去未知數x；也可以用①+②×5消去未知數y．則m＝，n＝．分析：根據已知得出關于m、n的方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：∵解關于x，y方程組可以用①×2+②，消去未知數x；也可以用①+②×5消去未知數y，∴，即，解得m＝﹣23，n＝﹣39．故答案為：﹣23，﹣39．【點評】本題考查了解二元一次方程組，能得出關于m、n的方程組是解此題的關鍵．2.關于x，y的二元一次方程組，若x﹣3y≥0，則k的取值范圍是k≤﹣1．分析：利用加減消元法解不等式組，得到x和y關于k的值，代入x+y＜2，得到關于k的不等式，解之即可．【解答】解：①+②×2得，11x＝49﹣2k，解得x＝，把x＝代入②得，＝18+k，解得y＝，∵x﹣3y≥0，∴，解得：k≤﹣1，即k的取值范圍為：k≤﹣1故答案為：k≤﹣1【點評】本題考查解一元一次不等式和解二元一次方程組，正確掌握解一元一次不等式和解二元一次方程組的步驟是解題的關鍵．3.已知二元一次方程組，xy≥2，則t的最小值是（）A．1 B． C．0 D．分析：把t看作已知數表示出方程組的解，代入已知不等式求出t的范圍，即可求出最小值．【解答】解：方程組，①+②得：2x＝6t﹣2，解得：x＝3t﹣1，①﹣②得：2y＝4，解得：y＝2，把x＝3t﹣1，y＝2代入xy≥2得：2（3t﹣1）≥2，整理得：3t﹣1≥1，解得：t≥，則t的最小值為．故選：B．【點評】此題考查了解二元一次方程組，以及解一元一次不等式，熟練掌握各自的解法是解本題的關鍵．【題型九】一次方程（組）的實際應用【典例分析】1.為了增強學生的安全防范意識，某校初三（1）班班委舉行了一次安全知識搶答賽，搶答題一共20個，記分規則如下：每答對一個得5分，每答錯或不答一個扣1分．小紅一共得70分，則小紅答對的個數為（）A．14 B．15 C．16 D．17分析：設小紅答對的個數為x個，根據搶答題一共20個，記分規則如下：每答對一個得（5分），每答錯或不答一個扣（1分），列出方程求解即可．【解答】解：設小紅答對的個數為x個，由題意得5x﹣（20﹣x）＝70，解得x＝15，故選：B．【點評】本題主要考查了一元一次方程的應用，正確理解題意是列出方程求解是解題的關鍵．2.在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發，則甲出發半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的速度．分析：（1）設乙騎行的速度為x千米/時，則甲騎行的速度為1.2x千米/時，利用路程＝速度×時間，結合甲追上乙時二者的行駛路程相等，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可求出乙騎行的速度，再將其代入1.2x中即可求出甲騎行的速度；（2）設乙騎行的速度為y千米/時，則甲騎行的速度為1.2y千米/時，利用時間＝路程÷速度，結合乙比甲多用20分鐘，即可得出關于y的分式方程，解之經檢驗后即可求出乙騎行的速度，再將其代入1.2y中即可求出甲騎行的速度．【解答】解：（1）設乙騎行的速度為x千米/時，則甲騎行的速度為1.2x千米/時，依題意得：×1.2x＝2+x，解得：x＝20，∴1.2x＝1.2×20＝24．答：甲騎行的速度為24千米/時．（2）設乙騎行的速度為y千米/時，則甲騎行的速度為1.2y千米/時，依題意得：﹣＝，解得：y＝15，經檢驗，y＝15是原方程的解，且符合題意，∴1.2y＝1.2×15＝18．答：甲騎行的速度為18千米/時．【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及分式方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）找準等量關系，正確列出分式方程．3.學校開展大課間活動，某班需要購買A、B兩種跳繩．已知購進10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元；購進15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元．（1）求購進一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？（2）設購買A種跳繩m根，若班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，所花費用不少于548元且不多于560元，則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？分析：（1）設購進一根A種跳繩需x元，購進一根B種跳繩需y元，根據“購進10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元：購進15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購買A種跳繩m根，則購買B種跳繩（45﹣m）根，利用總價＝單價×數量，結合總價不少于548元且不多于560元，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為整數，即可得出各購買方案；（3）設購買跳繩所需總費用為w元，利用總價＝單價×數量，即可得出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．【解答】解：（1）設購進一根A種跳繩需x元，購進一根B種跳繩需y元，依題意得：，解得：．答：購進一根A種跳繩需10元，購進一根B種跳繩需15元．（2）∵該班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，且購買A種跳繩m根，∴購買B種跳繩（45﹣m）根．依題意得：，解得：23≤m≤25.4，又∵m為整數，∴m可以取23，24，25，∴共有3種購買方案，方案1：購買23根A種跳繩，22根B種跳繩；方案2：購買24根A種跳繩，21根B種跳繩；方案3：購買25根A種跳繩，20根B種跳繩．（3）設購買跳繩所需總費用為w元，則w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．∵﹣5＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當m＝25時，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．答：在（2）的條件下，購買方案3需要的總費用最少，最少費用是550元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組；（3）根據各數量之間的關系，找出w關于m的函數關系式．4.一列火車從A站開往B站，若火車以90千米/時的速度行駛，能準時到達B站，現火車以80千米/時的速度行駛了2小時后把速度提高到120千米/時，也能準時到達B站，求A、B兩站之間的距離．分析：根據題目中的等量關系列方程組解答，方法一：題目中存在的等量關系為：①以90千米/時×時間＝A站到B站的路程；②速度為80千米/時行駛的路程+速度為120千米/時行駛的路程＝A站到B站的路程．方法二：以90千米/時的速度行駛A，B兩站的路程用的時間＝以80千米/時速度行駛用的2小時+以120千米/時速度行駛剩余路程用的時間．【解答】解：方法一；設從A站到B站的行駛時間為x，A、B兩站之間的距離為y千米，由題意得．解得，．答：A、B兩站之間的距離為240千米．方法二：設A、B兩站之間的距離為m千米．由題意得，．解得，m＝240．答：A、B兩站之間的距離為240千米．【點評】本題考查了一次方程（組）的應用，弄清題意找出等量關系是解題的關鍵．【提分秘籍】工程問題：工作量=工作效率×工作時間利息問題：利息=本金×利率×時間銷售問題：利潤=售價-進價=進價×利潤率；售價=標價×折扣；銷售額=售價×銷量行程問題：路程=速度×時間；順水速度=靜水速度＋水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度【變式演練】1.我省某村委會根據“十四五”規劃的要求，打造鄉村品牌，推銷有機黑胡椒和有機白胡椒．已知每千克有機黑胡椒比每千克有機白胡椒的售價便宜10元，購買2千克有機黑胡椒和3千克有機白胡椒需付280元，求每千克有機黑胡椒和每千克有機白胡椒的售價．分析：設每千克有機黑胡椒的售價為x元，每千克有機白胡椒的售價為y元，根據“每千克有機黑胡椒比每千克有機白胡椒的售價便宜10元，購買2千克有機黑胡椒和3千克有機白胡椒需付280元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設每千克有機黑胡椒的售價為x元，每千克有機白胡椒的售價為y元，依題意得：，解得：．答：每千克有機黑胡椒的售價為50元，每千克有機白胡椒的售價為60元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．2.某商場購進A，B兩種商品，已知購進3件A商品和5件B商品費用相同，購進3件A商品和1件B商品總費用為360元．（1）求A，B兩種商品每件進價各為多少元？（列方程或方程組求解）（2）若該商場計劃購進A，B兩種商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元銷售，B商品按每件80元銷售，求銷售完A，B兩種商品后獲得總利潤w（元）與m（件）的函數關系式．分析：（1）根據題意列方程組，并求解．（2）根據（1）的結論，列函數關系式【解答】解：（1）A商品每件的進價為x元，B商品每件的進價為y元，根據題意得：．解得：；答：A商品每件的進價為100元，B商品每件的進價為60元．（2）∵A商品m件，∴B商品（80﹣m）件，∴w＝（150﹣100）m+（80﹣60）（80﹣m）＝30m+1600．【點評】本題考查二元一次方程組的應用，及列函數表達式，因此審題列方程組是解題的關鍵．3.《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？分析：設有x人，該書單價y元，根據“如果每人出8元，則多了3元；如果每人出7元，則少了4元錢”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設學生有x人，該書單價y元，根據題意得：，解得：．答：學生有7人，該書單價53元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．4.某農場用2臺大收割機和5臺小收割機同時工作2小時共收割小麥3.6公頃，3臺大收割機和2臺小收割機同時工作5小時共收割小麥8公頃．1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥多少公頃？分析：設每臺大、小收割機每小時收割小麥分別為x公頃，y公頃，根據題意，列出方程組求解．【解答】解：設每臺大、小收割機每小時收割小麥分別為x公頃，y公頃，由題意得，，解得：，答：每臺大、小收割機每小時收割小麥分別為0.4公頃，0.2公頃．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，找出合適的等量關系，列方程組求解．5.某校的大學生自愿者參與服務工作，計劃組織全校自愿者統一乘車去某地．若單獨調配36座客車若干輛，則空出6個座位．若只調配22座客車若干輛，則用車數量將增加3輛，并有12人沒有座位．（1）計劃調配36座客車多少輛？該大學共有多少名自愿者？（列方程組解答）（2）若同時調配36座和22座兩種車型，既保證每人有座，又保證每車不空座，則兩種車型各需多少輛？分析：（1）直接利用單獨調配36座客車若干輛，則空出6個座位；若只調配22座客車若干輛，則用車數量將增加3輛，并有12人沒有座位，分別得出等式即可；（2）根據題意可得36m+22n＝210，得出n與m的關系，進而利用m、n為正整數得出m，n的值．【解答】解：（1）設計劃調配36座新能源客車x輛，該大學共有y名自愿者，則根據題意得，解得：答：計劃調配36座新能源客車6輛，該大學共有210名自愿者．（2）設需調配36座新能源客車m輛，22座新能源客車n輛，根據題意得：36m+22n＝210，∴又∵m、n為正整數∴，答：需調配36座新能源客車4輛，22座新能源客車3輛．【點評】此題主要考查了二元一次方程組的解法，正確得出等量關系是解題關鍵．1．（2023·廣東河源·統考一模）下列式子中，是它的解的是（）A． B． C． D．答案:A分析：根據方程的解和不等式的解集的定義解答即可．【詳解】解：A、將代入原方程，左邊右邊，選項符合題意；B、∵將代入原方程，左邊右邊，B選項不符合題意；C、不是不等式的解，選項不符合題意；D、不是不等式組的解，選項不符合題意．綜上所述，A選項符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查了方程的解和不等式的解集，正確掌握方程的解和不等式的解集的定義是解題的關鍵．2．（2023·山東濱州·統考一模）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方（如圖1），將9個數填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數字之和都相等，就得到一個廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫了一些數字和字母，若能構成一個廣義的三階幻方，則（

）A．1 B．2 C．3 D．0答案:A分析：根據三階幻方中的數字列方程求解即可．【詳解】解：由題意知，，解得，，即，解得，∴故選：A．【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識以及零指數冪，熟練根據三階幻方列方程求解是解題的關鍵．3．（2023·廣東廣州·統考一模）《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作之一，書中記載：“今有人共買兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，問人數幾何？”意思是：“有若干人共同出錢買兔，如果每人出七錢，那么多了十一錢；如果每人出五錢，那么少了十三錢．問：共有幾個人?”設有個人共同買兔，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．答案:D分析：根據買兔所需的錢建立等量關系列出方程即可．【詳解】解：根據每人出七錢，那么多了十一錢，可得買兔所需的錢為，根據每人出五錢，那么少了十三錢，可得買兔所需的錢為，∴，故選：D．【點睛】本題考查了列一元一次方程，解題關鍵是找等量關系．4．（2023·北京海淀·北理工附中校考模擬預測）已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為（

）A． B．1 C． D．0答案:B分析：根據一元二次方程根的判別式與根的關系求解即可．【詳解】∵一元二次方程有兩個相等的實數根，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解答關鍵是熟練掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．．5．（2023·河南駐馬店·校聯考二模）若關于的分式方程的解是，則的值為（

）A． B． C． D．答案:A分析：把代入方程得出m的方程，然后解關于m的方程即可．【詳解】解：∵分式方程的解是，∴，解得，故選：A．【點睛】本題考查了分式方程的解，解一元一次方程等知識，把代入原方程中進行計算是解題的關鍵．6．（2023·浙江溫州·統考一模）若干名學生一起去種樹，如果每人種4棵，則還剩下3棵樹苗：如果每人種5棵，則缺少5棵樹苗．設學生有人，樹苗有棵，根據題意可列出方程組（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據“x人，每人種4棵的樹苗數總數量；x人，每人種5棵的樹苗數總數量”可得答案．【詳解】解：設學生有人，樹苗有棵，根據題意可列出方程組：，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是找出題目中的等量關系式．7．（2023·安徽合肥·合肥市第四十八中學校考一模）已知三個實數a，b，c滿足，，則下列結論正確的是（）A．， B．，C．， D．，答案:A分析：由題意得，，①②得，計算可求值，將，代入，可得與0的大小關系，進而可得結果．【詳解】解：由題意得，，①②得，整理得，∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，即，故選：A．【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用．解題的關鍵在于正確的消元求解．8．（2023·江蘇鹽城·統考一模）已知二元一次方程，其中x與y互為相反數，則x、y的值為（

）A． B． C． D．答案:C分析：根據相反數的性質可得，與聯立，解二元一次方程組即可．【詳解】解：x與y互為相反數，，可得二元一次方程組，由得，將代入，得，解得，，．故選D．【點睛】本題考查相反數，解二元一次方程組，解題的關鍵是能夠用代入消元法或加減消元法解二元一次方程組．9．（2023·甘肅定西·統考一模）已知是方程組的解，則a﹣b的值是（

）A． B． C． D．答案:D分析：根據方程組解的定義將代入方程組，得到關于a，b的方程組．兩方程相減即可得出答案．【詳解】∵是方程組的解，∴．兩個方程相減，得a﹣b=4．故選：D．10．（2023·江蘇揚州·統考一模）若關于x的方程的一個根為3，則m的值為_______．答案:分析：根據題意把3代入方程，得到關于m的方程，解方程即可得．【詳解】解：依題意得，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關鍵．11．（2023·江西贛州·統考一模）幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”當中，根據幻方的相等關系設計出來一個“幻圓”，即大圓．小圓．橫線．豎線上的四個數字加起來的和均相等．如圖給出了部分數字，則幻圓中的值為________．答案:分析：如圖所示，設小圓空白處為，根據題意列出等式，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，設小圓空白處為，依題意，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了列代數式，代數式求值，等式的性質，理解題意是解題的關鍵．12．（2023·陜西西安·校考三模）請閱讀下面的詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數，四只棲一樹，五只沒處去，五只棲一樹，閑了一棵樹，請你仔細數，鴉樹各幾何？”詩中談到的鴉為_____只，樹為_____棵．答案:4510分析：設有x棵樹，根據“四只棲一樹，五只沒處去，五只棲一樹，閑了一棵樹”列出方程求解即可．【詳解】解：設有x棵樹，由題意，，∴，∴，故答案為：45；10．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是讀懂題意，找出相等關系，本題的相等關系為鴉的數量．13．（2023·山東泰安·寧陽二中校考一模）關于的方程組，則的值等于______．答案:5分析：根據加減消元法即可求解．【詳解】解：，得，，∴，故答案為5．【點睛】本題主要考查了加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解題的關鍵．14．（2023·山東濟寧·統考一模）已知關于x，y的方程組的解是，則直線與的交點坐標為______．答案:分析：把代入即可求出m的值，進而求出b的值，聯立，再根據二元一次方程組和一次函數的關系，即可進行解答．【詳解】解：把代入得：，∴關于x，y的方程組的解是，即：，解得：，則有直線為：；聯立，解得：，∴直線與的交點坐標為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程組和一次函數的關系，解題的關鍵是熟練掌握二元一次方程組的解是對應兩個一次函數圖象交點的橫坐標和縱坐標．15．（2023·重慶·模擬預測）若一個四位數M的各個數位數字之和為16，并且千位數字與十位數字之差的絕對值等于2，百位數字與個位數字之差的絕對值等于2，則這個四位數M為“差2數”．若一個四位數N的各個數位數字成比例，則這個四位數N為“成比例數”，例如：，∵各個數位數字由小到大排列后為1，2，3，6，滿足，∴1362為“成比例數”．若一個四位數Q既是“差2數”，又是“成比例數”，則滿足條件的Q的最大值為_______．答案:5533分析：設，由Q是“差2數”，得；由Q是“差2數”，Q是“成比例數”，可得Q=3355，3553，5335，5533，從而得到滿足條件的Q的最大值為5533．【詳解】解：設，∵Q是“差2數”，∴，即，．∵Q是“差2數”，∴，，∴，即，∵，∴或6或8或10或12或14或16，∴或或或或或或，∵Q是“成比例數”，∴Q=3355，3553，5335，5533，∴Q的最大值5533．【點睛】本題考查了數字問題，不定方程及不絕對值的性質，綜合運用題設條件進行數值分析是解題的關鍵．16．（2023·統考一模）解方程：答案:分析：按照去分母，去括號，移項，合并同類項，化系數為1的步驟，進行解答即可．【詳解】解：去分母，得：，移項，得：，合并同類項，得：，系數化為1，得：．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關鍵是在掌握解一元一次方程的方法和步驟．17．（202