高等數學3.柯西收斂準則：數列{xn}收斂的充要條件是：對于任意給定的正數ε，都存在正整數N，使得當m，n>N時，有|xm-xn|<ε。1.3函數的極限性質：極限唯一性，局部有界性，局部保序性。判別法則：1.夾逼法則：若limf(x)=limh(x)=A，且存在x0的某一去心鄰域和差角公式和差化積公式sin(a±b)=sinacosb±cosasinbsina+sinb=2sina+bcosa-bx?x0oox?x0cos(a±b)=cosacosbb22a+ba-bU(x0,d)，使得"x?U(x0,d)，均有f(x)≤g(x)≤h(x)，則limg(x)=A。x?x0sinasintg(a±b)=tga±tgbsina-sinb=2cossin222.單調收斂原理：單調有界函數必收斂。tgatgb1×a+ba-b3.柯西收斂準則：函數f(x)收斂的充要條件是：?ε>0,?>0,?x’,x’’∈o,U(x0,d)ctg(a±b)=ctga×ctgbcosa+cosb=2coscos22ctgb±ctgacosa-cosb=-2sina+bsina-b22有|f(x’)-f(x’’)|<ε。4.海涅(Heine)歸結原則：limf(x)=A的充要條件是：對于任何滿足1積化和差公式倍角公式sin2a=2sinacosa=2tana1+tan2ax?x0limxn=x0的數列{xn}，都有limf(xn)=A。sinacosb=1[sin(a+b)+sin(a-b)]2cos2a=2cos2a-1=1-2sin2a1-tan2an?￥n?￥歸結原則對于驗證函數在某點沒有極限是較方便的，例如可以挑選一個cosasinb=1[sin(a+b)-sin(a-b)]2=cos2a-sin2a=1+tan2a2收斂于該點的自變量x的數列{xn}，而相應的函數值數列{f(xn)}卻不收斂；或者選出兩個收斂于該點的數列{xn},{x’n}，而相應的函數值數列{f(xn)},{f(xn)}卻具有不同的極限。cosacosb=1[cos(a+b)+cos(a-b)]tg2a=22tga1-tg2actg2a=ctga-12ctga1.4無窮小與無窮大1sin3a=3sina-4sin3asinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]ì=02cos3a=4cos3a-3cosa若lima(x)=l，當?時，則稱x→x0時稱α(x)是β(x)的tg3a=3tga-tg3a1-3tg2ax?x0b(x)lí10?=1?半角公式sina=±1-cosacosa=±1+cosaì高階無窮小，記作a(x)=o(b(x))?í同階無窮小，記作a(x)=O(b(x))?2222?等階無窮小，記作a(x)~b(x)tga=±1-cosa=1-cosa=sina常用等價無窮小21+cosasina1+cosasinxtanxarcsinxarctanxex-1ln(1+x)~xctga=±1+cosa=1+cosa=sina121-cosasina1-cosa1-cosx~x2(1+x)a-1~axax-1~xlna21f(0)x2V=SHV=1SHV=1H(S+SS￠+S￠)棱柱棱錐3棱臺3若f(x=0),f’(0)≠0,則òxf(t)dt￠2球的表面積：4πR2球的體積：43第1章極限與連續1.1集合、映射、函數pR3橢圓面積：πab橢球的體積：43pabc0擬定等價無窮小的方法：1.洛必達法則，2.泰勒公式1.5連續函數極限存在?左右極限存在且相等。連續?左右極限存在且相等，且等于該點函數值。簡斷點：1.第一類間斷點，左右極限不相等，或相等但不等于該點函數值；2.左右極限至少有一個不存在。空集，子集，有限集，無限集，可列集，積集，區間，鄰域，上界，下界，上有界集，下有界集，無界集，上確界，下確界確界存在定理：凡有上(下)界的非空數集必有有限的上(下)確界。映射，象，原象，定義域，值域，滿映射，單映射，雙射，函數，自變量，因變量，基本初等函數1.2數列的極限性質：1.（唯一性）收斂數列的極限必唯一。2.（有界性）收斂數列必為有界數列。3.（子列不變性）若數列收斂于a，則其任何子列也收斂于a。注1.一個數列有若干子列收斂且收斂于一個數，仍不能保證原數列收斂。閉區間上連續函數的性質：有界性，最值性，介值性，零點存在定理。1.6常見題型求極限的方法：1.四則運算；2.換元和兩個重要極限；3.等價無窮小替換；4.泰勒公式；5.洛必達法則；6.運用函數極限求數列極限；7.放縮法；求極限limxn,就要將數列xn放大與縮小成：zn≤xn≤yn.n?￥8.求遞歸數列的極限注2.若數列{xn}有兩個子列{xp},{xq}均收斂于a，且這兩個子列合起來就是原數列，則原數列也收斂于a。注3.性質3提供了證明了某數列發散的方法，即用其逆否命題：若能從該數列中選出兩個具有不同極限的子列，則該數列必發散。4.（對有限變動的不變性）若數列{xn}收斂于a，則改變{xn}中的有限項所得到的新數列仍收斂于a。(1)先證遞歸數列{an}收斂（常用單調收斂原理），然后設limxnn?￥歸方程an+1=f(an)取極限得A=f(A),最后解出A即可。=A,再對遞5.（保序性）若limx=a,limy=b，且a<b，則存在N，當n>N時，有(2)先設limxn=A，對遞歸方程取極限后解得A，再用某種方法證明xn<yn。判別法則：n?￥nn?￥nn?￥liman=A。n?￥1.夾逼法則：若?N,當n>N時，xn≤yn≤zn，且limxn=limzn=a,則limyn=a。第2章導數與微分2.單調收斂原理：單調有界數列必收斂。注：任何有界的數列必存在收斂的子數列。n?+￥n?+￥n?+￥2.1求導法則和求導公式求導法則：1.四則運算法則[αu(x)+βv(x)]’=αu’(x)+βv’(x)[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)[u(x)]￠=u￠(x)v(x)-u(x)v￠(x)第3章中值定理和泰勒公式3.1中值定理v(x)2.復合函數求導v2(x)費馬定理：若是x0是f(x)的一個極值點，且f’(x0)存在，則必有f’(x0)=0(可微函數的極值點必為駐點)，1.羅爾定理：若函數f(x)滿足以下條件；(i)在閉區間[a,b]上連續；(ii)在開區間(f[j(x)])￠=f￠[j(x)]j￠(x)關鍵在于區分哪些是中間變量，哪些是自變量(a,b)內可導；(iii)f(a)=f(b)，則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得f’(ξ)=0.2.拉格朗日定理：若函數f(x)滿足以下條件；(i)在閉區間[a,b]上連續；(ii)在開區間(a,b)內可導，則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得3.反函數求導4.隱函數求導5.參數式求導[f-1(y)￠]=1f￠(x)f(b)-f(a)=f￠(x).b-a3.柯西定理：若函數f(x)和g(x)滿足以下條件；(i)在閉區間[a,b]上連續；(ii)在開區間(a,b)內可導；(iii)?x∈(a,b),g’(x)≠0，則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得ìx=x(t)dyy￠(t)d2yy￠￠(t)x￠(t)-y￠(t)x￠￠(t)f(b)-f(a)=f￠(x)í,=,=?y=y(t)dxx￠(t)6.對數求導法7.分段函數求導dx2[x￠(t)]33.2泰勒公式g(b)-g(a)g￠(x)(1)按求導法則求連接點處的左右導數設ìg(x),x-d<x￡x0f(x)=,若g￠(x)=h￠(x)=A,則f￠(x)=A.求泰勒公式的方法：1.泰勒公式（拉格朗日余項）：f(x)=nf(k)(x)0(x-x)+f(n+1)(x)(x-x)íh(x),x<x￡x+d-0+00?k=0kn+1k!0(n+1)!0?02.常用麥克勞林公式（帶拉格朗日余項）(2)按定義求連接點處的左右導數xx2+(-1)nex=1+++nxn+1eqx+x+n!設ìg(x),x-d<x<x0g(x)與f(x)在點x處無定義，1!2!(n+1)!352n-12n+1f(x)=?A,x=x,0x=x-x+x+-1x+-nxqxí0可按定義求g￠(x)與h￠(x)sin3!5!(2n-1)!(1)cos(2n+1)!?h(x),x<x￡x+d-0+0?0242n2n+2cosx=1-x+x+x+(-1)n+1xcosqx+(-1)n(3)對于(1)f￠(x)很復雜，按定義求,f￠(x)=limf(x)-f(x0)2!4!(2n)!(2n+2)!ìg(x),x1x00x?xx-xx2x3xnxn+1f(x)=í?A,x=x0,00(2)否則，先求出f￠(x)，再求limf￠(x)x?x0ln(1+x)=x-++-123+(-1)nn(n+1)(1+qx)n+1+(-1)n8.變限積分求導(1+x)a=?a?+?a?x+?a?x2+n+?a?xn+1(1+qx)a-(n+1)y=òj(x)dyf(t)dt,=f(j(x))j￠(x)-f(y(x))y￠(x)?÷?÷?÷?÷012n+1è?è?è?è?è??a?+?÷xny(x)dx12nnn+1n+1-1-(n+1)求導公式：1+x1=1-x+x+...+(-1)x+(-1)x(1+qx)(C)￠=0(xm)￠=mxm-1(sinx)￠=cosx(cosx)￠=-sinx(arcsinx)￠=11-x21-x=1+x+x2+...+xn+xn+1(1+qx)-1-(n+1)n1(ax)￠=axlna(tanx)￠=sec2x(ctgx)￠=-csc2x(arccosx)￠=-11-x21+x=1+1x+2?k=2(-1)k-1(2k-3)!!xk+(-1)n(2n-1)!!xn+1(1+qx)2-(n+1)(2k)!!(2n+2)!!(logax)￠=1xlna(secx)￠=secx×tanx(cscx)￠=-cscx×ctgx(arctgx)￠=11+x213.逐項求導或逐項積分若f(x)=j￠(x)或f(x)=òj(t)dt，φ(x)的泰勒公式可以比較方便的求出來，x(arcctgx)￠=-1+x2x0然后對其逐項求導或逐項積分便可以得到f(x)的泰勒公式。2.2高階導數和高階微分例如：arctanx=1dt=x11(1-t2+t4)dt+o(x5)=x-x3+x5+o(x5)x求高階導數的方法：1.萊布尼茨（Leibniz）公式：(u(x)v(x))(n)=n?k=0Cku(k)(x)v(n-k)(x)ò01+t2ò0353.3函數的極值、最值n2.常用公式(eax+b)(n)=aneax+b(sin(ax+b))(n)=ansin(ax+b+np)2(cos(ax+b))(n)=ancos(ax+b+np)駐點，導數不存在的點為極值可疑點。駐點，導數不存在的點，端點為最值可疑點。極值判別法則：1.設點x0為函數f(x)的極值可疑點，f(x)在點x0的鄰域內連續，去心鄰域內可微，假如在(x0-δ,x0)內f’(x0)≥0，在(x0,x0+δ)內f’(x0)≤0，則x0必為f(x)的極大值點。反之必為極小值點。2.若點x0是f(x)的駐點且f’’(x0)存在，則當f’’(x0)>0(<0)時，x0必為f(x)的極小(大)值點。3.設函數f(x)在點x0處有n階導數，且f￠(x)=f￠(x)=...=f(n-1)(x)=0，0002但(n)(n)f(x0)10，則(i)當n為偶數時，f(x)在點x0處取極值，當f(x0)>0時((ax+b)b)(n)=anb(b-1)...(b-n+1)(ax+b)b-n取極小值，當(n)(1ax+b)(n)=an(-1)nn!(ax+b)n+13.4函數作圖定理：設函數f(x0)<0時取極大值；(ii)當n為奇數時f(x0)不是極值。(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，則f(x)在[a,b](ln(ax+b))(n)=an(-1)n-1(n-1)!3.分解法分解為上述初等函數之和1(ax+b)nf上是凸（凹）函數的充要條件是：1.f’(x)在開區間(a,b)內單調遞減（增）。2.f(λx1)+(1-λ)x2)<(>)λf(x1)+(1-λ)f(x2),λ∈(0,1).3.f’’(x0)≤(≥)0.若函數f(x)在點x0處凹凸性相反，則點x0稱為f(x)的拐點。拐點的必要條件：f’(x0)=0或f’(x0)不存在。拐點的充要條件：f’’(x)通過時變號。漸近線：1.垂直漸近線：x=a是垂直漸近線?lim=￥或lim=￥.2.斜漸近線：f(x)=ax+b,a=limf(x),b=lim(f(x)-ax)或（3）Mx+Ndxx2+px+q；（4）Mx+Ndxn2òx?+￥xx?+￥ò(x+px+q)a=limf(x)=lim(f(x)-ax)（水平漸近線為其特例）。I=dx=1×x+2n-3Iò,bnò22n222n-12n-1x?-￥xx?-￥(x+a)2a(n-1)(x+a)2a(n-1)函數作圖的環節：1.擬定函數的定義域；2.觀測函數的某些特性，奇偶性，周期性等；3.判斷函數是否有漸近線，如有，求出漸近線；4.擬定函數的單調區間，極值，凹凸區間，拐點，并列表；5.適當擬定一些特殊點的函數值；三角函數有理式的積分一般用萬能代換形式可以采用更靈活的代換：tanx2=t，對于如下6.根據上面提供的數據，作圖。第4章積分4.1不定積分對于積分òR(sin2x,cos2x)dx，可令tanx=t；對于積分òR(sinx)cosxdx，可令sinx=t；對于積分R(cosx)sinxdx，可令cosx=t，等等。某些可化為有理函數的積分4.1.1.基本積分表1.òR(x,nax+b)dx型積分，其中n>1，其中ad≠bc。cx+dòxmdx=1m+11x+Cdx=ln|x|+Cadx=x1ax+Clna這里的關鍵問題是消去根號，可令ax+b=t。m+1òòxòsinxdx=-cosx+Còcosxdx=sinx+Còtanxdx=-ln|cosx|+Còcotxdx=ln|sinx|+Còsecxdx=ln|secx+tanx|+C2.òR(x,ax2cx+d+bx+cdx型積分,其中b2-4ac10，a≠0。由于xòcscxdx=-ln|cscx+cotx|+C=ln|cscx-cotx|+C=ln|tan2|+Còsec2xdx=tanx+Còcsc2xdx=-cotx+Cax2+bx+c=a(x+2b)2+，故此類型積分可以化為以下三種類型：2a4a24ac-bR(u,k2-u2)dxu=ksintòtanxsecxdx=secx+Còcscxcotxdx=-cscx+Cò，可用三角替換；1ò1-x2dx=arcsinx+C或-arccosx+CòR(u,òR(u,u2-k2)dx，可用三角替換u=ksect；u2+k2)dx，可用三角替換u=ktant。1ò1+x2dx=arctanx+C或-arccotx+CIn=òtannxdx=1n-1tann-1x-In-21òa2+x2dx=1arctanx+Caa1a2-x2dx=arcsinx+Ca倒代換：1+x2，1-x22，由此還可以求出1，x4òò1dx=1ln|a+x|+Cò1dx=ln|x+x2-a2|+Cò1+x4dxò1+x4dxò1+xdxò1+x4dxa2-x22aa-xx2-a2a1sinx+b1cosxdx,(a2+b210)ò1dx=1ln|x-a|+Cò1dx=ln(x+x2+a2)+Còasinx+bcosxx2-a22ax+ax2+a22解：設asinx+bcosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)，為此應有òa2-x2dx=xa2-x2+aarcsinx+C1122aìaA-bB=aaa+bbab-ba21，解得111