1.4.1用空間向量探討直線、平面的位置關系第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行A級必備學問基礎練1.如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,CD=CB=1,CC'=2,建立如圖所示的空間直角坐標系,則下列向量是平面DBC'的一個法向量的是()A.(1,2,1) B.(2,-2,1)C.(1,1,1) D.(2,2,1)2.若直線l的方向向量為a=(2,1,m),平面α的法向量為n=1,12,2,且l∥α,則m=()A.-45 B.-543.已知線段AB的兩端點坐標為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB()A.與坐標平面xOy平行B.與坐標平面yOz平行C.與坐標平面xOz平行D.與坐標平面yOz相交4.(多選題)直線l的方向向量是a=(1,2,0),若l⊥α,則平面α的法向量可以是()A.n=(1,2,0)B.n=(-2,-4,0)C.n=(2,-1,0)D.n=(2,-1,2)5.(多選題)若平面α⊥β,平面α的法向量為n=(2,1,-4),則平面β的一個法向量可以是()A.(2,0,1) B.(-2,-1,4)C.(1,2,1) D.1,12,-26.(多選題)已知平面α過點M(1,3,2),其法向量m=(3,1,0),則下列點不在平面α內的是()A.S(2,0,0)B.Q(2,0,4)C.R(0,2,3)D.T(-2,3,1)7.法向量分別是n=(1,-1,2),m=(-2,0,3)的兩個平面的位置關系是.

8.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面α內的三點,設平面α的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=.

B級關鍵實力提升練9.(多選題)已知空間中兩條不同的直線l,m,兩個不同的平面α,β,則下列說法中錯誤的是()A.若直線l的一個方向向量為a=(1,-1,2),直線m的一個方向向量為b=(2,-2,4),則l∥mB.若直線l的方向向量為a=(0,1,-1),平面α的法向量為n=(1,-1,-1),則l∥αC.若平面α,β的法向量分別為n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),則α∥βD.若平面α經過三個點A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一個法向量,則u+t=110.對空間向量a,b,有如下說法:①<a,b>=<b,a>;②若a⊥平面α,b⊥平面α,且|a|=|b|,則a=b;③若a≠b,則|a|≠|b|;④若a,b都是直線l的方向向量,則a∥b.其中說法正確的是.

11.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E為線段B1C1的中點.(1)求證:AA1⊥D1E;(2)求平面D1BE的法向量.12.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.參考答案1.4.1用空間向量探討直線、平面的位置關系第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行1.D由題意得D(1,0,0),B(0,1,0),C'(0,0,2),則DB=(-1,1,0),DC'=(-1,0,2)設平面DBC'的一個法向量是n=(x,y,z),由n·DB=-x+y所以平面DBC'的一個法向量是n=(2,2,1).故選D.2.B若l∥α,則有a⊥n,即a·n=2+12+2m=0,解得m=-54.3.B因為A(9,-3,4),B(9,2,1),所以AB=(0,5,-3),而坐標平面yOz的法向量為(1,0,0),明顯(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標平面yOz平行.4.AB因為l⊥α,故直線l的方向向量與平面α的法向量平行,對于A選項,n=(1,2,0)與a=(1,2,0)平行,滿足要求,故A正確;對于B選項,n=-2a,故n=(-2,-4,0)與a=(1,2,0)平行,滿足要求,故B正確;對于C選項,(2,-1,0)·(1,2,0)=2-2=0,故n=(2,-1,0)與a=(1,2,0)垂直,不符合要求,故C錯誤;對于D選項,(2,-1,2)·(1,2,0)=2-2=0,故n=(2,-1,2)與a=(1,2,0)垂直,不符合要求,故D錯誤,故選AB.5.AC因為α⊥β,所以n=(2,1,-4)與平面β的法向量也垂直.對于A,因為(2,1,-4)·(2,0,1)=4-4=0,滿足題意,故A正確;對于B,因為(2,1,-4)·(-2,-1,4)=-4-1-16=-21≠0,故B錯誤;對于C,因為(2,1,-4)·(1,2,1)=2+2-4=0,滿足題意,故C正確;對于D,因為(2,1,-4)·1,12,-2=2+12+8=212≠0,故D錯誤.故選AC6.CD對于A,因為S(2,0,0),則SM=(-1,3,2),故SM·m=-1×3+3×1+2×0=0,點S在平面對于B,因為Q(2,0,4),則QM=(-1,3,-2),故QM·m=-1×3+3×1-2×0=0,點Q在平面對于C,因為R(0,2,3),則RM=(1,3-2,2-3),故RM·m=1×3+(3-2)×1+(2-3)×0=23-2≠0,點R不在平面α內;對于D,因為T(-2,3,1),則TM=(3,0,1),故TM·m=3×3+0×1+1×0=33≠0,點T不在平面α內.故選CD.7.相交且不垂直假設存在λ∈R,使得n=λm,則-2故向量n,m不平行,即兩個平面不平行.因為n·m=-2+6=4≠0,所以向量n,m不垂直,所以兩個平面的位置關系是相交且不垂直.8.2∶3∶(-4)因為AB=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,又因為a·AB=0,a·AC=0,所以x-3所以x∶y∶z=23y∶y∶-43y=2∶3∶(-4).9.BCD對于A,b=2a,則a∥b,∴l∥m,故A中說法正確;對于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,則a⊥n,∴l∥α或l?α,故B中說法錯誤;對于C,若n1=λn2(λ≠0),則(0,1,3)=λ(1,0,2),得0=λ,1=0,3=2λ對于D,AB=(-1,-1,1),BC=(-1,3,0),∵n=(1,u,t)是平面α的法向量,∴n·AB=-1-u+t=0,n·BC10.①④由兩向量夾角的定義知①正確;只有a,b同向時才能得出a=b,故②錯誤;若兩向量不相等,但其模可能相等,故③錯誤;由方向向量定義知④正確.11.(1)證明因為ABCD-A1B1C1D1是正方體,故可得AA1⊥平面A1B1C1D1.又D1E?平面A1B1C1D1,故AA1⊥D1E.(2)解以D為坐標原點,AD,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.則D1(0,0,2),B(2,2,0),E(1,2,2),D1E=(1,2,0),BE=(-設平面D1BE的法向量為m=(x,y,z),則m·D1E=0,m故平面D1BE的一個法向量為(2,-1,1).12.證明如圖,建立空間直角坐標系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1),C1(1)(方法1)設n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則n1·DA=2x1=0,n1·AE=2y1+因為FC1·n1=-2+2=0,所以FC1又因為FC1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.(方法2)設