考向16利用導數研究函數的極值與最值【2022·全國·高考真題（理）】當時，函數取得最大值，則（

）A． B． C． D．1答案：B【解析】因為函數定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.【2022·全國·高考真題（文）】函數在區間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，所以在區間和上，即單調遞增；在區間上，即單調遞減，又，，，所以在區間上的最小值為，最大值為.故選：D1．由圖象判斷函數的極值，要抓住兩點：（1）由的圖象與x軸的交點，可得函數的可能極值點；（2）由導函數的圖象可以看出的值的正負，從而可得函數的單調性．兩者結合可得極值點．2．已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，要注意：（1）根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解；（2）因為導數值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數法求解后必須檢驗．3．求函數在閉區間內的最值的思路（1）若所給的閉區間不含有參數，則只需對函數求導，并求在區間內的根，再計算使導數等于零的根的函數值，把該函數值與，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．（2）若所給的閉區間含有參數，則需對函數求導，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數的最值．（1）若函數在區間D上存在最小值和最大值，則不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；（2）若函數在區間D上不存在最大（小）值，且值域為，則不等式在區間D上恒成立．不等式在區間D上恒成立．（3）若函數在區間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；（4）若函數在區間D上不存在最大（小）值，如值域為，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區間D上有解不等式在區間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．1．函數的極值函數在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數的一個極小值，記作．極大值與極小值統稱為極值，稱為極值點．求可導函數極值的一般步驟（1）先確定函數的定義域；（2）求導數；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那么函數在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數在這個根處取得極小值．注①可導函數在點處取得極值的充要條件是：是導函數的變號零點，即，且在左側與右側，的符號導號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數，在極小值點是不可導的，于是有如下結論：為可導函數的極值點；但為的極值點．2．函數的最值函數最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導函數為（1）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設是定義在上的函數，在內有導數，求函數在上的最大值與最小值可分為兩步進行：（1）求在內的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注①函數的極值反映函數在一點附近情況，是局部函數值的比較，故極值不一定是最值；函數的最值是對函數在整個區間上函數值比較而言的，故函數的最值可能是極值，也可能是區間端點處的函數值；②函數的極值點必是開區間的點，不能是區間的端點；③函數的最值必在極值點或區間端點處取得．1．(2023·山西太原·三模（文））已知函數（1）若在時取得極小值，求實數k的值；（2）若過點可以作出函數的兩條切線，求證：2．(2023·湖北·模擬預測）已知函數，（）．（1）若存在兩個極值點，求實數的取值范圍；（2）若，為的兩個極值點，證明：．3．(2023·河南鄭州·高三階段練習（文））已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區間及其最大值與最小值．4．(2023·全國·高三專題練習（理））已知函數，其中．（1）討論的單調性；（2）若，，求的最大值．5．(2023·山東菏澤·高三期末）設函數．（1）求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）求函數在區間上的最大值和最小值．6．(2023·北京市第九中學模擬預測）已知．（1）當時，判斷函數零點的個數；（2）求證：．1．(2023·內蒙古·烏蘭浩特一中模擬預測（文））已知函數的最小值分別為，則（

）A． B． C． D．的大小關系不確定2．(2023·北京·北大附中三模）如圖矩形，沿對折使得點與邊上的點重合，則的長度可以用含的式子表示，那么長度的最小值為（

）A．4 B．8 C． D．3．(2023·安徽·合肥一六八中學模擬預測（文））已知函數為定義在上的增函數，且對，若不等式對恒成立，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．(2023·江西省豐城中學模擬預測（文））已知函數在上有最小值，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．(2023·廣東深圳·高三階段練習）已知函數有兩個極值點，且，則的極大值為（

）A． B． C． D．6．(2023·廣東廣州·三模）設為函數的導函數，已知，則（

）A．在單調遞增B．在單調遞減C．在上有極大值D．在上有極小值7．(2023·全國·模擬預測（文））下列結論正確的是（

）A．設函數，其中a，，當a＝－3，時，函數有兩個零點B．函數沒有極值點C．關于x的方程在區間上僅有一個實根，則實數a的取值范圍為D．函數有兩個零點8．(2023·全國·高三專題練習）已知函數在區間上既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．(2023·安徽·蒙城第一中學高三階段練習（文））已知為常數，函數有兩個極值點，其中一個極值點滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（多選題）(2023·湖南·湘潭一中高三階段練習）已知函數，則下列結論正確的是（

）A．函數只有一個零點B．函數只有極大值而無極小值C．當時，方程有且只有兩個實根D．若當時，，則t的最大值為211．（多選題）(2023·重慶八中模擬預測）設函數的定義域為，是的極小值點，以下結論一定正確的是（

）A．是的最小值點B．是的極大值點C．是的極大值點D．是的極大值點12．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）（多選）已知函數，其導函數為，給出以下命題正確的是（

）A．的單調遞減區間是B．的極小值是C．當時，對任意的且，恒有D．函數有且只有一個零點13．（多選題）(2023·全國·模擬預測）已知函數，，若，不等式恒成立，則正數的取值可以是（

）A． B． C． D．14．（多選題）(2023·全國·模擬預測）已知，則（

）A．的定義域是B．若直線和的圖像有交點，則C．D．15．(2023·福建·福州三中高三階段練習）如果兩個函數存在零點，分別為，若滿足，則稱兩個函數互為“度零點函數”.若與互為“2度零點函數”，則實數的最大值為___________.16．(2023·浙江湖州·模擬預測）設，若存在，使得，則稱函數與互為“n度零點函數”．若與互為“1度零點函數”，則實數a的取值范圍為_____________．17．(2023·河南省杞縣高中模擬預測（理））實數x，y滿足，則的值為______．18．(2023·河南新鄉·高三期末（文））已知函數在x＝2處取得極小值，則______．19．(2023·全國·高三專題練習（理））若函數在區間上存在極值，則實數的取值范圍是________．20．(2023·全國·高三專題練習（理））已知x＝是函數的極值點，則a＝________.21．(2023·江蘇無錫·模擬預測）已知函數，其中m＞0，f'(x)為f(x)的導函數，設，且恒成立．(1)求m的取值范圍；(2)設函數f(x)的零點為x0，函數f'(x)的極小值點為x1，求證：x0＞x1．22．(2023·青海·海東市第一中學模擬預測（理））已知函數，．(1)若，求函數的極值；(2)設，當時，（是函數的導數），求a的取值范圍．23．(2023·廣東·大埔縣虎山中學高三階段練習）已知函數的圖象在點處的切線方程為．(1)若，求，；(2)若在上恒成立，求的取值范圍．24．(2023·河南·開封市東信學校模擬預測（文））已知函數.(1)當時，求的單調區間；(2)設函數的最大值為m，證明：.25．(2023·全國·鄭州一中模擬預測（理））已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)當時，證明：.26．(2023·廣東深圳·高三階段練習）已知函數(1)若對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍；(2)設是兩個不相等的實數，且．求證：27．(2023·山東師范大學附中高三期中）設函數(1)當時，求的單調區間；(2)任意正實數，當時，試判斷與的大小關系并證明28．(2023·山東·德州市教育科學研究院三模）已知函數，曲線在處的切線與直線垂直.(1)設，求的單調區間；(2)當，且時，，求實數的取值范圍.29．(2023·北京市大興區興華中學三模）設函數，．(1)當時，求在點處的切線方程；(2)當時，恒成立，求a的取值范圍；(3)求證：當時，．1．(2023·全國·高考真題（理））當時，函數取得最大值，則（

）A． B． C． D．12．(2023·全國·高考真題（文））函數在區間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題（理））設，若為函數的極大值點，則（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·高考真題（理））已知和分別是函數（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．5．（2023·全國·高考真題）函數的最小值為______.6．(2023·全國·高考真題）已知函數和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．7．(2023·全國·高考真題（文））已知函數．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．8．（2023·北京·高考真題）已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區間，以及其最大值與最小值．9．（2023·天津·高考真題）已知，函數．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數b的取值范圍．10．（2023·全國·高考真題（理））設函數，已知是函數的極值點．（1）求a；（2）設函數．證明:．1．【解析】（1）解：∴，∴當時，令，得∴在單調遞減，在單調遞增，所以在時取得極小值，∴（2）證明：設切點為，∴切線為，又切線過點，∴∴，（*）設則∴在單詞遞減，在單調遞增．∵過點可作的兩條切線，∴方程（*）有兩解∴，由，得∴，即．2．【解析】（1）（1），，若存在兩個極值點，則在上有兩個根，所以有兩個根，即與，有兩個交點，，所以在上，，單調遞增，在上，，單調遞減，所以時，，所以，所以的取值范圍為．（2）證明：由（1）知，且，，所以，所以只需證明，令，故，原不等式等價于對成立，令，，所以單調遞減，則有（1）．3．【解析】（1）當時，定義域為，，，，故在點處的切線方程為：，即；（2）由題意得：，，故，此時，經檢驗，符合要求，，令時，，，令得：或，令得：，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；又當時，恒成立，當時，恒成立，故，，即最大值為，最小值為．4．【解析】（1），當時，當恒成立，在上單調遞增；當時，令，得，令，得，在上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）依題意得對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，令，則在上單調遞增，，當時，，即；當時，，即，在上單調遞減，在上單調遞增，，，故的最大值為．5．【解析】（1）解：由題意，函數，則，可得，所以曲線在點處的切線方程為，即，可得直線在x軸，y軸上的截距分別為，，所以所求三角形的面積為．（2）解：由，則，所以函數為增函數，又因為，所以當時，，所以函數在上單調遞增，所以函數在區間上的最大值為，最小值為．即函數在區間上的最大值為，最小值為．6．【解析】（1）當時，，，當且僅當時取“=”，所以在R上單調遞增，而，即0是的唯一零點，所以函數零點的個數是1．（2），令，則，因，則，因此，函數在上單調遞增，，，所以當時，成立．1．答案：A【解析】令，則，∵當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞減，所以，所以，∴（當且僅當時“”成立），，（當且僅當時，“”成立），，.所以故選：A2．答案：D【解析】設，，，，則，則有和，代入，解得：，令和，導函數，即可得的最大值在時取得，此時，求得此時，故選：D.3．答案：D【解析】∵，，∴，∵不等式對恒成立，∴對恒成立，∵函數為定義在上的增函數，∴，化為：，令，則，時，，此時函數單調遞增；時，，此時函數單調遞減.∴時，函數取得極大值..∴.則實數a的取值范圍是.故選：D.4．答案：D【解析】解：，，若函數在上有最小值，即在先遞減再遞增，即在先小于0，再大于0，令，得，令，，只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，設切點是，，則切線方程是：，將代入切線方程得：，故切點是，切線的斜率是1，只需即可，解得，即，故選：D．5．答案：B【解析】解：因為，，所以有兩個不同的實數解，且由根與系數的關系得，，由題意可得，解得，此時，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故當時，取得極大值．故選：B．6．答案：D【解析】由題意知：，，令，則，顯然當時，，單減，當時，，單增，故A，B錯誤；在上有極小值，令，則，又，則，故在上有極小值，C錯誤；D正確.故選：D.7．答案：C【解析】A.因為函數，所以，令，得，當或時，，當時，，所以當時，取得極大值，當時，取得極小值，又，所以，所以函數有一個零點，故錯誤；B.因為，所以，當時，，當時，，所以是的極小值點，故錯誤；C.令，則，當或時，，當時，，所以當時，取得極大值，當時，取得極小值，因為方程在區間上僅有一個實根，所以或，解得或，所以實數a的取值范圍為，故正確；D.因為，所以，令，得，當時，，當時，，所以當時，函數取得極大值，又時，，時，，所以函數只有一個零點，故錯誤；故選：C8．答案：C【解析】函數，導函數.因為在上既有極大值又有極小值，所以在內應有兩個不同的異號實數根．，解得：，實數a的取值范圍.故選：C．9．答案：D【解析】，由函數有兩個極值點，則等價于有兩個解，即與有兩個交點，所以.直線過點由在點處的切線為，顯然直線過點當時，直線與曲線交于不同兩點（如下圖），且，，令，則，所以單調遞增，，即，故選：D.10．（多選題）答案：CD【解析】對于A，由得：，解得，A不正確；對于B，對求導得：，當或時，，當時，，即函數在，上單調遞減，在上單調遞增，因此，函數在處取得極小值，在處取得極大值，B不正確；對于C，由選項B知，作出曲線及直線，如圖，觀察圖象得當時，直線與曲線有2個交點，所以當時，方程有且只有兩個實根，C正確；對于D，因，而函數在上單調遞減，因此當時，，當且僅當，即，所以t的最大值為2，D正確.故選：CD11．（多選題）答案：BD【解析】對A，是的極小值點，不一定是最小值點，故A錯誤；對B，因函數與函數的圖象關于x軸對稱，故應是的極大值點，故B正確；對C，因函數與函數的圖象關于y軸對稱，故應是的極小值點，故C錯誤；對D，因函數與函數的圖象關于原點對稱，故是的極大值點，故D正確.故選：BD.12．（多選題）答案：ABCD【解析】，其導函數為．令，解得，，當時，即或時，函數單調遞增，當時，即時，函數單調遞減；故當時，函數有極小值，極小值為，當時，函數有極大值，極大值為，，故函數只有一個零點，又故ABD正確；令，則故在上，即在上單調遞增，根據切割線的定義可知，當時，對任意的，恒有，即對任意的，恒有，即，故C正確；故選：ABCD．13．（多選題）答案：AB【解析】因為，所以在上單調遞增，所以對，；，所以，當時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，∴；因為，任意，不等式恒成立，即，整理得，解得或，所以正數的取值范圍為；6e與均在區間內，與均不在區間內；故選：AB．14．（多選題）答案：AC【解析】A：，所以的定義域為，故A正確；B：，設，則，有在上恒成立，故在上單調遞減，且，所以當時，當時，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以，若直線與的圖像有交點，則，故B錯誤；C：由B中的分析，，代入得，故C正確；D：由B中的分析，，代入得，故D錯誤．故選：AC15．答案：【解析】函數的零點為3，設函數的零點為，則.，令，，；，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，，即實數的最大值為.故答案為：16．答案：【解析】解：由，解得，由，得，設其解為，因為與互為“1度零點函數”，所以，解得，又，設，則，當時，是增函數，當時，是減函數，∴，又，，∴實數a的取值范圍為.故答案為：17．答案：【解析】因為，所以．顯然，令，則，且，令，則，所以當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以對，，即，當且僅當時等號成立．綜上，當且僅當時，成立，此時，解得．故答案為：18．答案：1或3【解析】依題意，，因在x＝2處取得極小值，則，解得m=1或m=3，經檢驗，當m＝1或m＝3時，在x＝2處均取得極小值，所以m的值為1或3.故答案為：1或319．答案：【解析】由，得，因為函數在區間上存在極值，所以在上有變號零點，因為，所以，即在上有解，轉化為在上有解.因為，所以，即，于是，得.由此可得.實數a的取值范圍是.故答案為：.20．答案：1【解析】解：由f(x)＝xln(ax)＋1，得f′(x)＝ln(ax)＋x··a＝ln(ax)＋1，又x＝是f(x)的極值點，所以f′＝ln＋1＝0，則a＝1，所以，則，令，得x＝，且時，，在上單調遞減，時，，在上單調遞增，所以經驗證a＝1時，x＝是函數f(x)＝xln(ax)＋1的極值點.所以a＝1.故答案為：1.21．【解析】(1)由題設知，則，所以當x＞1時，h'(x)＞0，則h(x)在區間(1，＋∞)是增函數，當0＜x＜1時，h'(x)＜0，則h(x)在區間(0，1)是減函數，所以h(x)min＝h（1）＝，解得，所以m的取值范圍為(2)令則＝恒成立，所以t(x)在(0，＋∞)單調遞增．又，所以存在，使得t(x2)＝0，當x∈(0，x2)時，t'(x)＜0，即f''(x)＜0，則f'(x)在(0，x2)單調遞減；當x∈(x2，＋∞)時，t'(x)＞0，即f''(x)＞0，則f'(x)在(x2，＋∞)單調遞增；所以f'(x)在x＝x2處取得極小值．即x1＝x2，所以t(x1)＝0，即，所以，令，則s(x)在(0，＋∞)單調遞增；所以s(x1)＜0因為f(x)的零點為x0，則，即s(x0)＝0所以s(x1)＜s(x0)，所以x0＞x122．【解析】(1)解：，令，得或，當或時，，當時，，所以函數在（0，1）上單調遞增，在（1，e）上單調遞減，在上單調遞增，所以函數的極大值為，函數的極小值為．(2)，，即，即，設，，設，，當時，，當時，，所以函數在（0，1）上單調遞減，在上單調遞增，，即，則函數在上單調遞增，則由，得在上恒成立，即在上恒成立．設，，當時，，當時，，所以函數在（0，e）上單調遞增，在上單調遞減，所以，故．23．【解析】(1)解：，，所以，即又．又點在切線上，，所以，又，所以，．(2)解：，在，上恒成立，設，則在，上恒成立，，又，而當時．當即時，在上恒成立，；當即時，時，且當時，，當時，；則①，又與①矛盾，不符題意，故舍去．綜上所述，的取值范圍為．24．【解析】(1)當時，.∴，令，得.∴當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.故函數的減區間為，增區間為；(2)由，令，得.∴當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.∴.令，則.∴當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.∴，即.25．【解析】(1)依題意知，，令得，當時，在上，單調遞減，在單調遞增；當時，在上，單調遞增，在單調遞減.(2)依題意，要證，①當時，，，故原不等式成立，②當時，要證：，即證：，令，則，，∴在單調遞減，∴，∴在單調遞減，∴，即，故原不等式成立.26．【解析】(1)當時，，因為，所以，即，不符合題意；

當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減．

所以．

由恒成立可知，所以．

又因為，所以的取值范圍為．(2)因為，所以，即．令，由題意可知，存在不相等的兩個實數，，使得．

由（1）可知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．不妨設，則．設，

則，所以在上單調遞增，

所以，即在區間上恒成立．因為，所以．

因為，所以．

又因為，，且在區間上單調遞增，所以，即．27．【解析】(1)時，，，令得；令得或故的單增區間為，單減區間為，(2)結論：，證明如下：設，由均為正數且得設，則①當時，由得即故單調遞減，從而而，此時成立②當時，在上單調遞減，在上單調遞增故的最小值為此時只需證，化簡后即證設，故單調遞增，從而有，即證綜上：不等式得證．28．【解析】(1)∵曲線在處的切線與直線垂直，則，即∴，的定義域為則當時，，時，，函數的單調增區間為，單調減區間為，(2)當，且時，，即構建，則當，由當時恒成立在上單調遞減且當時，，則；當時，，則∴當，且時，.當時，當時，在上單調遞增且∴當時，，可得，與題設矛盾.當，則在上單調遞增且∴當時，，可得，與題設矛盾.綜上所述：的取值范圍為.29．【解析】(1)，，即切線.，，則切線方程為：.(2)，恒成立等價于，恒成立.設，，，，為增函數，，，為減函數，所以，即.(3)，等價于，.設，，，設，，，所以在為增函數，即，所以，即在為增函數，即，即證：.1．答案：B【解析】因為函數定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.2．答案：D【解析】，所以在區間和上，即單調遞增；在區間上，即單調遞減，又，，，所以在區間上的最小值為，最大值為.故選：D3．答案：D【解析】若，則為單調函數，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D4．答案：【解析】解：，因為分別是函數的極小值點和極大值點，所以函數在和上遞減，在上遞增，所以當時，，當時，，若時，當時，，則此時，與前面矛盾，故不符合題意，若時，則方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數與函數的圖象有兩個不同的交點，∵,∴函數的圖象是單調遞減的指數函數，又∵,∴的圖象由指數函數向下關于軸作對稱變換，然后將圖象上的每個點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長或縮短為原來的倍得到，如圖所示：設過原點且與函數的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數與函數的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.5．答案：1【解析】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞增；又在各分段的界點處連續，∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；∴故答案為：1.6．【解析】(1)的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當時，，故在上為減函數，當時，，故在上為增函數，故.當時，，故在上為減函數，當時，，故在上為增函數，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設，則，故為上的減函數，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.(2)由（1）可得和的最小值為.當時，考慮的解的個數、的解的個數.設，，當時，，當時，，故在上為減函數，在上為增函數，所以，而，，設，其中，則，故在上為增函數，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數為2.設，，當時，，當時，，故在上為減函數，在上為增函數，所以，而，，有兩個不同的零點即的解的個數為2.當，由（1）討論可得、僅有一個解，當時，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設，其中，故，設，，則，故在上為增函數，故即，所以，所以在上為增函數，而，，故在上有且只有一個零點，且：當時，即即，當時，即即，因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，故，此時有兩個不同的根，此時有兩個不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.7．【解析】(1)當時，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以；(2)，則，當時，，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，此時函數無零點，不合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.8．【解析】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數的增區間為、，單調遞減區間為.當時，；當時，.所以，，.9．【解析】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：所以當時，與僅有一個交點，令，則，且，當時，，則，單調遞增，當時，，則，單調遞減，為的極大值點，故存在唯一的極值點；（III）由（II）知，此時，所以，令，若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，故，所以實數b的取值范圍.10．【解析】（1）由，，又是函數的極值點，所以，解得；（2）[方法一]：轉化為有分母的函數由（Ⅰ）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（ⅰ）當時，，，即證．令，因為，所以在區間內為增函數，所以．（ⅱ）當時，，，即證，由（ⅰ）分析知在區間內為減函數，所以．綜合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最優解】：轉化為無分母函數由（1）得，，且，當時，要證，，，即證，化簡得；同理，當時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，故；當時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導數不等式中的常見結論證明令，因為，所以在區間內是增函數，在區間內是減函數，所以，即（當且僅當時取等號）．故當且時，且，，即，所以．（ⅰ）當時，，所以，即，所以．（ⅱ）當時，，同理可證得．綜合（ⅰ）（ⅱ）得，當且時，，即．【整體點評】（2）方法一利用不等式的性質分類轉化分式不等式：當時，轉化為證明，當時，轉化為證明，然后構造函數，利用導數研究單調性，進而證得；方法二利用不等式的性質分類討論分別轉化為整式不等式：當時，成立和當時，成立，然后換元構造，利用導數研究單調性進而證得，通性通法，運算簡潔，為最優解；方法三先構造函數，利用導數分析單調性，證得常見常用結論（當且僅當時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質證得要證得不等式，有一定的巧合性.考向16利用導數研究函數的極值與最值【2022·全國·高考真題（理）】當時，函數取得最大值，則（

）A． B． C． D．1答案：B【解析】因為函數定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.【2022·全國·高考真題（文）】函數在區間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，所以在區間和上，即單調遞增；在區間上，即單調遞減，又，，，所以在區間上的最小值為，最大值為.故選：D1．由圖象判斷函數的極值，要抓住兩點：（1）由的圖象與x軸的交點，可得函數的可能極值點；（2）由導函數的圖象可以看出的值的正負，從而可得函數的單調性．兩者結合可得極值點．2．已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，要注意：（1）根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解；（2）因為導數值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數法求解后必須檢驗．3．求函數在閉區間內的最值的思路（1）若所給的閉區間不含有參數，則只需對函數求導，并求在區間內的根，再計算使導數等于零的根的函數值，把該函數值與，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．（2）若所給的閉區間含有參數，則需對函數求導，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數的最值．（1）若函數在區間D上存在最小值和最大值，則不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；（2）若函數在區間D上不存在最大（小）值，且值域為，則不等式在區間D上恒成立．不等式在區間D上恒成立．（3）若函數在區間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；（4）若函數在區間D上不存在最大（小）值，如值域為，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區間D上有解不等式在區間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．1．函數的極值函數在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數的一個極小值，記作．極大值與極小值統稱為極值，稱為極值點．求可導函數極值的一般步驟（1）先確定函數的定義域；（2）求導數；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那么函數在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數在這個根處取得極小值．注①可導函數在點處取得極值的充要條件是：是導函數的變號零點，即，且在左側與右側，的符號導號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數，在極小值點是不可導的，于是有如下結論：為可導函數的極值點；但為的極值點．2．函數的最值函數最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導函數為（1）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設是定義在上的函數，在內有導數，求函數在上的最大值與最小值可分為兩步進行：（1）求在內的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注①函數的極值反映函數在一點附近情況，是局部函數值的比較，故極值不一定是最值；函數的最值是對函數在整個區間上函數值比較而言的，故函數的最值可能是極值，也可能是區間端點處的函數值；②函數的極值點必是開區間的點，不能是區間的端點；③函數的最值必在極值點或區間端點處取得．1．(2023·山西太原·三模（文））已知函數（1）若在時取得極小值，求實數k的值；（2）若過點可以作出函數的兩條切線，求證：【解析】（1）解：∴，∴當時，令，得∴在單調遞減，在單調遞增，所以在時取得極小值，∴（2）證明：設切點為，∴切線為，又切線過點，∴∴，（*）設則∴在單詞遞減，在單調遞增．∵過點可作的兩條切線，∴方程（*）有兩解∴，由，得∴，即．2．(2023·湖北·模擬預測）已知函數，（）．（1）若存在兩個極值點，求實數的取值范圍；（2）若，為的兩個極值點，證明：．【解析】（1）（1），，若存在兩個極值點，則在上有兩個根，所以有兩個根，即與，有兩個交點，，所以在上，，單調遞增，在上，，單調遞減，所以時，，所以，所以的取值范圍為．（2）證明：由（1）知，且，，所以，所以只需證明，令，故，原不等式等價于對成立，令，，所以單調遞減，則有（1）．3．(2023·河南鄭州·高三階段練習（文））已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區間及其最大值與最小值．【解析】（1）當時，定義域為，，，，故在點處的切線方程為：，即；（2）由題意得：，，故，此時，經檢驗，符合要求，，令時，，，令得：或，令得：，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；又當時，恒成立，當時，恒成立，故，，即最大值為，最小值為．4．(2023·全國·高三專題練習（理））已知函數，其中．（1）討論的單調性；（2）若，，求的最大值．【解析】（1），當時，當恒成立，在上單調遞增；當時，令，得，令，得，在上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）依題意得對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，令，則在上單調遞增，，當時，，即；當時，，即，在上單調遞減，在上單調遞增，，，故的最大值為．5．(2023·山東菏澤·高三期末）設函數．（1）求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）求函數在區間上的最大值和最小值．【解析】（1）解：由題意，函數，則，可得，所以曲線在點處的切線方程為，即，可得直線在x軸，y軸上的截距分別為，，所以所求三角形的面積為．（2）解：由，則，所以函數為增函數，又因為，所以當時，，所以函數在上單調遞增，所以函數在區間上的最大值為，最小值為．即函數在區間上的最大值為，最小值為．6．(2023·北京市第九中學模擬預測）已知．（1）當時，判斷函數零點的個數；（2）求證：．【解析】（1）當時，，，當且僅當時取“=”，所以在R上單調遞增，而，即0是的唯一零點，所以函數零點的個數是1．（2），令，則，因，則，因此，函數在上單調遞增，，，所以當時，成立．1．(2023·內蒙古·烏蘭浩特一中模擬預測（文））已知函數的最小值分別為，則（

）A． B． C． D．的大小關系不確定答案：A【解析】令，則，∵當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞減，所以，所以，∴（當且僅當時“”成立），，（當且僅當時，“”成立），，.所以故選：A2．(2023·北京·北大附中三模）如圖矩形，沿對折使得點與邊上的點重合，則的長度可以用含的式子表示，那么長度的最小值為（

）A．4 B．8 C． D．答案：D【解析】設，，，，則，則有和，代入，解得：，令和，導函數，即可得的最大值在時取得，此時，求得此時，故選：D.3．(2023·安徽·合肥一六八中學模擬預測（文））已知函數為定義在上的增函數，且對，若不等式對恒成立，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】∵，，∴，∵不等式對恒成立，∴對恒成立，∵函數為定義在上的增函數，∴，化為：，令，則，時，，此時函數單調遞增；時，，此時函數單調遞減.∴時，函數取得極大值..∴.則實數a的取值范圍是.故選：D.4．(2023·江西省豐城中學模擬預測（文））已知函數在上有最小值，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】解：，，若函數在上有最小值，即在先遞減再遞增，即在先小于0，再大于0，令，得，令，，只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，設切點是，，則切線方程是：，將代入切線方程得：，故切點是，切線的斜率是1，只需即可，解得，即，故選：D．5．(2023·廣東深圳·高三階段練習）已知函數有兩個極值點，且，則的極大值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解：因為，，所以有兩個不同的實數解，且由根與系數的關系得，，由題意可得，解得，此時，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故當時，取得極大值．故選：B．6．(2023·廣東廣州·三模）設為函數的導函數，已知，則（

）A．在單調遞增B．在單調遞減C．在上有極大值D．在上有極小值答案：D【解析】由題意知：，，令，則，顯然當時，，單減，當時，，單增，故A，B錯誤；在上有極小值，令，則，又，則，故在上有極小值，C錯誤；D正確.故選：D.7．(2023·全國·模擬預測（文））下列結論正確的是（

）A．設函數，其中a，，當a＝－3，時，函數有兩個零點B．函數沒有極值點C．關于x的方程在區間上僅有一個實根，則實數a的取值范圍為D．函數有兩個零點答案：C【解析】A.因為函數，所以，令，得，當或時，，當時，，所以當時，取得極大值，當時，取得極小值，又，所以，所以函數有一個零點，故錯誤；B.因為，所以，當時，，當時，，所以是的極小值點，故錯誤；C.令，則，當或時，，當時，，所以當時，取得極大值，當時，取得極小值，因為方程在區間上僅有一個實根，所以或，解得或，所以實數a的取值范圍為，故正確；D.因為，所以，令，得，當時，，當時，，所以當時，函數取得極大值，又時，，時，，所以函數只有一個零點，故錯誤；故選：C8．(2023·全國·高三專題練習）已知函數在區間上既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】函數，導函數.因為在上既有極大值又有極小值，所以在內應有兩個不同的異號實數根．，解得：，實數a的取值范圍.故選：C．9．(2023·安徽·蒙城第一中學高三階段練習（文））已知為常數，函數有兩個極值點，其中一個極值點滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，由函數有兩個極值點，則等價于有兩個解，即與有兩個交點，所以.直線過點由在點處的切線為，顯然直線過點當時，直線與曲線交于不同兩點（如下圖），且，，令，則，所以單調遞增，，即，故選：D.10．（多選題）(2023·湖南·湘潭一中高三階段練習）已知函數，則下列結論正確的是（

）A．函數只有一個零點B．函數只有極大值而無極小值C．當時，方程有且只有兩個實根D．若當時，，則t的最大值為2答案：CD【解析】對于A，由得：，解得，A不正確；對于B，對求導得：，當或時，，當時，，即函數在，上單調遞減，在上單調遞增，因此，函數在處取得極小值，在處取得極大值，B不正確；對于C，由選項B知，作出曲線及直線，如圖，觀察圖象得當時，直線與曲線有2個交點，所以當時，方程有且只有兩個實根，C正確；對于D，因，而函數在上單調遞減，因此當時，，當且僅當，即，所以t的最大值為2，D正確.故選：CD11．（多選題）(2023·重慶八中模擬預測）設函數的定義域為，是的極小值點，以下結論一定正確的是（

）A．是的最小值點B．是的極大值點C．是的極大值點D．是的極大值點答案：BD【解析】對A，是的極小值點，不一定是最小值點，故A錯誤；對B，因函數與函數的圖象關于x軸對稱，故應是的極大值點，故B正確；對C，因函數與函數的圖象關于y軸對稱，故應是的極小值點，故C錯誤；對D，因函數與函數的圖象關于原點對稱，故是的極大值點，故D正確.故選：BD.12．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）（多選）已知函數，其導函數為，給出以下命題正確的是（

）A．的單調遞減區間是B．的極小值是C．當時，對任意的且，恒有D．函數有且只有一個零點答案：ABCD【解析】，其導函數為．令，解得，，當時，即或時，函數單調遞增，當時，即時，函數單調遞減；故當時，函數有極小值，極小值為，當時，函數有極大值，極大值為，，故函數只有一個零點，又故ABD正確；令，則故在上，即在上單調遞增，根據切割線的定義可知，當時，對任意的，恒有，即對任意的，恒有，即，故C正確；故選：ABCD．13．（多選題）(2023·全國·模擬預測）已知函數，，若，不等式恒成立，則正數的取值可以是（

）A． B． C． D．答案：AB【解析】因為，所以在上單調遞增，所以對，；，所以，當時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，∴；因為，任意，不等式恒成立，即，整理得，解得或，所以正數的取值范圍為；6e與均在區間內，與均不在區間內；故選：AB．14．（多選題）(2023·全國·模擬預測）已知，則（

）A．的定義域是B．若直線和的圖像有交點，則C．D．答案：AC【解析】A：，所以的定義域為，故A正確；B：，設，則，有在上恒成立，故在上單調遞減，且，所以當時，當時，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以，若直線與的圖像有交點，則，故B錯誤；C：由B中的分析，，代入得，故C正確；D：由B中的分析，，代入得，故D錯誤．故選：AC15．(2023·福建·福州三中高三階段練習）如果兩個函數存在零點，分別為，若滿足，則稱兩個函數互為“度零點函數”.若與互為“2度零點函數”，則實數的最大值為___________.答案：【解析】函數的零點為3，設函數的零點為，則.，令，，；，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，，即實數的最大值為.故答案為：16．(2023·浙江湖州·模擬預測）設，若存在，使得，則稱函數與互為“n度零點函數”．若與互為“1度零點函數”，則實數a的取值范圍為_____________．答案：【解析】解：由，解得，由，得，設其解為，因為與互為“1度零點函數”，所以，解得，又，設，則，當時，是增函數，當時，是減函數，∴，又，，∴實數a的取值范圍為.故答案為：17．(2023·河南省杞縣高中模擬預測（理））實數x，y滿足，則的值為______．答案：【解析】因為，所以．顯然，令，則，且，令，則，所以當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以對，，即，當且僅當時等號成立．綜上，當且僅當時，成立，此時，解得．故答案為：18．(2023·河南新鄉·高三期末（文））已知函數在x＝2處取得極小值，則______．答案：1或3【解析】依題意，，因在x＝2處取得極小值，則，解得m=1或m=3，經檢驗，當m＝1或m＝3時，在x＝2處均取得極小值，所以m的值為1或3.故答案為：1或319．(2023·全國·高三專題練習（理））若函數在區間上存在極值，則實數的取值范圍是________．答案：【解析】由，得，因為函數在區間上存在極值，所以在上有變號零點，因為，所以，即在上有解，轉化為在上有解.因為，所以，即，于是，得.由此可得.實數a的取值范圍是.故答案為：.20．(2023·全國·高三專題練習（理））已知x＝是函數的極值點，則a＝________.答案：1【解析】解：由f(x)＝xln(ax)＋1，得f′(x)＝ln(ax)＋x··a＝ln(ax)＋1，又x＝是f(x)的極值點，所以f′＝ln＋1＝0，則a＝1，所以，則，令，得x＝，且時，，在上單調遞減，時，，在上單調遞增，所以經驗證a＝1時，x＝是函數f(x)＝xln(ax)＋1的極值點.所以a＝1.故答案為：1.21．(2023·江蘇無錫·模擬預測）已知函數，其中m＞0，f'(x)為f(x)的導函數，設，且恒成立．(1)求m的取值范圍；(2)設函數f(x)的零點為x0，函數f'(x)的極小值點為x1，求證：x0＞x1．【解析】(1)由題設知，則，所以當x＞1時，h'(x)＞0，則h(x)在區間(1，＋∞)是增函數，當0＜x＜1時，h'(x)＜0，則h(x)在區間(0，1)是減函數，所以h(x)min＝h（1）＝，解得，所以m的取值范圍為(2)令則＝恒成立，所以t(x)在(0，＋∞)單調遞增．又，所以存在，使得t(x2)＝0，當x∈(0，x2)時，t'(x)＜0，即f''(x)＜0，則f'(x)在(0，x2)單調遞減；當x∈(x2，＋∞)時，t'(x)＞0，即f''(x)＞0，則f'(x)在(x2，＋∞)單調遞增；所以f'(x)在x＝x2處取得極小值．即x1＝x2，所以t(x1)＝0，即，所以，令，則s(x)在(0，＋∞)單調遞增；所以s(x1)＜0因為f(x)的零點為x0，則，即s(x0)＝0所以s(x1)＜s(x0)，所以x0＞x122．(2023·青海·海東市第一中學模擬預測（理））已知函數，．(1)若，求函數的極值；(2)設，當時，（是函數的導數），求a的取值范圍．【解析】(1)解：，令，得或，當或時，，當時，，所以函數在（0，1）上單調遞增，在（1，e）上單調遞減，在上單調遞增，所以函數的極大值為，函數的極小值為．(2)，，即，即，設，，設，，當時，，當時，，所以函數在（0，1）上單調遞減，在上單調遞增，，即，則函數在上單調遞增，則由，得在上恒成立，即在上恒成立．設，，當時，，當時，，所以函數在（0，e）上單調遞增，在上單調遞減，所以，故．23．(2023·廣東·大埔縣虎山中學高三階段練習）已知函數的圖象在點處的切線方程為．(1)若，求，；(2)若在上恒成立，求的取值范圍．【解析】(1)解：，，所以，即又．又點在切線上，，所以，又，所以，．(2)解：，在，上恒成立，設，則在，上恒成立，，又，而當時．當即時，在上恒成立，；當即時，時，且當時，，當時，；則①，又與①矛盾，不符題意，故舍去．綜上所述，的取值范圍為．24．(2023·河南·開封市東信學校模擬預測（文））已知函數.(1)當時，求的單調區間；(2)設函數的最大值為m，證明：.【解析】(1)當時，.∴，令，得.∴當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.故函數的減區間為，增區間為；(2)由，令，得.∴當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.∴.令，則.∴當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.∴，即.25．(2023·全國·鄭州一中模擬預測（理））已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)當時，證明：.【解析】(1)依題意知，，令得，當時，在上，單調遞減，在單調遞增；當時，在上，單調遞增，在單調遞減.(2)依題意，要證，①當時，，，故原不等式成立，②當時，要證：，即證：，令，則，，∴在單調遞減，∴，∴在單調遞減，∴，即，故原不等式成立.26．(2023·廣東深圳·高三階段練習）已知函數(1)若對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍；(2)設是兩個不相等的實數，且．求證：【解析】(1)當時，，因為，所以，即，不符合題意；

當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減．

所以．

由恒成立可知，所以．

又因為，所以的取值范圍為．(2)因為，所以，即．令，由題意可知，存在不相等的兩個實數，，使得．

由（1）可知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．不妨設，則．設，

則，所以在上單調遞增，

所以，即在區間上恒成立．因為，所以．

因為，所以．

又因為，，且在區間上單調遞增，所以，即．27．(2023·山東師范大學附中高三期中）設函數(1)當時，求的單調區間；(2)任意正實數，當時，試判斷與的大小關系并證明【解析】(1)時，，，令得；令得或故的單增區間為，單減區間為，(2)結論：，證明如下：設，由均為正數且得設，則①當時，由得即故單調遞減，從而而，此時成立②當時，在上單調遞減，在上單調遞增故的最小值為此時只需證，化簡后即證設，故單調遞增，從而有，即證綜上：不等式得證．28．(2023·山東·德州市教育科學研究院三模）已知函數，曲線在處的切線與直線垂直.(1)設，求的單調區間；(2)當，且時，，求實數的取值范圍.【解析】(1)∵曲線在處的切線與直線垂直，則，即∴，的定義域為則當時，，時，，函數的單調增區間為，單調減區間為，(2)當，且時，，即構建，則當，由當時恒成立在上單調遞減且當時，，則；當時，，則∴當，且時，.當時，當時，在上單調遞增且∴當時，，可得，與題設矛盾.當，則在上單調遞增且∴當時，，可得，與題設矛盾.綜上所述：的取值范圍為.29．(2023·北京市大興區興華中學三模）設函數，．(1)當時，求在點處的切線方程；(2)當時，恒成立，求a的取值范圍；(3)求證：當時，．【解析】(1)，，即切線.，，則切線方程為：.(2)，恒成立等價于，恒成立.設，，，，為增函數，，，為減函數，所以，即.(3)，等價于，.設，，，設，，，所以在為增函數，即，所以，即在為增函數，即，即證：.1．(2023·全國·高考真題（理））當時，函數取得最大值，則（

）A． B． C． D．1答案：B【解析】因為函數定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.2．(2023·全國·高考真題（文））函數在區間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，所以在區間和上，即單調遞增；在區間上，即單調遞減，又，，，所以在區間上的最小值為，最大值為.故選：D3．（2023·全國·高考真題（理））設，若為函數的極大值點，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】若，則為單調函數，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D4．(2023·全國·高考真題（理））已知和分別是函數（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．答案：【解析】解：，因為分別是函數的極小值點和極大值點，所以函數在和上遞減，在