5.4正、余弦定理（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一判斷三角形的形狀【例1】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．若，則是等邊三角形【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)△的三邊長(zhǎng)為，，，若，，則△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形3．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的三條邊和與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)角滿足等式則此三角形的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形4．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．下列有關(guān)等邊三角形的四個(gè)命題中正確的是（

）．A．若，則是等邊三角形B．若，則是等邊三角形C．若，則是等邊三角形D．若，則是等邊三角形考點(diǎn)二最值問(wèn)題【例2-1】(2023·河南·汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角所對(duì)的邊分別為，，，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【例2-2】(2023·江西·上饒市第一中學(xué)二模（文））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，若點(diǎn)D在邊上，且，則的最大值是___________.【例2-3】(2023·黑龍江·哈爾濱三中二模）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·安徽黃山·二模（理））設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足，其中，若，則面積的取值范圍為_(kāi)_____________.3．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知銳角外接圓的半徑為，內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，，則的取值范圍是____.4．(2023·甘肅·二模（理））如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，且依次成等差數(shù)列.(1)求邊AC的長(zhǎng)；(2)求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.5．(2023·廣東江門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求角B的大小；(2)若，求的取值范圍.考點(diǎn)三三角形解的個(gè)數(shù)【例3-1】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，，，則此三角形（

）A．無(wú)解 B．一解C．兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定【例3-2】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，當(dāng)有兩解時(shí)，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3-3】(2023·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）中，角，，的對(duì)邊分別是，，，，，若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，使得三角形有兩解的條件是（

）A． B． C． D．2．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，滿足條件，的三角形有兩個(gè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，則“”是“有兩個(gè)解”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，下列條件使有兩解的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)四幾何中的正余弦定理【例4】(2023·浙江寧波·二模）如圖，在中，，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），若，則___________，的面積是___________.【一隅三反】1．(2023·山東煙臺(tái)·一模）如圖，四邊形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面積；(2)若，，，求∠ACB的值．2．(2023·陜西渭南·二模）如圖，在中，角，D為邊AC上一點(diǎn)，且，，求：(1)的值；(2)邊的長(zhǎng).3．(2023·廣東深圳·一模）如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．考點(diǎn)五正余弦定理與平面向量的綜合運(yùn)用【例5】(2023·江西上饒·二模（理））已知的外心為點(diǎn)O，M為邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值等于（

）A． B． C． D．【一隅三反】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，以下結(jié)論:①；②為銳角三角形；③；④其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，若，則是的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形3．(2023·廣東佛山·二模）中，，O是外接圓圓心，是的最大值為（）A．0 B．1 C．3 D．54．(2023·江西上饒·二模（理））已知的外心為點(diǎn)O，M為邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值等于（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六正余弦定理與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用【例6-1】(2023·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)．，，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【例6-2】(2023·遼寧·育明高中高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且的面積為，且恒成立，則的最小值為_(kāi)_______．【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，是雙曲線（，）的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線的左支上一點(diǎn)，滿足，且，則該雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．22．(2023·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足，若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象于軸對(duì)稱(chēng)，則在的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．3．(2023·全國(guó)·哈師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)原點(diǎn)O的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，若∠PFQ=120°，，，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______．5.4正、余弦定理（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一判斷三角形的形狀【例1】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．若，則是等邊三角形答案：ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋瑸榈膬?nèi)角，所以，，都是銳角，所以是銳角三角形，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)；對(duì)于C：由及正弦定理化邊為角，可知，即，因?yàn)椋瑸榈膬?nèi)角，所以，所以是等腰三角形，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：由和正弦定理化邊為角，易知，所以，因?yàn)椋瑸榈膬?nèi)角，所以，所以是等邊三角形，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形答案：A【解析】∵，可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴為直角三角形，且，故選：A.2．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)△的三邊長(zhǎng)為，，，若，，則△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形答案：B【解析】設(shè)，△的內(nèi)切圓半徑為r，如圖所示，法一：∴①；②.①÷②，得：，即．于是，，，從而得或，∴或．故△為等腰三角形或直角三角形，（1）當(dāng)時(shí)，內(nèi)心I在等腰三角形的底邊上的高上，，從而得．又，代入①式，得，即，上式兩邊同時(shí)平方，得：，化簡(jiǎn)，即．即△直角三角形，∴△為等腰直角三角形．（2）當(dāng)時(shí)，易得．代入②式，得，此式恒成立，綜上，△為直角三角形．法二：利用，及正弦定理和題設(shè)條件，得①，②.∴③；④.由③和④得：，即，，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，∴或，即或．（1）若，代入③得：⑤又，將其代入⑤，得：．變形得，即⑥，由知A為銳角，從而知．∴由⑥，得：，即，從而，．因此，△為等腰直角三角形．（2）若，即，此時(shí)③④恒成立，綜上，△為直角三角形．故選：B3．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的三條邊和與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)角滿足等式則此三角形的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形答案：A【解析】，可得，整理，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以或或，故三角形為等腰三角形.故選：A4．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．下列有關(guān)等邊三角形的四個(gè)命題中正確的是（

）．A．若，則是等邊三角形B．若，則是等邊三角形C．若，則是等邊三角形D．若，則是等邊三角形答案：BCD【解析】A，若，由正弦定理可知：任意都滿足條件，因此不一定是等邊三角形，不正確；B，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，正確．C，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，正確．D，若，∴，時(shí)，是等邊三角形；時(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性，，時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此不成立．綜上可得：是等邊三角形，正確．故選：BCD．考點(diǎn)二最值問(wèn)題【例2-1】(2023·河南·汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角所對(duì)的邊分別為，，，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由得：，即，由正弦定理得：；由余弦定理得：，，即，，，，，，，則當(dāng)時(shí)，，.故選：A.【例2-2】(2023·江西·上饒市第一中學(xué)二模（文））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，若點(diǎn)D在邊上，且，則的最大值是___________.答案：【解析】由，得，因?yàn)椋裕O(shè)外接圓的圓心為，半徑為，則由正弦定理得，如圖所示，取的中點(diǎn)，在中，；在中，，當(dāng)且僅當(dāng)圓心在上時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是，故答案為：．【例2-3】(2023·黑龍江·哈爾濱三中二模）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，，故題干條件可化為，由余弦定理得，故，又由正弦定理化簡(jiǎn)得：，整理得，故或（舍去），得為銳角三角形，故，解得，故故選：C【一隅三反】1．(2023·安徽黃山·二模（理））設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足，其中，若，則面積的取值范圍為_(kāi)_____________.答案：【解析】，化簡(jiǎn)得：，由正弦定理可得：,，，即，,或，即或，又，，即,，又，，當(dāng)僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，即，.故答案為：2．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若3acosC＋b＝0，則tanB的最大值是________.答案：【解析】在ABC中，因?yàn)?acosC＋b＝0，所以C為鈍角，由正弦定理得3sinAcosC＋sin(A＋C)＝0，3sinAcosC＋sinAcosC＋cosAsinC＝0，所以4sinAcosC＝－cosA·sinC，即tanC＝－4tanA.因?yàn)閠anA>0，所以tanB＝－tan(A＋C)＝－＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)tanA＝時(shí)取等號(hào)，故tanB的最大值是.故答案為：3．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知銳角外接圓的半徑為，內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，，則的取值范圍是____.答案：【解析】因?yàn)椋裕裕驗(yàn)椋裕裕剩矗缘娜≈捣秶?故答案為：.4．(2023·甘肅·二模（理））如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，且依次成等差數(shù)列.(1)求邊AC的長(zhǎng)；(2)求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.答案：(1)(2)10【解析】(1)因?yàn)橐来纬傻炔顢?shù)列，所以，又，所以,又，則由余弦定理得:，所以.(2由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及，知，在中，由余弦定理得，又因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立），所以，即，則四邊形ABCD周長(zhǎng)最大值.5．(2023·廣東江門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求角B的大小；(2)若，求的取值范圍.答案：(1)(2)【解析】(1)因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫?jiǎn)得，所以由余弦定理得，因?yàn)椋?2)因?yàn)椋?由正弦定理得，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得，所以，所以，所以，，所以，即的取值范圍為考點(diǎn)三三角形解的個(gè)數(shù)【例3-1】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，，，則此三角形（

）A．無(wú)解 B．一解C．兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定答案：C【解析】在中，，，，由正弦定理得，而為銳角，且，則或，所以有兩解．故選：C【例3-2】(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，當(dāng)有兩解時(shí)，的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，即,則由，解得,則當(dāng)有兩解時(shí)，，則，所以，故選：.【例3-3】(2023·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）中，角，，的對(duì)邊分別是，，，，，若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因?yàn)檫@個(gè)三角形有兩解，故滿足，即，解得.故選：B【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，使得三角形有兩解的條件是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，，到的距離，當(dāng)時(shí)，三角形無(wú)解，當(dāng)時(shí)，三角形有一解，當(dāng)時(shí)，三角形有兩解，當(dāng)時(shí)，三角形有一解．故選：．2．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，滿足條件，的三角形有兩個(gè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫裕譂M足題意的三角形有兩個(gè)，所以只需，即，解得.故選：C.3．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，則“”是“有兩個(gè)解”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】，若有兩個(gè)解，則，即，即，“”是“有兩個(gè)解”的必要不充分條件.故選：B.4．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，下列條件使有兩解的是（

）A．B．C．D．答案：D【解析】選項(xiàng)A.由余弦定理可得的三邊分別為，所以滿足條件的三角形只有一個(gè).選項(xiàng)B.，則,由正弦定理可得所以，的三邊為定值，三個(gè)角為定值，所以滿足條件的三角形只有一個(gè).選項(xiàng)C.由，則由正弦定理可得所以,由則，所以角為一確定的角，且，則角角為一確定的角，從而邊也為定值，所以滿足條件的三角形只有一個(gè).選項(xiàng)D.作,在的一條邊上取，過(guò)點(diǎn)作垂直于的另一邊，垂足為.則,以點(diǎn)為圓心，4為半徑畫(huà)圓弧，因?yàn)椋詧A弧與的另一邊有兩個(gè)交點(diǎn)所以均滿足條件，所以所以滿足條件的三角形有兩個(gè).故選：D考點(diǎn)四幾何中的正余弦定理【例4】(2023·浙江寧波·二模）如圖，在中，，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），若，則___________，的面積是___________.答案：

【解析】在中，因?yàn)椋傻茫桑遥谥校烧叶ɡ恚傻茫驗(yàn)椋詾殇J角，所以，又由，所以，所以，設(shè)，因?yàn)榍尹c(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，可得，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，所以，所以的面積為.故答案為：；.【一隅三反】1．(2023·山東煙臺(tái)·一模）如圖，四邊形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面積；(2)若，，，求∠ACB的值．答案：(1)(2)∠ACB=【解析】(1)在△ABC中，，因?yàn)椋裕?2)設(shè)，則，，．在△ACD中，由，得．在△ABC中，由，得．聯(lián)立上式，并由得，整理得，所以，因?yàn)椋裕裕獾茫础螦CB的值為．2．(2023·陜西渭南·二模）如圖，在中，角，D為邊AC上一點(diǎn)，且，，求：(1)的值；(2)邊的長(zhǎng).答案：(1)(2)【解析】(1)在中,由余弦定理的推論得,,,,(2),,,,在中,由正弦定理得,3．(2023·廣東深圳·一模）如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．答案：(1)(2)【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，與互補(bǔ)，則，解得，在中，由余弦定理，得，因?yàn)椋裕夥?、由題意可得，，由AM為邊BC上的中線，則，兩邊同時(shí)平方得，，故，因?yàn)镸為BC邊中點(diǎn)，則的面積為面積的，所以，即，化簡(jiǎn)得，．(2)解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由AM，BN分別為邊BC，AC上的中線可知P為重心，可得，，在中，由余弦定理，得，又由，所以．解法2：因?yàn)锽N為邊AC上的中線，所以，，，即．所以．考點(diǎn)五正余弦定理與平面向量的綜合運(yùn)用【例5】(2023·江西上饒·二模（理））已知的外心為點(diǎn)O，M為邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值等于（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)椋裕运裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；故選：C【一隅三反】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，以下結(jié)論:①；②為銳角三角形；③；④其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】由AH為BC邊上的高，∴，而，故，①正確；知：向量的夾角為鈍角，即為銳角，而無(wú)法判斷是否為銳角三角形，②錯(cuò)誤；，③正確；，④正確.故選：C2．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，若，則是的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形答案：C【解析】由，可得，又由余弦定理，可得，整理得，所以是直角三角形.故選：C.3．(2023·廣東佛山·二模）中，，O是外接圓圓心，是的最大值為（）A．0 B．1 C．3 D．5答案：C【解析】過(guò)點(diǎn)O作，垂足分別為D，E，如圖，因O是外接圓圓心，則D，E分別為AC，的中點(diǎn)，在中，，則，即，，同理，因此，，由正弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最大值為3.故選：C4．(2023·江西上饒·二模（理））已知的外心為點(diǎn)O，M為邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值等于（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)椋裕运裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；故選：C考點(diǎn)六正余弦定理與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用【例6-1】(202