Page22高二數學月考試卷一、單選題1.關于x的方程，有唯一解，則實數的取值范圍是（）A.或 B.或或C.或或 D.或【答案】B【解析】【分析】轉化為半圓與直線有唯一交點的問題，然后作圖可解.【詳解】方程有唯一解，等價于與的圖象有唯一交點，表示半圓，當直線與圓相切時，，解得，當直線分別過點和時，分別為和，由圖可知，實數的取值范圍為或或.故選：B2.求過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先計算出兩圓的交點所在直線，進而求出線段的垂直平分線，與聯立求出圓心坐標，再求出半徑，寫出圓的標準方程，從而求出圓的一般方程.【詳解】與相減得：，將代入得：，即，設兩圓和的交點為，則，，則，不妨設，所以線段的中點坐標為，因為直線的斜率為1，所以線段的垂直平分線的斜率為-1，所以線段的垂直平分線為，與聯立得：，故圓心坐標為，半徑，所以圓的方程為，整理得：故選：D3.已知橢圓：的兩個焦點為，，過的直線與交于A，B兩點.若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件以及橢圓的定義,將,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.【詳解】設,則,.由橢圓的定義可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：,所以故選：C4.已知橢圓C：的離心率為，直線l：交橢圓C于A，B兩點，點D在橢圓C上（與點A，B不重合）．若直線AD，BD的斜率分別為，，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨假設，，則可求，將B，D代入橢圓，然后兩式進行相減可得，整理出，代入之后再結合基本不等式即可求出答案【詳解】解：設，，則．∵點B，D都在橢圓C上，∴兩式相減，得．∴，即．∴．當且僅當時取“=”．故選：B．5.過橢圓：右焦點的直線：交于，兩點，為的中點，且的斜率為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由與x軸交點橫坐標可得半焦距c，設出點A，B坐標，利用點差法求出的關系即可計算作答.【詳解】依題意，焦點，即橢圓C的半焦距，設，，則有，兩式相減得：，而，且，即有，又直線的斜率，因此有，而，解得，閱歷證符合題意，所以橢圓的方程為.故選：A6.在一個半圓中有兩個互切的內切半圓，由三個半圓弧圍成“曲線三角形”，作兩個內切半圓的公切線把“曲線三角形”分隔成兩塊，且被分隔的這兩塊中的內切圓是同樣大小的，如圖，若，則陰影部分與最大半圓的面積比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，則，，建立直角坐標系，依據已知條件求出各點坐標，由圓O與圓內切，解得，由圓O與圓內切，解得，分別求出陰影部分與最大半圓的面積，即可求出答案.【詳解】設，則，，以C為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，則C（0，0），，，．設，，則（圓，外切與勾股定理結合），得，所以．由圓O與圓內切，得，解得．同理（圓，外切與勾股定理結合），得，由圓O與圓內切，得，解得．設陰影部分的面積為，最大半圓的面積為，，所以．故選：B.7.已知過點的動直線l與圓C：交于A，B兩點，過A，B分別作C的切線，兩切線交于點N．若動點，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】先推斷出四點在以為直徑的圓上，求出該圓方程，進而求得方程，由點在直線上得出點軌跡為，又在圓上，進而將的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑，即可求解.【詳解】易得圓心，半徑為4，如圖，連接，則，則四點在以為直徑的圓上，設，則該圓的圓心為，半徑為，圓的方程為，又該圓和圓的交點弦即為，故，整理得，又點在直線上，故，即點軌跡為，又在圓上，故的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.故選：B.8.已知橢圓的右焦點和上頂點分別為點和點，直線交橢圓于兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題設，利用為的重心，求出線段的中點為，將B代入直線方程得，再利用點差法可得，結合，可求出，進而求出離心率.【詳解】由題設，則線段的中點為，由三角形重心的性質知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點，則，又橢圓上兩點，，以上兩式相減得，所以，化簡得②由①②及，解得：，即離心率.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種狀況：①干脆求出，從而求出；②構造的齊次式，求出；③接受離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④依據圓錐曲線的統確定義求解．二、多選題9.下列四個命題中真命題有（）A.直線在軸上的截距為-2B.經過定點的直線都可以用方程表示C.直線必過定點D.已知直線與直線平行，則平行線間的距離是1【答案】AC【解析】【分析】依據截距的定義，點斜式的應用，直線恒過定點的求解以及由直線平行求參數和兩平行線間的距離公式，對每個選項進行逐一分析，即可推斷和選擇.【詳解】對直線方程，令解得，故該直線在軸上的截距為，故A正確；經過點的直線若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，則無法用表示，故B錯誤，當時，可整理為：，恒過定點；當時，即為，過點；故直線必過定點，C正確，直線與直線平行，則，此時即，也即，則兩平行線間的距離，故D錯誤.綜上所述，正確的選項是：.故選：.10.（多選）已知在平面直角坐標系中，點，，點P為一動點，且，則下列說法中正確的是（）A.當時，點P的軌跡不存在B.當時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為3C.當時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為6D.當時，點P的軌跡是以AB為直徑的圓【答案】AC【解析】【分析】依據兩點間的距離與到兩點間距離和滿意的條件，結合橢圓的定義逐個選項分析即可.【詳解】對A，，故點P的軌跡不存在，A正確；對BC，，故點P的軌跡是橢圓，且焦距為，故B錯誤，C正確；對D，，故點P的軌跡為線段AB，D錯誤.故選：AC11.橢圓的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，若方程所表示的直線恒過定點M，點Q在以點M為圓心，C的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是（）A.橢圓C的離心率為 B.的最大值為4C.的面積可能為2 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】A：依據橢圓方程可干脆求得，，，和離心率；B：由橢圓的定義可得，結合不等式代入運算；C：點P位于橢圓的上、下頂點時，的面積取得最大，計算推斷；D：利用橢圓定義和圓的性質轉化處理．【詳解】對于選項A，由橢圓C的方程知，，，所以離心率，故選項A正確；對于選項B，由橢圓的定義可得，所以，即的最大值為4，故選項B正確；對于選項C，當點P位于橢圓的上、下頂點時，的面積取得最大值，故選項C錯誤；對于選項D，易知，則圓，所以，故選項D正確，故選：ABD．12.如圖，已知橢圓，，分別為左、右頂點，，分別為上、下頂點，，分別為左、右焦點，為橢圓上一點，則下列條件中能使得橢圓的離心率為的有（）A.B.C.軸，且D.四邊形的內切圓過焦點，【答案】BD【解析】【分析】由已知結合兩點之間的距離公式知，進而推斷A；由已知結合勾股定理構造齊次式計算離心率可推斷B；由已知結合兩點連線的斜率公式可得，進而求得離心率推斷C；由已知可知四邊形的內切圓的半徑為c，利用等面積法及構造齊次式可推斷D.【詳解】由橢圓，可得，，對于A，，即，化簡得，即，不符合題意，故A錯誤；對于B，，則，即，化簡得，即有，解得（舍去），符合題意，故B正確；對于C，軸，且，所以，由，可得，解得，又，所以，不符合題意，故C錯誤；對于D，四邊形的內切圓過焦點，，即四邊形的內切圓的半徑為c，則，結合，即，解得（舍去）或即，符合題意，故D正確；故選：BD三、填空題13.經過點且在兩坐標軸上的截距確定值相等的直線方程為______．【答案】或或【解析】【分析】探討截距是否為0，結合截距式及點在直線上求直線方程即可.【詳解】若截距都為0，即直線過原點，則直線方程為；若截距不為0，令直線為或，當，則，故直線方程為；當，則，故直線方程為；綜上，直線方程為或或.故答案為：或或14.若橢圓的焦距為6，則k的值為______．【答案】31或49##49或31【解析】【分析】探討橢圓焦點的位置，然后依據焦距，列等式求.【詳解】因為橢圓的焦距為6，所以c＝3．當橢圓的焦點在x軸上時，因為，，所以，解得k＝31；當橢圓的焦點在y軸上時，因為，，所以，解得k＝49．綜上所述，k的值為31或49．故答案為：31或4915.已知直線，則當實數___________時，.【答案】【解析】【分析】依據兩直線平行的條件列方程求解的值即可.【詳解】若，則，解得或，當時，和重合，舍去，所以.故答案：.16.已知為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓交于兩點，為的中點，為坐標原點.若△是以為底邊的等腰三角形，且△外接圓的面積為，則橢圓的長軸長為___________.【答案】【解析】【分析】由外接圓面積求半徑，應用正弦定理求△中的，結合已知有，依據中點弦，應用點差法有即可求橢圓的長軸長.【詳解】由△外接圓的面積為，則其外接圓半徑為.∵△是以為底邊的等腰三角形，設，則，∴，得，∴或.不妨設點在軸下方，由△是以為底邊的等腰三角形，知：或又依據點差法可得，有，而此時焦點在軸上，舍去)∵為橢圓的右焦點，∴，故橢圓的長軸長為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：利用外接圓的面積求半徑，由正弦定理、等腰三角形的性質求相關直線斜率，應用點差法列方程求橢圓參數a.四、解答題17.橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為，且經過點．（1）求滿意條件的橢圓方程；（2）求該橢圓的長半軸的長、頂點坐標和離心率．【答案】（1）（2）長半軸的長為，頂點坐標為、、、，離心率為．【解析】【分析】（1）利用待定系數法，列方程組求解橢圓方程；（2）依據橢圓的幾何性質求解.【小問1詳解】設橢圓的標準方程為，則所以橢圓的標準方程為【小問2詳解】由（1）知，橢圓的長半軸長為，頂點坐標為、、、，離心率.18.已知圓過點，，且圓心在直線：上.（1）若從點發出的光線經過直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線的一般方程.（2）若點在直線上運動，求的最小值.【答案】（1）（2）20【解析】【分析】（1）依據點關于線的對稱，求解，由幾何法求圓心坐標，進而依據兩點坐標即可求解直線方程，（2）依據兩點間距離公式，結合二次函數的性質即可求解.【小問1詳解】點關于直線的對稱點，解得，所以，由于圓過點，，因為圓心在直線：：上，垂直平分線的方程為，聯立與得圓的圓心：則反射光線必經過點和點，，由點斜式得為：，：，【小問2詳解】設點，則，則又，故當時，的最小值為20．19.如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，分別是棱的中點.（1）求證:平面;（2）若，求二面角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明是平行四邊形，所以有，從而依據線線平行得到線面平行.（2）先證明，從而得到是二面角的平面角，再依據線段數量關系求正切值即可.小問1詳解】證明:取中點，如圖所示.分別為中點，，且，又是平行四邊形，，且，所以，且，所以是平行四邊形，所以，因為平面平面，所以平面.【小問2詳解】因為，所以，因為，且平面平面，所以平面.取中點，（如上圖），因為，所以，因為平面平面，所以，而平面，所以平面平面，所以，所以是二面角的平面角.設，因為，所以，所以.20.已知圓，圓，動圓與圓內切，與圓外切.為坐標原點.（1）若求圓心的軌跡的方程.（2）若直線與曲線交于、兩點，求面積的最大值，以及取得最大值時直線的方程.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）設動圓的半徑為，由圓與圓的位置關系分析可得，由橢圓的定義分析可得軌跡是以，為焦點的橢圓，由橢圓的定義分析可得軌跡的方程，即可得答案；（2）設，，聯立直線與橢圓的方程可得，利用根與系數的關系可以表示的值，進而可以表示面積，由基本不等式的性質分析可得答案．【小問1詳解】解：設動圓的半徑為，依題意有，，．所以軌跡是以，為焦點的橢圓，且，，所以，當點坐標為橢圓右頂點時，不符合題意，舍去．所以軌跡的方程．【小問2詳解】解：設，，聯立直線與橢圓的方程，可得，所以，，，得，設原點到直線的距離為，所以，所以，令，則，所以，當且僅當時，等號成立，即當時，面積取得最大值，此時直線方程為．21.已知橢圓：的右焦點為，圓：，過且垂直于軸的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為和.（1）求的方程；（2）過圓上一點（不在坐標軸上）作的兩條切線，，記，的斜率分別為，，直線的斜率為，證明：為定值.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）由已知條件列方程組，結合，解出，可得橢圓的方程；（2）設，且滿意圓的方程，設出過點與橢圓相切的直線方程，與橢圓方程聯立，利用得出關于的一元二次方程，由韋達定理得出，進而可求出為定值．【小問1詳解】設橢圓的半焦距為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長分別為，則；過且垂直于軸的直線被圓所截得的弦長分別為，則，又，解得，所以的方程為.【小問2詳解】設，則.①設過點與橢圓相切的直線方程為，聯立得，則，整理得.②由題意知，為方程②的兩根，由根與系數的關系及①可得.又因為，所以，所以為定值．22.在平面直角坐標系xOy中，①已知點，G是圓E：上一個動點，線段HG的垂直平分線交GE于點P；