專題4.4導數的綜合應用（真題測試）一、單選題1．(2023·全國·高考真題（理））已知函數有唯一零點，則（）A． B． C． D．12．(2023·陜西·高考真題（理））對二次函數（為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是A．是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上3．(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））已知函數，若有且僅有兩個正整數，使得成立，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．(2023·全國·高考真題（文））已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））若函數有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．(2023·河南·開封市東信學校模擬預測（理））對任意，不等式恒成立，則正數a的最大值為（

）A． B． C． D．e7．(2023·全國·高考真題（理））設函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．(2023·內蒙古·海拉爾第二中學模擬預測（理））已知函數，若對任意實數，不等式總成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．(2023·遼寧實驗中學模擬預測）我們把形如的方程稱為微分方程，符合方程的函數稱為微分方程的解，下列函數為微分方程的解的是（

）A． B．C． D．10．(2023·河北滄州·二模）已知實數滿足，則（

）A． B．C． D．11．(2023·湖南·模擬預測）已知，，且，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．12．(2023·全國·高考真題）已知函數，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線三、填空題13．（2023·河南高三其他（理））函數，若，則在的最小值為_______；當時，恒成立，則a的取值范圍是_____.14．(2023·全國·模擬預測（理））若曲線與僅有1個公共點，則的取值范圍是___________.15．(2023·福建·高考真題（理））對于實數a和b，定義運算“*”：設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是_________________16．(2023·江蘇·常州高級中學模擬預測）已知函數，若的解集中恰有一個整數，則m的取值范圍為________．四、解答題17．(2023·全國·高考真題（文））已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，．18．(2023·全國·高考真題（理））已知函數（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.19．(2023·全國·高考真題（文））已知函數.（1）討論的單調性；（2）當時，證明.20．(2023·全國·高考真題（文））設函數．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）證明當時，；（Ⅲ）設，證明當時，.21．(2023·全國·高考真題（理））設函數．（1）證明：在單調遞減，在單調遞增；（2）若對于任意，都有，求m的取值范圍．22．(2023·四川·高考真題（理））已知函數，其中，為自然對數的底數.（Ⅰ）設是函數的導函數，求函數在區間上的最小值；（Ⅱ）若，函數在區間內有零點，求的取值范圍專題4.4導數的綜合應用（真題測試）一、單選題1．(2023·全國·高考真題（理））已知函數有唯一零點，則（）A． B． C． D．1答案：C【解析】分析：【詳解】因為，設，則，因為，所以函數為偶函數，若函數有唯一零點，則函數有唯一零點，根據偶函數的性質可知，只有當時，才滿足題意，即是函數的唯一零點，所以，解得.故選：C.2．(2023·陜西·高考真題（理））對二次函數（為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是A．是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上答案：A【解析】【詳解】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A．3．(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））已知函數，若有且僅有兩個正整數，使得成立，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：將轉化為，再分別求導分析和的圖象，再分別求得，，到的斜率，分析臨界情況即可【詳解】由且，得，設，，，已知函數在（0，2）上單調遞增，在上單調遞減，函數的圖象過點，，，，結合圖象，因為，所以．故選：C4．(2023·全國·高考真題（文））已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C【解析】【詳解】試題分析：當時，，函數有兩個零點和，不滿足題意，舍去；當時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點，故不滿足題意，舍去；當時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則，選C．5．(2023·青海·海東市第一中學模擬預測（理））若函數有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：令得，利用導數研究的圖像，由函數有三個零點可知，若令，則可知方程的一根必在內，另一根或或上，分類討論即可求解.【詳解】由得，令，由，得，因此函數在上單調遞增，在上單調遞減，且，當時，，則的圖像如圖所示：即函數的最大值為，令，則，由二次函數的圖像可知，二次方程的一根必在內，另一根或或上，當時，，則另一根，不滿足題意，當時，a＝0，則另一根，不滿足題意，當時，由二次函數的圖像可知，解得，則實數的取值范圍是，故選：D.6．(2023·河南·開封市東信學校模擬預測（理））對任意，不等式恒成立，則正數a的最大值為（

）A． B． C． D．e答案：D【解析】分析：將不等式化為，構造有，利用函數的單調性及參變分離法有在上恒成立，應用導數求右側最小值，即可得結果.【詳解】∵，∴．令，則不等式化為．∵為增函數，∴，即．令，則，當時，，即遞減；當時，，即遞增；所以．∴實數a的最大值為e．故選：D7．(2023·全國·高考真題（理））設函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：設，，問題轉化為存在唯一的整數使得滿足，求導可得出函數的極值，數形結合可得且，由此可得出實數的取值范圍.【詳解】設，，由題意知，函數在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標為整數，，當時，；當時，.所以，函數的最小值為.又，.直線恒過定點且斜率為，故且，解得，故選D.8．(2023·內蒙古·海拉爾第二中學模擬預測（理））已知函數，若對任意實數，不等式總成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：將所求不等式變形為，構造函數，可知該函數在上為增函數，由此可得出，其中，利用導數求出的最大值，即可求得實數的取值范圍.【詳解】當時，由可得，即，構造函數，其中，則，所以，函數在上為增函數，由可得，所以，，即，其中，令，其中，則.當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以，，.故選：D.二、多選題9．(2023·遼寧實驗中學模擬預測）我們把形如的方程稱為微分方程，符合方程的函數稱為微分方程的解，下列函數為微分方程的解的是（

）A． B．C． D．答案：CD【解析】分析：根據導數的運算求得導函數，代入微分方程檢驗即可．【詳解】選項A，，則，，不是解；選項B，，，，是方程的解；選項C，，，，不是方程的解；選項D，，，，是方程的解．故選：CD．10．(2023·河北滄州·二模）已知實數滿足，則（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】分析：A.由得到判斷；BC.由，得到判斷；D.由，得到，令，用導數法判斷.【詳解】由得，又，所以，所以，所以，選項錯誤；因為，所以，即，所以，選項正確，因為，所以，所以.令，則，所以在區間上單調遞增，所以，即，又，所以，即，選項正確.故選：BCD11．(2023·湖南·模擬預測）已知，，且，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】分析：構造函數，利用導數判斷函數的單調性，得出，結合不等式以及指、對數函數的性質逐一判斷即可.【詳解】令，則，所以當時，，所以在上單調遞增；由得，即，∵，∴，∴，即，∴，即，∴，A正確；由知，所以，所以選項B錯誤；由知，所以選項C正確．由，知，所以，所以D錯誤，故選：AC．12．(2023·全國·高考真題）已知函數，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線答案：AC【解析】分析：利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在上單調遞減，在，上單調遞增，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數在上有一個零點，當時，，即函數在上無零點，綜上所述，函數有一個零點，故B錯誤；令，該函數的定義域為，，則是奇函數，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題13．（2023·河南高三其他（理））函數，若，則在的最小值為_______；當時，恒成立，則a的取值范圍是_____.答案：【解析】當時，∵，∴.當時，恒成立，∴在上單調遞增.∴在上最小值為.又時，恒成立，令,,所以在遞增，所以∴恒成立，∴.故答案為；.14．(2023·全國·模擬預測（理））若曲線與僅有1個公共點，則的取值范圍是___________.答案：##【解析】分析：將原問題轉化為只有一個解,令,利用導數求出的單調性及最值即可得答案.【詳解】由題意可得:只有一個解,即只有一個解.令,原問題等價于與只有一個交點.因為因為在上單調遞減,且在處的值為0,所以當時,單調遞增,當時,單調遞減且恒為正,所以,又因為與只有一個交點,所以.故答案為:.15．(2023·福建·高考真題（理））對于實數a和b，定義運算“*”：設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是_________________答案：【解析】【詳解】由定義運算“*”可知即，該函數圖像如下：由，假設當關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根時，m的取值范圍是，且滿足方程，所以令則，所以令所以，又在遞增的函數，所以，所以，所以在遞減，則當時，；當時，所以.16．(2023·江蘇·常州高級中學模擬預測）已知函數，若的解集中恰有一個整數，則m的取值范圍為________．答案：【解析】分析：由且，得出，構造函數，利用導數研究的單調性，畫出和的大致圖象，由圖可知，設為和的交點的橫坐標，結合題意可知該整數為1，即，當直線過和時，即可求出求出的值，從而得出的取值范圍.【詳解】由題可知，，，由于的解集中恰有一個整數，即，即，因為，所以的解集中恰有一個整數，令，則，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，畫出和的大致圖象，如圖所示：要使得，可知，設為和的交點的橫坐標，而的解集中恰有一個整數，可知該整數為1，即，當時，得；當時，得，即，，當直線過點時，得，當直線過點時，得，所以的取值范圍為.故答案為：四、解答題17．(2023·全國·高考真題（文））已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，．答案：（1）切線方程是（2）證明見解析【解析】分析：（1）求導，由導數的幾何意義求出切線方程．（2）當時，,令，只需證明即可．【詳解】（1），．因此曲線在點處的切線方程是．（2）當時，．令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以．因此．18．(2023·全國·高考真題（理））已知函數（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.答案：（1）見解析；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）討論單調性，首先進行求導，發現式子特點后要及時進行因式分解，再對按，進行討論，寫出單調區間；（2）根據第（1）問，若，至多有一個零點.若，當時，取得最小值，求出最小值，根據，，進行討論，可知當時有2個零點.易知在有一個零點；設正整數滿足，則.由于，因此在有一個零點.從而可得的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域為，，（ⅰ）若，則，所以在單調遞減.（ⅱ）若，則由得.當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.（2）（?。┤簦桑?）知，至多有一個零點.（ⅱ）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.①當時，由于，故只有一個零點；②當時，由于，即，故沒有零點；③當時，，即.又，故在有一個零點.設正整數滿足，則.由于，因此在有一個零點.綜上，的取值范圍為.19．(2023·全國·高考真題（文））已知函數.（1）討論的單調性；（2）當時，證明.答案：（1）見解析；（2）見解析.【解析】分析：（1）先求函數導數，再根據導函數符號的變化情況討論單調性：當時，，則在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設g（x）=lnx-x+1，利用導數易得，即得證.【詳解】（1）的定義域為（0，+），.若a≥0，則當x∈（0，+）時，，故f（x）在（0，+）單調遞增.若a＜0，則當時，時；當x∈時，.故f（x）在單調遞增，在單調遞減.（2）由（1）知，當a＜0時，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價于，即.設g（x）=lnx-x+1，則.當x∈（0,1）時，；當x∈（1，+）時，.所以g（x）在（0,1）單調遞增，在（1，+）單調遞減.故當x=1時，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當x＞0時，g（x）≤0.從而當a＜0時，，即.20．(2023·全國·高考真題（文））設函數．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）證明當時，；（Ⅲ）設，證明當時，.答案：（Ⅰ）當時，單調遞增；當時，單調遞減；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析．【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）首先求出導函數，然后通過解不等式或可確定函數的單調性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的結論證明，右端將左端的換為即可證明；（Ⅲ）變形所證不等式，構造新函數，然后通過利用導數研究函數的單調性來處理．試題解析：（Ⅰ）由題設，的定義域為，，令，解得.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為.所以當時，.故當時，，，即.（Ⅲ）由題設，設，則，令，解得.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.由（Ⅱ）知，，故，又，故當時，.所以當時，.21．(2023·全國·高考真題（理））設函數．（1）證明：在單調遞減，在單調遞增；（2）若對于任意，都有，求m的取值范圍．答案：（1）在單調遞減，在單調遞增；（2）.【解析】【詳解】（Ⅰ）．若，則當時，，；當時，，．若，則當時，，；當時，，．所以，在單調遞減，在單調遞增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意的，在單調遞減，在單調遞增，故在處取得最小值．所以對于任意，的充要條件是：即①，設函數，則．當時，；