第第頁§10.3隨機事件與概率課標要求1.了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區別.2.理解事件間的關系與運算.3.掌握古典概型及其計算公式，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率．知識梳理1．樣本空間和隨機事件(1)樣本點和有限樣本空間①樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，常用ω表示．全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機事件①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件．②表示：一般用大寫字母A，B，C，…表示．③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件．2．兩個事件的關系和運算含義符號表示包含關系若事件A發生，則事件B一定發生A?B相等關系B?A且A?BA＝B并事件(和事件)事件A與事件B至少有一個發生A∪B或A＋B交事件(積事件)事件A與事件B同時發生A∩B或AB互斥(互不相容)事件A與事件B不能同時發生A∩B＝?互為對立事件A與事件B有且僅有一個發生A∩B＝?，且A∪B＝Ω3.古典概型的特征(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．4．古典概型的概率公式一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數．5．概率的性質性質1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．6．頻率與概率(1)頻率的穩定性一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性．(2)頻率穩定性的作用可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．常用結論1．當隨機事件A，B互斥時，不一定對立；當隨機事件A，B對立時，一定互斥，即兩事件互斥是對立的必要不充分條件．2．若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)事件發生的頻率與概率是相同的．(×)(2)兩個事件的和事件發生是指這兩個事件至少有一個發生．(√)(3)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個數，取到的數小于0與不小于0的可能性相同．(√)(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件．(×)2．一個人打靶時連續射擊兩次，與事件“至多有一次中靶”互斥的事件是()A．至少有一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．兩次都不中靶答案B解析射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”，與該事件不能同時發生的是“兩次都中靶”．3．從某班學生中任意找出一人，如果該同學的身高小于160cm的概率為0.2，該同學的身高在[160,175](單位：cm)內的概率為0.5，那么該同學的身高超過175cm的概率為()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8答案B解析由題意知該同學的身高小于160cm的概率、該同學的身高在[160,175](單位：cm)內的概率和該同學的身高超過175cm的概率和為1，故所求概率為1－0.2－0.5＝0.3.4．從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為________．答案eq\f(3,10)解析從甲、乙等5名同學中隨機選3名，有Ceq\o\al(3,5)種情況，其中甲、乙都入選有Ceq\o\al(1,3)種情況，所以甲、乙都入選的概率P＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10).題型一隨機事件的關系命題點1隨機事件間關系的判斷例1(1)(多選)有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報紙”，事件F為“至少訂一種報紙”，事件G為“至多訂一種報紙”，事件I為“一種報紙也不訂”，下列命題正確的是()A．E與G是互斥事件B．F與I互為對立事件C．F與G不是互斥事件D．G與I是互斥事件答案BC解析對于A，E與G有可能同時發生，不是互斥事件，故A錯誤；對于B，F與I不可能同時發生，且發生的概率之和為1，所以F與I互為對立事件，故B正確；對于C，F與G可以同時發生，不是互斥事件，故C正確；對于D，G與I可以同時發生，不是互斥事件，故D錯誤．(2)(多選)某人打靶時連續射擊兩次，設事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，則下列結論正確的是()A．A?BB．A∩B＝?C．A∪B＝“至少一次中靶”D．A與B互為對立事件答案BC解析事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，所以A，B是互斥事件但不是對立事件，所以A，D錯誤，B正確；A∪B＝“至少一次中靶”，C正確．命題點2利用互斥、對立事件求概率例2某商場的有獎銷售活動中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)1張獎券的中獎概率；(2)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．解(1)設“1張獎券中獎”為事件M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(10,1000)＋eq\f(50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券中獎的概率為eq\f(61,1000).(2)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與事件“1張獎券中特等獎或中一等獎”互為對立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).命題點3用頻率估計概率例3(多選)某校為了解學校餐廳中午的用餐情況，分別統計了食用大米套餐和面食的人數，剩下的為食用米線、漢堡等其他食品(每人只選一種)，結果如表所示：總人數食用大米套餐人數食用面食人數1000550260假設隨機抽取一位同學，記“中午吃大米套餐”為事件M，“吃面食”為事件N，“吃米線、漢堡等其他食品”為事件H，若用頻率估計事件發生的概率，則下列結論正確的是()A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26C．P(H)＝0.19 D．P(N∪H)＝0.65答案ABC解析用頻率估計概率得P(M)＝eq\f(550,1000)＝0.55，P(N)＝eq\f(260,1000)＝0.26，P(H)＝eq\f(1000－550－260,1000)＝0.19，故A，B，C正確；P(N∪H)表示事件N發生或事件H發生，且N與H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D錯誤．思維升華事件關系的運算策略進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現的全部結果，必要時可列出全部的試驗結果進行分析．當事件是由互斥事件組成時，運用互斥事件的概率加法公式．跟蹤訓練1(1)從裝有10個紅球和10個白球的罐子里任取兩球，下列情況中互斥而不對立的兩個事件的是()A．至少有一個紅球；至少有一個白球B．恰有一個紅球；都是白球C．至少有一個紅球；都是白球D．至多有一個紅球；都是紅球答案B解析對于A，“至少有一個紅球”可能為一個紅球、一個白球，“至少有一個白球”也可能為一個白球、一個紅球，故兩事件可能同時發生，所以不是互斥事件；對于B，“恰有一個紅球”，則另一個必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取兩球還可能都是紅球，故兩事件不是對立事件；對于C，“至少有一個紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”顯然是對立事件；對于D，“至多有一個紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對立事件．(2)某工廠有四條流水線生產同一種產品，這四條流水線的產量分別占總產量的0.20,0.25,0.3,0.25，這四條流水線的合格率依次為0.95,0.96,0.97,0.98，現在從出廠產品中任取一件，則恰好抽到不合格產品的概率是________．答案0.034解析由題意可知，恰好抽到不合格產品的概率為P＝0.2×(1－0.95)＋0.25×(1－0.96)＋0.3×(1－0.97)＋0.25×(1－0.98)＝0.034.題型二古典概型例4(1)在“2,3,5,7,11,13,17,19”這8個素數中，任取2個不同的數，則這兩個數之和仍為素數的概率是()A.eq\f(3,28)B.eq\f(5,28)C.eq\f(1,7)D.eq\f(3,14)答案C解析這8個素數中，任取2個不同的數，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(2,17)，(2,19)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(3,17)，(3,19)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共28個樣本點，這兩個數之和仍為素數的樣本點有(2,3)，(2,5)，(2,11)，(2,17)，共4個，所以這兩個數之和仍為素數的概率是eq\f(4,28)＝eq\f(1,7).(2)某學校為了搞好課后服務工作，教務科組建了一批社團，學生們都能自主選擇自己喜歡的社團．目前話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團分別還可以再接收1名學生，恰好含甲、乙的4名同學前來教務科申請加入，按學校規定每人只能加入一個社團，則甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)答案C解析4名同學分別進入話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)選法，其中甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4(種)選法，按學校規定每人只能加入一個社團，由古典概型的概率計算公式可得，甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).思維升華利用公式法求解古典概型問題的步驟跟蹤訓練2(1)從正六邊形的6個頂點中任取3個構成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)答案C解析從正六邊形的6個頂點中任取3個，有Ceq\o\al(3,6)＝20(個)三角形，其中直角三角形，每邊對應2個，如圖，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12(個)，所以所求概率為eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)從1,2,3,4,5中任選3個不同數字組成一個三位數，則該三位數能被3整除的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析從1,2,3,4,5中任選3個不同數字組成一個三位數，有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(種)可能；要使該三位數能被3整除，只需數字和能被3整除，所以數字為1,2,3時，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(種)可能；數字為1,3,5時，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(種)可能；數字為2,3,4時，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(種)可能；數字為3,4,5時，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(種)可能，共24種可能．所以該三位數能被3整除的概率為eq\f(24,60)＝eq\f(2,5).題型三概率的綜合問題例5某省高考目前實行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是語文、數學、外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學、生物這4門再選科目中選擇2門，已知某大學醫學院臨床醫學類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學、生物至少1門．(1)從所有選科組合中任意選取1個，求該選科組合符合該大學醫學院臨床醫學類招生選科要求的概率；(2)假設甲、乙、丙三人每人選擇任意1個選科組合是等可能的，且三人的選擇互不影響，求這三人中恰有兩人的選科組合符合該大學醫學院臨床醫學類招生選科要求的概率．解(1)用a，b分別表示事件“選擇物理”“選擇歷史”，用c，d，e，f分別表示事件“選擇化學”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間Ω＝{acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef}，共含12個樣本點，設M＝“從所有選科組合中任意選取1個，該選科組合符合該大學醫學院臨床醫學類招生選科要求”，則M＝{acd，ace，acf，ade，adf}，共含5個樣本點，∴P(M)＝eq\f(nM,nΩ)＝eq\f(5,12).(2)設“甲、乙、丙三人每人的選科組合符合該大學醫學院臨床醫學類招生選科要求”的事件分別是N1，N2，N3，由題意知事件N1，N2，N3相互獨立．由(1)知P(N1)＝P(N2)＝P(N3)＝eq\f(5,12).記N＝“甲、乙、丙三人中恰有兩人的選科組合符合該大學醫學院臨床醫學類招生選科要求”，則N＝N1N2eq\x\to(N3)∪N1eq\x\to(N2)N3∪eq\x\to(N1)N2N3，則P(N)＝P(N1N2eq\x\to(N3))＋P(N1eq\x\to(N2)N3)＋P(eq\x\to(N1)N2N3)＝eq\f(5,12)×eq\f(5,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,12)))×3＝eq\f(175,576).思維升華求解概率的綜合問題時，一要注意概率模型的應用，明確所求問題所屬的事件類型，二要根據公式準確計算．跟蹤訓練3為了備戰2024年法國巴黎奧運會(第33屆夏季奧林匹克運動會)，中國射擊隊的甲、乙兩名運動員展開隊內對抗賽．甲、乙兩名運動員對同一目標各射擊一次，且兩人命中目標與否互不影響．已知甲命中目標的概率為eq\f(2,3)，乙命中目標的概率為eq\f(3,4).(1)求甲沒有命中目標的概率；(2)在兩次射擊中，求恰好有一人命中目標的概率．解(1)記“甲命中目標”為事件A，則P(A)＝eq\f(2,3)，所以甲沒有命中目標的概率P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝eq\f(1,3).(2)記“乙命中目標”為事件B，則P(B)＝eq\f(3,4)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,4)，兩次射擊中，恰好有一人命中目標的事件為Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B，由題意知事件A，B相互獨立，所以所求概率P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).課時精練一、單項選擇題1．從編號為1,2,3,4的4個球中，任取2個球，則這2個球的編號之和為偶數的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案A解析從編號為1,2,3,4的4個球中，任取2個球，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種情況，其中這2個球的編號之和為偶數的情況有(1,3)，(2,4)，共2種情況，故這2個球的編號之和為偶數的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．江南的周莊、同里、用直、西塘、烏鎮、南潯古鎮，并稱為“江南六大古鎮”，是中國江南水鄉風貌最具代表的城鎮，它們以其深邃的歷史文化底蘊、清麗婉約的水鄉古鎮風貌、古樸的民俗風情，在世界上獨樹一幟，馳名中外．這六大古鎮中，其中在蘇州的有3處．某家庭計劃今年暑假從這6個古鎮中挑選2個去旅游，則至少選一個蘇州古鎮的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)答案C解析從這6個古鎮中挑選2個去旅游有Ceq\o\al(2,6)＝15(種)選法，至少選一個蘇州古鎮的概率為P＝1－eq\f(C\o\al(2,3),15)＝eq\f(4,5).3．在拋擲一枚質地均勻的骰子的試驗中，事件A表示“小于5的偶數點出現”，事件B表示“小于5的點數出現”，則在一次試驗中，事件A∪eq\x\to(B)發生的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案C解析擲一枚骰子的試驗有6種等可能的結果，依題意知P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因為eq\x\to(B)表示“出現5點或6點”的事件，所以事件A與eq\x\to(B)互斥，從而P(A∪eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).4．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設A＝“2名全是男生”，B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，則下列關系不正確的是()A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D答案D解析“至少有1名男生”包含“2名全是男生”“1名男生1名女生”2種情況，故A?D，A∪C＝D，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故B∩D＝?，故B正確，A∪B表示的是“2名全是男生或2名全是女生”，B∪D表示“2名全是女生或至少有一名男生”，故A∪B≠B∪D，故D錯誤．5．四位爸爸A，B，C，D相約各帶一名自己的小孩進行交際能力訓練，其中每位爸爸都與一個別人家的小孩進行交談，則A的小孩與D交談的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,9)D.eq\f(2,3)答案A解析方法一A的小孩等可能地與B，C，D其中一位爸爸交談，所以A的小孩與D交談的概率P＝eq\f(1,3).方法二設A，B，C，D四位爸爸的小孩分別是a，b，c，d，則交談組合有9種情況，分別為(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，A的小孩與D交談包含的不同組合有3種，分別為(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Bc，Cb，Da)，∴A的小孩與D交談的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).6．將一個骰子連續拋擲三次，它落地時向上的點數能組成等差數列的概率為()A.eq\f(7,36)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,15)D.eq\f(1,18)答案A解析根據題意，將一個骰子連續拋擲三次，每次都有6種情況，則共有63＝216(種)情況，它落地時向上的點數能組成等差數列，分兩種情況討論：①若落地時向上的點數不同，則為1,2,3或1,3,5或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6，共有6種可能，每種可能的點數順序可以顛倒，即有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)情況，共有6×6＝36(種)情況；②若落地時向上的點數全相同，有6種情況，所以共有36＋6＝42(種)情況，則落地時向上的點數能組成等差數列的概率為eq\f(42,216)＝eq\f(7,36).二、多項選擇題7．某飲料廠商開發了一種新的飲料，為了促銷，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有“一等獎”“二等獎”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”．甲從新開的一箱中任選2瓶購買，設事件A表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲中獎”，則()A．事件A和事件B是對立事件B．事件A和事件C是對立事件C．P(B∪C)＝P(C)D．P(BC)＝P(C)答案BC解析因為A∪B表示“甲沒有中獎或甲獲得一等獎”，但甲可能獲得二等獎，即事件A和事件B不是對立事件，故A錯誤；事件A表示“甲沒有中獎”，事件C表示“甲中獎”，則事件A和事件C是互斥事件且和事件為必然事件，則事件A和事件C是對立事件，故B正確；又因為B?C，所以P(B∪C)＝P(C)，故C正確；P(BC)＝P(B)，故D錯誤．三、填空題8．由于夏季炎熱，某小區用電量過大，據統計，一天停電的概率為0.3，現在用數據0,1,2表示當天停電；用3,4,5,6,7,8,9表示當天不停電，現以兩個隨機數為一組，表示連續兩天停電情況，經隨機模擬得到以下30組數據．282179145674068953901457623093786344712867035382472310940243根據以上模擬數據估計連續兩天中恰好有一天停電的概率為________．答案0.4解析由題意可知連續兩天中恰有一天停電的情況有28,14,06,90,14,62,30,71,28,03,82,23，共12種，所以連續兩天中恰好有一天停電的概率為eq\f(12,30)＝0.4.9