Page22高二數(shù)學(xué)月考試卷一、單選題1.關(guān)于x的方程，有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或或C.或或 D.或【答案】B【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為半圓與直線有唯一交點(diǎn)的問題，然后作圖可解.【詳解】方程有唯一解，等價于與的圖象有唯一交點(diǎn)，表示半圓，當(dāng)直線與圓相切時，，解得，當(dāng)直線分別過點(diǎn)和時，分別為和，由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為或或.故選：B2.求過兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先計算出兩圓的交點(diǎn)所在直線，進(jìn)而求出線段的垂直平分線，與聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓的一般方程.【詳解】與相減得：，將代入得：，即，設(shè)兩圓和的交點(diǎn)為，則，，則，不妨設(shè)，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因為直線的斜率為1，所以線段的垂直平分線的斜率為-1，所以線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得：，故圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓的方程為，整理得：故選：D3.已知橢圓：的兩個焦點(diǎn)為，，過的直線與交于A，B兩點(diǎn).若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件以及橢圓的定義,將,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.【詳解】設(shè),則,.由橢圓的定義可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：,所以故選：C4.已知橢圓C：的離心率為，直線l：交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在橢圓C上（與點(diǎn)A，B不重合）．若直線AD，BD的斜率分別為，，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨假設(shè)，，則可求，將B，D代入橢圓，然后兩式進(jìn)行相減可得，整理出，代入之后再結(jié)合基本不等式即可求出答案【詳解】解：設(shè)，，則．∵點(diǎn)B，D都在橢圓C上，∴兩式相減，得．∴，即．∴．當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”．故選：B．5.過橢圓：右焦點(diǎn)的直線：交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)可得半焦距c，設(shè)出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求出的關(guān)系即可計算作答.【詳解】依題意，焦點(diǎn)，即橢圓C的半焦距，設(shè)，，則有，兩式相減得：，而，且，即有，又直線的斜率，因此有，而，解得，閱歷證符合題意，所以橢圓的方程為.故選：A6.在一個半圓中有兩個互切的內(nèi)切半圓，由三個半圓弧圍成“曲線三角形”，作兩個內(nèi)切半圓的公切線把“曲線三角形”分隔成兩塊，且被分隔的這兩塊中的內(nèi)切圓是同樣大小的，如圖，若，則陰影部分與最大半圓的面積比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，，建立直角坐標(biāo)系，依據(jù)已知條件求出各點(diǎn)坐標(biāo)，由圓O與圓內(nèi)切，解得，由圓O與圓內(nèi)切，解得，分別求出陰影部分與最大半圓的面積，即可求出答案.【詳解】設(shè)，則，，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則C（0，0），，，．設(shè)，，則（圓，外切與勾股定理結(jié)合），得，所以．由圓O與圓內(nèi)切，得，解得．同理（圓，外切與勾股定理結(jié)合），得，由圓O與圓內(nèi)切，得，解得．設(shè)陰影部分的面積為，最大半圓的面積為，，所以．故選：B.7.已知過點(diǎn)的動直線l與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作C的切線，兩切線交于點(diǎn)N．若動點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】先推斷出四點(diǎn)在以為直徑的圓上，求出該圓方程，進(jìn)而求得方程，由點(diǎn)在直線上得出點(diǎn)軌跡為，又在圓上，進(jìn)而將的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑，即可求解.【詳解】易得圓心，半徑為4，如圖，連接，則，則四點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)，則該圓的圓心為，半徑為，圓的方程為，又該圓和圓的交點(diǎn)弦即為，故，整理得，又點(diǎn)在直線上，故，即點(diǎn)軌跡為，又在圓上，故的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.故選：B.8.已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)，利用為的重心，求出線段的中點(diǎn)為，將B代入直線方程得，再利用點(diǎn)差法可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點(diǎn)，則，又橢圓上兩點(diǎn)，，以上兩式相減得，所以，化簡得②由①②及，解得：，即離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種狀況：①干脆求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③接受離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④依據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)確定義求解．二、多選題9.下列四個命題中真命題有（）A.直線在軸上的截距為-2B.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C.直線必過定點(diǎn)D.已知直線與直線平行，則平行線間的距離是1【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)截距的定義，點(diǎn)斜式的應(yīng)用，直線恒過定點(diǎn)的求解以及由直線平行求參數(shù)和兩平行線間的距離公式，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可推斷和選擇.【詳解】對直線方程，令解得，故該直線在軸上的截距為，故A正確；經(jīng)過點(diǎn)的直線若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，則無法用表示，故B錯誤，當(dāng)時，可整理為：，恒過定點(diǎn)；當(dāng)時，即為，過點(diǎn)；故直線必過定點(diǎn)，C正確，直線與直線平行，則，此時即，也即，則兩平行線間的距離，故D錯誤.綜上所述，正確的選項是：.故選：.10.（多選）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)P為一動點(diǎn)，且，則下列說法中正確的是（）A.當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡不存在B.當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為3C.當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為6D.當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)兩點(diǎn)間的距離與到兩點(diǎn)間距離和滿意的條件，結(jié)合橢圓的定義逐個選項分析即可.【詳解】對A，，故點(diǎn)P的軌跡不存在，A正確；對BC，，故點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為，故B錯誤，C正確；對D，，故點(diǎn)P的軌跡為線段AB，D錯誤.故選：AC11.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，若方程所表示的直線恒過定點(diǎn)M，點(diǎn)Q在以點(diǎn)M為圓心，C的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是（）A.橢圓C的離心率為 B.的最大值為4C.的面積可能為2 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】A：依據(jù)橢圓方程可干脆求得，，，和離心率；B：由橢圓的定義可得，結(jié)合不等式代入運(yùn)算；C：點(diǎn)P位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時，的面積取得最大，計算推斷；D：利用橢圓定義和圓的性質(zhì)轉(zhuǎn)化處理．【詳解】對于選項A，由橢圓C的方程知，，，所以離心率，故選項A正確；對于選項B，由橢圓的定義可得，所以，即的最大值為4，故選項B正確；對于選項C，當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時，的面積取得最大值，故選項C錯誤；對于選項D，易知，則圓，所以，故選項D正確，故選：ABD．12.如圖，已知橢圓，，分別為左、右頂點(diǎn)，，分別為上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則下列條件中能使得橢圓的離心率為的有（）A.B.C.軸，且D.四邊形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)，【答案】BD【解析】【分析】由已知結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式知，進(jìn)而推斷A；由已知結(jié)合勾股定理構(gòu)造齊次式計算離心率可推斷B；由已知結(jié)合兩點(diǎn)連線的斜率公式可得，進(jìn)而求得離心率推斷C；由已知可知四邊形的內(nèi)切圓的半徑為c，利用等面積法及構(gòu)造齊次式可推斷D.【詳解】由橢圓，可得，，對于A，，即，化簡得，即，不符合題意，故A錯誤；對于B，，則，即，化簡得，即有，解得（舍去），符合題意，故B正確；對于C，軸，且，所以，由，可得，解得，又，所以，不符合題意，故C錯誤；對于D，四邊形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)，，即四邊形的內(nèi)切圓的半徑為c，則，結(jié)合，即，解得（舍去）或即，符合題意，故D正確；故選：BD三、填空題13.經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距確定值相等的直線方程為______．【答案】或或【解析】【分析】探討截距是否為0，結(jié)合截距式及點(diǎn)在直線上求直線方程即可.【詳解】若截距都為0，即直線過原點(diǎn)，則直線方程為；若截距不為0，令直線為或，當(dāng)，則，故直線方程為；當(dāng)，則，故直線方程為；綜上，直線方程為或或.故答案為：或或14.若橢圓的焦距為6，則k的值為______．【答案】31或49##49或31【解析】【分析】探討橢圓焦點(diǎn)的位置，然后依據(jù)焦距，列等式求.【詳解】因為橢圓的焦距為6，所以c＝3．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時，因為，，所以，解得k＝31；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時，因為，，所以，解得k＝49．綜上所述，k的值為31或49．故答案為：31或4915.已知直線，則當(dāng)實(shí)數(shù)___________時，.【答案】【解析】【分析】依據(jù)兩直線平行的條件列方程求解的值即可.【詳解】若，則，解得或，當(dāng)時，和重合，舍去，所以.故答案：.16.已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若△是以為底邊的等腰三角形，且△外接圓的面積為，則橢圓的長軸長為___________.【答案】【解析】【分析】由外接圓面積求半徑，應(yīng)用正弦定理求△中的，結(jié)合已知有，依據(jù)中點(diǎn)弦，應(yīng)用點(diǎn)差法有即可求橢圓的長軸長.【詳解】由△外接圓的面積為，則其外接圓半徑為.∵△是以為底邊的等腰三角形，設(shè)，則，∴，得，∴或.不妨設(shè)點(diǎn)在軸下方，由△是以為底邊的等腰三角形，知：或又依據(jù)點(diǎn)差法可得，有，而此時焦點(diǎn)在軸上，舍去)∵為橢圓的右焦點(diǎn)，∴，故橢圓的長軸長為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用外接圓的面積求半徑，由正弦定理、等腰三角形的性質(zhì)求相關(guān)直線斜率，應(yīng)用點(diǎn)差法列方程求橢圓參數(shù)a.四、解答題17.橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求滿意條件的橢圓方程；（2）求該橢圓的長半軸的長、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率．【答案】（1）（2）長半軸的長為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、、，離心率為．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，列方程組求解橢圓方程；（2）依據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解.【小問1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】由（1）知，橢圓的長半軸長為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、、，離心率.18.已知圓過點(diǎn)，，且圓心在直線：上.（1）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線的一般方程.（2）若點(diǎn)在直線上運(yùn)動，求的最小值.【答案】（1）（2）20【解析】【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)關(guān)于線的對稱，求解，由幾何法求圓心坐標(biāo)，進(jìn)而依據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解直線方程，（2）依據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，解得，所以，由于圓過點(diǎn)，，因為圓心在直線：：上，垂直平分線的方程為，聯(lián)立與得圓的圓心：則反射光線必經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，，由點(diǎn)斜式得為：，：，【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，則，則又，故當(dāng)時，的最小值為20．19.如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，分別是棱的中點(diǎn).（1）求證:平面;（2）若，求二面角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明是平行四邊形，所以有，從而依據(jù)線線平行得到線面平行.（2）先證明，從而得到是二面角的平面角，再依據(jù)線段數(shù)量關(guān)系求正切值即可.小問1詳解】證明:取中點(diǎn)，如圖所示.分別為中點(diǎn)，，且，又是平行四邊形，，且，所以，且，所以是平行四邊形，所以，因為平面平面，所以平面.【小問2詳解】因為，所以，因為，且平面平面，所以平面.取中點(diǎn)，（如上圖），因為，所以，因為平面平面，所以，而平面，所以平面平面，所以，所以是二面角的平面角.設(shè)，因為，所以，所以.20.已知圓，圓，動圓與圓內(nèi)切，與圓外切.為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若求圓心的軌跡的方程.（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，以及取得最大值時直線的方程.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）設(shè)動圓的半徑為，由圓與圓的位置關(guān)系分析可得，由橢圓的定義分析可得軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，由橢圓的定義分析可得軌跡的方程，即可得答案；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以表示的值，進(jìn)而可以表示面積，由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．【小問1詳解】解：設(shè)動圓的半徑為，依題意有，，．所以軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為橢圓右頂點(diǎn)時，不符合題意，舍去．所以軌跡的方程．【小問2詳解】解：設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，所以，，，得，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即當(dāng)時，面積取得最大值，此時直線方程為．21.已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，圓：，過且垂直于軸的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為和.（1）求的方程；（2）過圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，，記，的斜率分別為，，直線的斜率為，證明：為定值.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）由已知條件列方程組，結(jié)合，解出，可得橢圓的方程；（2）設(shè)，且滿意圓的方程，設(shè)出過點(diǎn)與橢圓相切的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用得出關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得出，進(jìn)而可求出為定值．【小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長分別為，則；過且垂直于軸的直線被圓所截得的弦長分別為，則，又，解得，所以的方程為.【小問2詳解】設(shè)，則.①設(shè)過點(diǎn)與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立得，則，整理得.②由題意知，為方程②的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系及①可得.又因為，所以，所以為定值．22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，①已知點(diǎn)，G是圓E：上一個動點(diǎn)，線段HG的垂直平分線交GE于點(diǎn)P；