/福建省連城縣2024_2025學年高二下冊3月月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設點，點，點，若的中點為，則等于（

）A． B． C． D．32．曲線在點處的切線的斜率為（

）A．0 B．1 C．e D．3．已知函數，則（

）A．有極小值，無極大值 B．有極大值，無極小值C．既有極小值又有極大值 D．無極小值也無極大值4．已知函數，則的最大值為（）A． B． C． D．5．若函數圖象如圖所示，則圖象可能是（

）A． B．C． D．6．已知是函數的導數，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．已知函數，若函數在上單調，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或8．丹麥數學家琴生（Jensen）是世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設函數在上的導函數為，在上的導函數為，在上恒成立，則稱函數在上為“凹函數”.則下列函數在上是“凹函數”的是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列求導運算正確的是（

）A．B．C．D．10．已知函數，則下列結論正確的是（

）A．函數存在兩個不同的零點B．函數既存在極大值又存在極小值C．當時，方程有且只有兩個實根D．若時，，則的最小值為11．已知函數在區間內有唯一零點，則的可能取值為（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．在正方體中，點是的中點，已知，，，用表示，則.13．函數在點處的切線斜率為2，則14．已知有兩個極值點，則實數的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區間上的最值．16．已知函數，當時，有極大值．(1)求實數a，b的值；(2)當時，證明：．17．已知函數．(1)當時，求函數的單調區間；(2)若函數在內存在兩個極值點，求實數a的取值范圍．18．二十大報告中提出：全面推進鄉村振興，堅持農業農村優先發展.小王大學畢業后決定利用所學專業回鄉自主創業，生產某農副產品.經過市場調研，生產該產品需投入年固定成本4萬元，每生產萬件，需另投入流動成本萬元.已知在年產量不足6萬件時，，在年產量不小于6萬件時，.每件產品售價8元.通過市場分析，小王生產的產品當年能全部售完.(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數解析式.（年利潤=年銷售收入-年固定成本-流動成本）(2)年產量為多少萬件時，小王在這一產品的生產中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？19．定義：如果函數在定義域內，存在極大值和極小值，且存在一個常數，使成立，則稱函數為極值可差比函數，常數稱為該函數的極值差比系數.已知函數.(1)當時，判斷是否為極值可差比函數，并說明理由；(2)是否存在使的極值差比系數為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；(3)若，求的極值差比系數的取值范圍.

答案1．【正確答案】D【詳解】因為，點，所以的中點為為，又，所以.故選D.2．【正確答案】B【詳解】因為，所以，根據導數的幾何意義可知，曲線在點處的切線的斜率為1.故選B.3．【正確答案】C【詳解】由題意函數，可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，函數取得極大值；當時，函數取得極小值.故選C.4．【正確答案】C【詳解】，令，得，當，，為減函數，當，，為增函數，又，則.故選C.5．【正確答案】C根據原函數的單調性與導函數的正負的關系，及導數的幾何意義，逐一分析選項，即可得答案【詳解】由圖象可得：在上，在上，根據原函數圖象與導函數圖象關系可得：圖象在上為增函數，在上為減函數，可排除A、D，且在x=0處，，即在x=0處，的切線的斜率為0，可排除B，故選C.6．【正確答案】D【詳解】設，因為，所以，對函數求導，得，因為，所以，所以函數是實數集上的增函數，因此由.故選D.7．【正確答案】C【詳解】在區間上單調，，或，即或恒成立，設，，函數在區間上單調遞減，函數的值域是，所以或.故選C.8．【正確答案】B【詳解】對A，，當時，，所以A錯誤；對B，，在上恒成立，所以B正確；對C，，，所以C錯誤；對D，，，因為，所以D錯誤．故選B．9．【正確答案】BC【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤．故選BC.10．【正確答案】ABC【詳解】對于A．，解得，所以A正確；對于B．，當時，，當時，或，所以是函數的單調遞減區間，是函數的單調遞增區間，所以是函數的極小值，是函數的極大值，所以B正確．對于C．當時，，根據B可知，函數的最小值是，再根據單調性可知，當時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；對于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選ABC.【易錯警示】本題考查了導數分析函數的單調性，極值點，以及函數的圖象，首先求函數的導數，令導數為0，判斷零點兩側的正負，得到函數的單調性，本題易錯的地方是是函數的單調遞減區間，但當時，，所以圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯了，那選項容易判斷錯了．11．【正確答案】ABC【詳解】由題意有方程在區間內有唯一實數根，即方程在區間內有唯一實數根，令，，所以在區間內單調遞增，所以，所以，因為，，故選ABC.12．【正確答案】【詳解】又是的中點,，，，.13．【正確答案】0【詳解】函數，求導得，依題意，，解得，所以.14．【正確答案】【詳解】由求導，，由可得：，因不滿足此式，故可得：，則函數有兩個極值點，即函數與的圖象有兩個交點.由求導，，則當時，，當時，，當時，則函數在和上是減函數，在上是增函數，故時，取得極小值.且當時，，當從0的左邊趨近于0時，，當從0的右邊趨近于0時，，當時，.故可作出函數的圖象如圖.

由圖可知：函數與的圖象有兩個交點等價于.15．【正確答案】(1)(2)最大值為4，最小值為0【詳解】（1）對函數求導，，，所求得的切線方程為，即；（2）由（1）有，令，解得：或，故函數在遞增，在遞減，故函數在取最大值，，，故函數在的最大值為4，最小值為0．16．【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1），又當時，有極大值，所以，解得.（2）令，要證，即證，由（1）知，即證，即證，令，則，所以在上單調遞增，所以，即，即.故當時，.17．【正確答案】(1)單調遞增區間為：和，單調遞減區間為：(2)或【詳解】（1）當時，，定義域為

令，得或，

所以的單調遞增區間為：和，單調遞減區間為：（2）①當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故只有一個極小值點，與條件矛盾，故舍去．

②當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，故有兩個極值點a和，與條件相符．

③當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，故有兩個極值點a和，與條件相符．

④當時，，故在上單調遞增，無極值點，舍去．

⑤當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故只有一個極大值點，與條件矛盾，故舍去．

綜上可得：或18．【正確答案】(1)(2)當年產量為8萬件時，所獲年利潤最大，為9萬元.【詳解】（1）由題意，當時，，當時，.所以.（2）當時，，令，解得.當，，當，；則在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，當時，，當且僅當，即時取等號.綜上，當年產量為8萬件時，所獲年利潤最大，為9萬元.19．【正確答案】(1)是，理由見解析(2)不存在，理由見解析(3)【詳解】（1）當時，（），則當時，，當，，所以在和上嚴格遞增，在上嚴格遞減，所以的極大值為，極小值為，所以，所以是極值差比函數.（2）的定義域為，，假設存在使的極值差比系數為，則，是方程的兩個不相等的正實數根，則，解得，不妨設，則，因為，所以，從而，得（*）令（），，所以在上是嚴格增函數，所以，因此（*）無解，所以不存在使的極值差比系數為；（3）由（2）知極值差比系數為，即，不妨設，令，，極值差比系數可化為，，又，解得，令（