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文檔簡介

微專題函數的值域函數的值域是函數概念中的三要素之一，是高考題中的常考內容，與其他知識聯系緊密，貫穿整個高中數學的始終．解答與函數值域有關的問題，首先要掌握一些簡單函數的值域求解的基本方法，然后要關注在其他知識中涉及值域的內容，不斷豐富解題方法．類型一配方法【例1】求函數f(x)＝4x－3×2x+1＋1(0≤x≤2)的值域．解：f(x)＝4x－3×2x+1＋1＝(2x)2－6×2x＋1＝(2x－3)2－8.因為0≤x≤2，所以1≤2x≤4.所以當2x＝3時，函數f(x)取得最小值－8；當2x＝1時，函數f(x)取得最大值－4，所以函數f(x)的值域為[－8，－4].配方法主要用于和一元二次函數有關的函數求值域問題，并且往往需結合函數圖象求值域．類型二單調性法【例2】函數f(x)＝x2＋1x(x≤－1)的值域是[0，＋∞)解析：函數y＝x2和y＝1x在(－∞，－1]上都單調遞減，所以f(x)min＝f(－1)＝0，且當x趨向于－∞時，f(x)趨向于＋∞，所以函數f(x)的值域為[0，＋∞單調性法是求函數值域的常用方法，就是利用我們所學的基本初等函數的單調性，再根據所給定義域來確定函數的值域．類型三數形結合法【例3】(2024·哈爾濱模擬)求函數f(x)＝x2解：作出函數y＝f(x)的圖象如圖所示．因為f(－1)＝f(1)＝－4，f(－2)＝－3，f(3)＝0，f(0)＝－3，所以函數f(x)的最大值、最小值分別為0和－4，即函數f(x)的值域為[－4，0].對于一些函數(如二次函數、分段函數等)的求值域問題，我們可以借助形象直觀的函數圖象來觀察其函數值的變化情況，再有的放矢地通過函數解析式求函數最值，確定函數的值域．用數形結合法，可以使運算過程大大簡化．類型四換元法【例4】求f(x)＝x＋1-x的值域．解：令1-x＝t≥0，則x＝1－t2(t≥0)，所以f(x)＝g(t)＝1－t2＋t＝－t-122＋54≤54，所以函數f(引入新變量，使原函數轉化成關于新變量的函數，使問題得以解決．用換元法求函數值域時，必須確定新變量的取值范圍，它是新函數的定義域．類型五反解法【例5】求函數y＝x-3x+1解：函數y＝x-3x+1可化為x＝y+3可得y≠1，所以原函數的值域為{y∈R|y≠1}．就是用y來表示x，利用其變形形式求得原函數的值域．類型六分離常數法【例6】求函數y＝2x解：y＝2x2x+1＝因為2x>0，所以2x＋1>1，所以0<12x+1所以0<1－12所以函數的值域為(0，1)．對于分子、分母同次的分式形式的函數求值域問題，因為分子、分母都有變量，利用函數單調性確定其值域較困難，因此，我們可以采用湊

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