【新結構】2024屆湖北省新高考協作體高三統一模擬考試數學試題（一）?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設i為虛數單位，若復數z滿足，則(

)A.1 B. C. D.22.已知集合太平洋，大西洋，集合，則集合A與集合B的關系為(

)A. B. C. D.3.一個容量為10的樣本，6，7，8，9，10，13，14，15，17，18，則該組數據的上四分位數為(

)A.8 B. C. D.154.已知直線l：與圓C：交于A、B兩點，，則(

)A.1 B. C. D.5.考慮以為樣本空間的古典概型．設X和Y定義在上，取值于的成對分類變量，則“與獨立”是“與獨立”的(

)A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.若，，，則的最小值為(

)A. B. C. D.67.已知數列，通項公式為，，將數列，的公共項從小到大排列得到數列，設數列的前n項和為，則(

)A. B. C. D.8.一個半徑為1的小球在一個內壁棱長為的正四面體封閉容器內可向各個方向自由運動，則該小球表面永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.四個實數1，，a，b按照一定的順序構成一個等比數列，則ab的可能取值有(

)A. B. C.128 D.10.已知函數，，且滿足，，對任意的，恒有，且為的極值點，則下列等式成立的是(

)A. B.

C. D.11.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，記的內切圓的半徑為，的內切圓的半徑為若雙曲線的離心率，則下列說法正確的是(

)A.雙曲線的漸近線方程： B.以為直徑的圓與直線AB相切

C.內切圓半徑最小值是 D.的范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數的對稱中心為__________.13.拋物線E：的焦點為F，直線AB，CD過F分別交拋物線E于點A，B，C，D，且直線AD，BC交x軸于N，M，其中，則M點坐標為__________.14.對于任意的實數，函數在上至少3個零點，至多4個零點，則的取值范圍為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分發展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強國的必由之路，是應對氣候變化推動綠色發展的戰略舉措．隨著國務院《新能源汽車產業發展規劃》的發布，我國自主品牌汽車越來越具備競爭力．國產某品牌汽車對市場進行調研，統計了該品牌新能源汽車在某城市2023年前幾個月的銷售量單位：輛，用y表示第x月份該市汽車的銷售量，得到如下統計表格：123456728323745475260經研究，x、y滿足線性相關關系，求y關于x的線性回歸方程、按四舍五入精確到整數；該市某4S店為感謝客戶，決定針對該品牌的汽車成交客戶開展抽獎活動，設“一等獎”、“二等獎”和“祝您平安”三種獎項，“一等獎”獎勵5千元；“二等獎”獎勵3千元；“祝您平安”獎勵紀念品一份．在一次抽獎活動中獲得“二等獎”的概率為，獲得一份紀念品的概率為，現有甲、乙兩個客戶參與抽獎活動，假設他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲獎金總額千元的分布列及數學期望．參考數據及公式：，，16.本小題15分在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若求角A的大小；若D為BC上一點，且AD為的角平分線，，求AD的最大值．17.本小題15分如圖，在直三棱柱中，，求證：；若E為的中點，三棱錐的體積為1，線段CE上是否存在點P，使得二面角的大小為，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．18.本小題17分已知若，，求；設，，證明：；在的條件下，若，ⅰ證明：數列和數列均為等比數列；ⅱ求的通項公式．19.本小題17分如圖，已知圓錐PO的軸PO與母線所成的角為，過的平面與圓錐的軸所成的角為，該平面截這個圓錐所得的截面為橢圓C，橢圓C的長軸為，短軸為，長半軸長為3，C的中心為N，再以為弦且垂直于PO的圓截面，記該圓與直線交于，與直線交于，設求橢圓C的焦距；橢圓C左右焦點分別為，，C上不同兩點A，B，滿足，設直線，交于點Q，，求四邊形的面積．

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查復數的除法運算和復數模長的計算，屬于基礎題.

先將復數z化簡，然后求出其模，最后代入求出答案即可.【解答】解：由已知得，所以，所以故選：2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查元素與集合，集合與集合的關系等，屬于基礎題．

由題意太平洋，大西洋，太平洋，大西洋，從而確定關系．【解答】

解：已知集合太平洋，大西洋，集合，

集合B為集合A的子集組成的集合，

太平洋，大西洋，太平洋，大西洋，

則

故選：3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查百分位數，屬于基礎題.

根據分位數的求法求解即可.【解答】

解：上四分位數就是分位數，

因為容量為10的樣本，，

故第處的數字為第八個數

故選：4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查直線與圓的位置關系，點到直線距離公式，屬于基礎題.

利用為等腰直角三角形，得到，計算即可.【解答】

解：圓C的圓心為，半徑，

由題意可知，為等腰直角三角形，

則C到AB的距離為，

則，解得

故選：5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查條件概率的計算，屬于中檔題.

根據條件概率的計算以及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【解答】

解：由題意可知，，，

若與獨立，

則，，

，

與獨立，反之亦然，

故為充要條件.

故選：6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

直接利用基本不等式求解．【解答】解：，，，

，

，且，，

，，

，

當且僅當時取等號.

故的最小值為故選：7.【答案】D

【解析】【分析】本題考查等差數列的通項公式與前n項和公式，屬于中檔題.

首先判斷出數列與

項的特征，從而判斷出兩個數列公共項所構成新數列的首項以及公差，利用等差數列的求和公式求得結果.【解答】

解：因為，

，

所以是以1為首項，以2為公差的等差數列，數列是以1首項，以3為公差的等差數列，所以這兩個數列的公共項所構成的新數列是以1為首項，以6為公差的等差數列，所以的前n項和

故答案為：8.【答案】C

【解析】【分析】本題考查棱錐、球的結構特征，屬于較難題.

考慮小球與正四面體的一個面相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長為，故小三角形的邊長為，求解即可．【解答】

解：如圖甲，考慮小球擠在一個角時的情況，

小球半徑為1，作平面平面ABC，

與小球相切于點D，則小球球心O為正四面體的中心，面，垂足D為的中心.

因

，

故，從而

記此時小球與面PAB的切點為，連接，

則，

考慮小球與正四面體的一個面不妨取為相切時的情況，

易知小球在面PAB上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如圖乙.

記正四面體的棱長為a，過作于

因，

有，

故小三角形的邊長，

小球與面PAB不能接觸到的部分的面積參考圖乙，

，

所以，

所以，

由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內壁的面積共為

故選：9.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查等比數列的性質，等比數列的通項公式，屬于基礎題.

對a，b的位置分類討論，利用等比數列的性質，即可求出結果.【解答】

解：設等比數列的公比為q，

根據等比數列的性質：

若a，b都在中間或兩端，

則；

若a，b在前兩位，

則或，

且，

當時，解得；

當時，解得；

若a，b在后兩位，

則或，

且，

當時，解得；

當時，解得；

綜上，ab的取值為或或

故選：10.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查利用導數研究函數的極值，等差數列的判定等，屬于中檔題.

利用導數研究函數的極值，結合等差數列逐一判定即可.【解答】

解：，

，

、且滿足，，對任意的，恒有，

與切于點，交于點，

與切于點，交于點，

，為的兩異根，

為極大值點，為極小值點，

令，

則，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

所以是函數的極小值點，

，故A正確；

由，則，

則，

由，則，

則，

所以，故B正確；

，故C錯誤；

，故D正確.

故選11.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查雙曲線漸近線、直線與圓位置關系判斷，直線與雙曲線的位置關系及其應用，屬于較難題.

利用雙曲線的定義、性質，結合圓的切線長定理、直線與圓的位置關系等知識對選項逐個判斷即可.

【解答】

解：因為，所以漸近線方程為，所以A錯.

設，，其中，

設，，，

對于C，過分別作，，的垂線，垂足分別為D，E，F，

由切線長定理有，，，

則，

又因為，所以，

又，所以，同理可得，則，在直線上;

對于A，過作AB的垂線，垂足為G，因為，則，

設、EG的中點分別為M，N，則，且，

所以，M到AB距離為，

則以為直徑的圓與直線AB相切，故B正確.

對于C，設，，則，，，

內切圓半徑，當且僅當時取等號，故C對.

對于D，，故D錯.

故選：12.【答案】

【解析】【分析】本題考查函數的對稱性，屬于基礎題．由函數中心對稱的特點計算可得.【解答】

解：，

，

，

所以對稱中心為

故答案為：13.【答案】

【解析】【分析】本題考查幾何與代數，涉及了直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.

設，，，，，設，與拋物線聯立，結合根與系數的關系可得M的坐標.【解答】

解：F坐標為，

設，，，，，

設，聯立消x得，

所以，

同理：，，，

所以，

所以，所以

故答案為14.【答案】

【解析】【分析】本題考正弦函數的圖象、性質，屬于中檔題.

由

，得

，進而可得區間長度，再利用正弦型函數的性質可得不等式，即可求解.

【解答】

解：令，則，

當時，

則，

其區間長度，

為保證在上至少3零點，至多4零點，

則，

解得，

故

故答案為：15.【答案】解：由題意可得，，，，，故線性回歸方程為由題意可得，獲得“一等獎”的概率為，X的所有可能取值為0、3、5、6、8、10，，，，，，，故X的分布列為：X0356810P故

【解析】本題考查概率統計，涉及回歸直線方程的求解，離散型隨機變量的分布列和數學期望，屬于中檔題.

計算出、的值，可求出，利用最小二乘法求出、的值，可得出回歸直線方程；由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、3、5、6、8、10，計算出隨機變量X在不同取值下的概率，可得出隨機變量X的分布列，進而可求得的值.16.【答案】解：因為，

由正弦定理得

，

即，

，

所以，

又，所以

因為，

因為，

所以，

即，

所以，又，

所以，

所以，

設，則，

所以，

，

當且僅當時等號成立，所以AD的最大值為

【解析】本題考查正弦定理與余弦定理的綜合應用，三角形面積公式，基本不等式，屬于中檔題.

利用正弦定理與余弦定理結合角度范圍可得答案；

利用三角形面積公式可得，進而可得，設，即可利用基本不等式求解最值.17.【答案】解：

證明：在直三棱柱中，，

平面ABC，

平面ABC，

，

，，平面，平面，

平面，

平面，；

，平面BAC，，BA，兩兩垂直，

以B為坐標原點，，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

設，則，

解得

由題意知平面ABE的一個法向量為

，

設平面ABP的一個法向量為，

，，，，

，設，，

則，令，得，

二面角的大小為，

，解得，

存在點P，當時，二面角的大小為

【解析】本題考查線面垂直的判定與性質，考查平面與平面所成角的向量求法，屬于中檔題.

推導出平面ABC，，從而平面，由此能證明；

以B為坐標原點，，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出存在點P，當時，二面角的大小為18.【答案】解：由題意可得：，，

其中，即，①

，

，

又，

，②

聯立①②解得：，

證明：，，

則，

故

，

證明：由題意可得：時，結合可知：

，，

，

又，

，

，

，

所以數列是以為公比，為首項的等比數列，

數列是以為公比，為首項的等比數列;

由，結合等比數列的通項公式，可得：

，

，

即，

故

【解析】本題考查函數，涉及同角三角函數基本關系，等比數列的判定與證明，數列通項公式的求解等，屬于較難題.

利用，得到