選擇性必修二《4.1數列的概念》同步練習

一、單選題

r13.1

1.已知數列｛4｝中，6==，an=1-----（〃cN+,〃22）,那么。2必等于（）

a

4n-\

13

A.—B.—C.2D.4

34

2.數列1、1、2、3、5、8、13、21、34、…稱為斐波那契數列，是意大利著名數

學家斐波那契于1202年在他撰寫的《算盤全書》中提出的，該數列的特點是：從第三項

起，每一項都等于它前面兩項的和.在該數列的前2020項中，偶數的個數為（）

A.505B.673C.674D.1010

3.“干支紀法”是我國記年、月、日、時的序號的傳統方法，天干地支簡稱“干支”，天

干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、

巳、午、未、申、酉、戌、亥.如，農歷1861年為辛酉年，農歷1862年為壬戌年，農歷

1863年為癸亥年，則農歷2068年為（）

A.丁亥年B.丁丑年C.戊寅年D.戊子年

4.原始的蚊香出現在宋代.根據宋代冒蘇軾之名編寫的《格物粗談》記載：“端午時，貯

浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲.”如圖，為某校數學興趣小組用數學軟

件制作的“螺旋蚊香”，畫法如下:在水平直線/上取長度為1的線段AB，做一個等邊三

角形ABC,然后以點8為圓心，A8為半徑逆時針畫圓弧，交線段BC的延長線于點

D，再以點C為圓心，CO為半徑逆時針畫圓弧，交線段AC的延長線于點E，以此類

推，當得到的“螺旋蚊香”與直線/恰有21個交點時，“螺旋蚊香”的總長度的最小值為

（）

A.31071B.34()71C.930兀D.102071

5.衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文

化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量

總和，它是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題，該數列從第一項起依次

是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50-,則該數列第16項為（）

A.152B.134C.128D.102

6.公元前四世紀，畢達哥拉斯學派對數和形的關系進行了研究.他們借助幾何圖形（或格

點）來表示數，稱為形數.形數是聯系算術和兒何的紐帶.如圖所示，數列1,6,15,28,

45-從第二項起每一項都可以用六邊形表示出來，故稱它們為六邊形數，那么該數列

的第11項對應的六邊形數為（）

二、多選題

7.意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1,1,2,3,

5,,其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成

的數列｛q｝稱為“斐波那契數列”，記S,為數列｛q｝的前n項和，則下列結論正確的是

)

A.%=8B.S7=33

D..卡

C.4+〃3+〃5+.??+〃2019=a2O2O

8.斐波那契數列，又稱黃金分割數列、兔子數列，是數學家列昂多?斐波那契于1202年

提出的數列.斐波那契數列為1,1,2,3,5,8,13,21,……，此數列從第3項開始,

每一項都等于前兩項之和，記該數列為｛尸（〃）｝,貝乂尸（〃）｝的通項公式為（）

卜中

B.尸(〃+1)=尸(")+打〃2且尸(1)=1,62)=1

9.對于數列｛4｝,若存在正整數k（Z22）,使得見<以_1,ak<aM,則稱4是數列

｛4｝的“谷值，%是數列｛為｝的“谷值點”，在數列｛%｝中，若q=〃+[—8,則數列

｛4｝的“谷值點”為（）

A.2B.3C.5D.7

三、填空題

10.在數列｛《,｝中,4=1,4+冬+q+…+3=a“（〃€N*）,則。“=.

11.已知數列｛%｝滿足4=33,4+「an=2n,則2的最小值為.

n

12.已知數列｛4｝滿足：《=2020,弓用=4+%—若正整數%使得

+的+…+2寸-?.

a.a1--a.=-----=-----------成竺，則mk=

-12021

四、解答題

13.數列｛%｝中，an=nr-5n+4.

（1）18是數列中的第幾項？

（2）〃為何值時，/有最小值？并求最小值.

14.下面圖形都是由小正三角形構成的，設第〃個圖形中的黑點總數為/（〃）.

⑴求〃2）,〃3）J（4）J（5）的值；

⑵找出了（〃）與〃"+1）的關系，并求出/（"）的表達式.

①②③④

5且凡“二胃(〃=2,3,4”一).

15.已知數列｛%｝中,%=1,a2

(1)求內、%的值，

(2)設2=—!――1("€^0試用"表示。用，并求｛〃｝的通項公式；

an+\

sin3/—*、

(3)設%=----------「("GN),求數列｛c“｝的前〃項和S..

cos/?n?cosbn+｝

16.已知數列｛4｝滿足q=，，4M=1+」-,數列｛%｝可以是無窮數列，也可以是有窮

351

數列，如取7=1時，可得無窮數列：1,2,取「=一一時，可得有窮數列:

232

(1)若的=。，求》的值；

(2)若1<。“<2對任意〃22,〃eN*恒成立.求實數，的取值范圍；

⑶設數列｛仇｝滿足4=一1,%=區匕(〃€“)，求證：.取數列也｝中的任何一

個數，都可以得到一個有窮數列｛4｝.

答案解析

一、單選題

,13,1

1.已知數列｛4｝中，弓=亍，。“=1———(〃wN+,〃22),那么"20等于()

a

4n-\

13

A.—B.—C.2D.4

34

【答案】B

【分析】

根據4=4，,計算數列的前幾項，得到數列｛凡｝是以3為周期的數列求解.

【詳解】

3,1

因為％=一，。”=1-----，

43

,11

所以

所以數列｛q｝是以3為周期的數列，

_3

所以“2020—。673*3+1=4=W，

故選：B

本題主要考查數列的周期性的應用，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

2.數列1、1、2、3、5、8、13、21、34、…稱為斐波那契數列，是意大利著名數

學家斐波那契于1202年在他撰寫的《算盤全書》中提出的，該數列的特點是：從第三項

起，每一項都等于它前面兩項的和.在該數列的前2020項中，偶數的個數為()

A.505B.673C.674D.1010

【答案】B

【分析】

由斐波那契數列的特點可知，該數列只有第弘(&GN*)項為偶數，再由2020=3*673+1

可求得結果.

【詳解】

由斐波那契數列的特點，可得此數列只有第弘心eN*）項為偶數,

由于2020=3x673+1,所以前2020項中偶數的個數為673.

故選:B.

【點睛】

本題考查斐波那契數列的應用，考查推理能力，屬于基礎題.

3.“干支紀法”是我國記年、月、日、時的序號的傳統方法，天干地支簡稱“干支”，

天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.“地支”指：子、丑、寅、卯、

辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.如，農歷1861年為辛酉年，農歷1862年為壬戌年，

農歷1863年為癸亥年，則農歷2068年為（）

A.丁亥年B.丁丑年C.戊寅年D.戊子年

【答案】D

【分析】

由題意得天干是以10為周期的數列，地支是以12為周期的數列，以1861為首項，即可得

答案.

【詳解】

記6=辛，4=酉（1861）；“2=壬，優=戌（1862）；/=癸，4=亥（1863）,

所以記天干為數列{4},且最小正周期為10,記地支為數列{4},且最小正周期為12,

故"2068=%=戊，b206g==子（2068）,

故選：D.

【點睛】

本題考查數列的周期性，難點在于需將題目信息轉化為所學數列的知識，考查邏輯推理，

歸納分析的能力，屬中檔題.

4.原始的蚊香出現在宋代.根據宋代冒蘇軾之名編寫的《格物粗談》記載：“端午時，貯

浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲.”如圖，為某校數學興趣小組用數學

軟件制作的“螺旋蚊香”，畫法如下:在水平直線/上取長度為1的線段A3,做一個等邊

三角形A8C,然后以點3為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段8C的延長線于點

D,再以點。為圓心，CO為半徑逆時針畫圓弧，交線段AC的延長線于點E,以此類

推，當得到的“螺旋蚊香”與直線/恰有21個交點時，“螺旋蚊香”的總長度的最小值為

()

A.310KB.340KC.930兀D.1020K

【答案】A

【分析】

根據畫圓弧的規律：分別以B,C,A為圓心，抽象半徑長度的數列，明確圓弧與直線的交

點情況，再根據當“螺旋蚊香”與直線/恰有—??21—???個交點時，若使

“螺旋蚊香”的總長度最小，確定數列的項數，求得最后圓弧的半徑即可.

【詳解】

如圖所示：

當以B為圓心，半徑為：1,4,7,10,…除起點外，與直線無交點，①

當以C為圓心，半徑為：2,5,8,11,…與直線有一個點，②

當以A為圓心，半徑為：3,6,9,12,…除終點(即①的起點，點A除外)外，與直線

無交點，③

所以當“螺旋蚊香”與直線/恰有?個交點時，若使“螺旋蚊

香”的總長度最小，

則完成整數個循環，

所以以B為圓心的弧與直線只有交點A,以C為圓心的弧與直線10個交點，以A為圓心

的弧與直線有10個交點，

即數列②有10項，數列③有10項，

所以最后一個圓弧的半徑為「=3+3(10-1)=30,

所以“螺旋蚊香”的總長度的最小值為

1、130(1+30)

x(zl+2+3+…+3。)=一一^=310萬.

故選：A

【點睛】

本題主要考查數列的抽象與等差數列的通項公式和前n項和的應用，還考查了分析求解問

題的能力，屬于中檔題.

5.衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統

文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數

量總和，它是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題，該數列從第一項起依

次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50…，則該數列第16項為（）

A.152B.134C.128D.102

【答案】C

【分析】

根據數據找出規律，依次寫出來即可.

【詳解】

前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,

2

偶數項分別為2,8,18,32,50,可得偶數項的通項公式：a2n=2n.

所以該數列第16項為=2x82=128.

故選:C.

【點睛】

本題考查了數列遞推關系、通項公式、歸納法，考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

6.公元前四世紀，畢達哥拉斯學派對數和形的關系進行了研究.他們借助幾何圖形（或格

點）來表示數，稱為形數.形數是聯系算術和幾何的紐帶.如圖所示，數列1,6,15,28,

45,從第二項起每一項都可以用六邊形表示出來，故稱它們為六邊形數，那么該數列

的第11項對應的六邊形數為（）

A.153B.190C.231D.276

【答案】C

【分析】

根據題中所給圖與對應的六邊形數，記第〃個六邊形數為凡，找出規律，相鄰兩項差構成

等差數列，累加求得生,=2〃2一〃，將九=11代入求得結果.

【詳解】

記第〃個六邊形數為%,

由題意知：4=1,。2一％=5=l+4xl,

=1+4x2,%-%=1+4x3,…，

=l+4(n-l),

(〃-1)[5+4〃-3]=2/〃1,

累加得=5+9+…+[1+4(“_1)]=

2

即

an=2ir-n,

所以a”=2xll2-ll=231,

故選：C.

【點睛】

該題考查的是有關數列的問題，涉及到的知識點有利用累加法求數列的通項公式，屬于中

檔題目.

二、多選題

7.意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1,1,2,

3,5,….，其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數

組成的數列｛q｝稱為“斐波那契數列”，記S“為數列｛q｝的前n項和，則下列結論正確

的是（）

A.4=8B.S7=33

4+生+.....+々019_

C.Q]+-----々2019=々2020Un?_Un2O2O

2019

【答案】ABCD

【分析】

由題意可得數列｛%｝滿足遞推關系q=1嗎=1，4=%-2+4T(〃N3),對照四個選項可

得正確答案.

【詳解】

對A,寫出數列的前6項為1,1,2,3,5,8,故A正確；

對B,S7=1+1+2+3+5+8+13=33,故B正確；

C>由Q]=，03。4—，a$。6一,...,1“201942020—。2018，

可得:%+/+%+…+。2019=。2020?故4+/+%+…+。2019是斐波那契數列中的第

2020項.

對D,斐波那契數列總有。“+2=4+1+4，則W=%3-4)=電4一g4，

狀=%(4-%)="3a4—電色，...,

“2018=%)18(%)191%)17)=%018%)191'^2019=^2019^2020—42019a2018

+4++.....+a￡oi9=^2019^2020，故D正確?

故選：ABCD.

【點睛】

本題以“斐波那契數列”為背景，考查數列的遞推關系及性質，考查方程思想、轉化與化

歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意遞推關系的靈活轉換.

8.斐波那契數列，又稱黃金分割數列、兔子數列，是數學家列昂多?斐波那契于1202年

提出的數列.斐波那契數列為1,1,2,3,5,8,13,21,……,此數列從第3項開始，

每一項都等于前兩項之和，記該數列為｛/(〃)｝,貝乂/^〃)｝的通項公式為()

A.0號￡

B.F(/?+l)=/(〃)+尸(〃-1),〃22且/(1)=1,尸(2)=1

1i^Yfi-VsY

C.F⑺=+

2

得〔丁廠77

1+⑸"i-VsY

D.（-----+

F"T22）

【答案】BC

【分析】

根據數列的前幾項歸納出數列的通項公式，再驗證即可;

【詳解】

解：斐波那契數列為1,1,2,3,5,8,13,21,

顯然尸（1）=1,尸（2）=1,F（3）=F（1）+F（2）=2,尸（4）=尸（2）+（（3）=3,

F（n+l）=F（H）+F（H-l）,n>2,所以尸（〃+1）=產（〃）+尸（〃-1）,〃22且

戶(1)=1，尸(2)=1,即B滿足條件;

由產(〃+1)=產(〃)+尸(〃一

所以*”+1)-與如(〃)=與^

所以數列［尸(〃+i)-匕盧尸(”)|是以55為首項，匕好為公比的等比數列,

222

所以尸+上等尸(〃)

1-君

所以-（"+1）-F、*〃）

所以1+6-1+41+小產+1

?2212；

為公比的等比數列,

所以“膂+(二丹年嚴

故選：BC

【點睛】

考查等比數列的性質和通項公式，數列遞推公式的應用，本題運算量較大，難度較大，要

求由較高的邏輯思維能力，屬于中檔題.

9.對于數列｛4｝,若存在正整數攵(a2),使得ak＜ak+],則稱4是數列

o

｛為｝的“谷值，％是數列｛叫的“谷值點”，在數列｛4,｝中，若《,=〃+--8,則數

列｛%｝的“谷值點”為()

A.2B.3C.5D.7

【答案】AD

【分析】

由數列的通項公式求出前七項各項的值，然后根據題意進行求解即可，

【詳解】

9376129

=9

因為4—〃T8,所以Q]=2,4=萬,。3=2,q~?%=,'。6=萬'%=/，。8=W

999

當〃N7,〃￡N,---8>0a=nH---8=〃H----8,此時數列單調遞增,

nnnn

“o＜Q],＜。39＜。69。7＜。89

所以數列｛%｝的“谷值點”為2,7.

故選：AD

【點睛】

本題考查了數學閱讀能力，考查了數學運算能力，考查了數列的單調性，屬于中檔題.

三、填空題

10.在數列｛。〃｝中，［=1,4+才+親+，??+3=

n'

■2〃

【答案】--

〃+1

【分析】

。2%an-\

由己知得：當〃22時，4+歹+芯+?一+/I。=%,與原式相減得

23(力-1)

n〃+1n

—ci—a_,即一一a----，遞推可得答案.

nntl｝nnn-\

【詳解】

由題意得：當“22時，4+*+*+…+*^7=4-1,所以3=0，，一。，1，即

23(〃-1)幾-

.口“口〃+1n廣…n+1nn-12.

也即是一an=-,所以——an=--an_x=--an_2=?.?=；%=2，

nn-1nn-\n-2?

故答案為：——

n+1

【點睛】

本題考查由數列的遞推式求數列的通項，屬于中檔題.

11.已知數列｛%,｝滿足4=33,4加一=2〃,則%的最小值為.

n

【答案】W21

2

【分析】

先利用累加法求出現=33+/-n,所以”=二+〃-1,設f(n)=—+n-l,由此能導

nnn

出n=5或6時f(n)有最小值.借此能得到%的最小值.

n

【詳解】

解：Va?+i-a?=2n,???當n22時，an=(an-an-i)+(a?-i-an-2)+…+(a2-ai)+a1=

2[l+2+…+(n-1)]+33=n2-n+33

2

且對n=l也適合，所以au=n-n+33.

[[赤/33

從而—=---F71—1

nn

設f(n)=—+n-l,令f，(n)=^-+l>0,

nn

則f(n)在(屈，+8)上是單調遞增，在(0,屈)上是遞減的,

因為nCN+,所以當n=5或6時f(n)有最小值.

1

所以的最小值為-y-=—

n62

故答案為—

2

【點睛】

本題考查了利用遞推公式求數列的通項公式，考查了累加法.還考查函數的思想，構造函

數利用導數判斷函數單調性.

12.已知數列｛q｝滿足：q=2020,a,,T=d+4-l(〃eN*),若正整數人使得

。出…〃…+嫌+2成立，則卜=____________.

'2卜2021

【答案】2019

【分析】

根據a.+|=a；+a“一1(〃eN*)可得="用一4+1且a=,結合已知條件的等

n+1

式成立，即可求人的值；

【詳解】

為+1=4；+%一1(〃6”)知：42=。“+|-4+1且%=與卓,則：

a“十1

a；+a；+…+a[=出—4+1+%—出+1+…+4+]—&+1=4+1—2020+k,

生+1%+1%+1+1W+1+1hCl7++???+〃￡+2

q+1%+1%+12021'而例…火一方（KI

.^,+fe-2018_g+l即

+=i±L>=2019.

20212021

故答案為：2019

【點睛】

本題考查了利用數列遞推式，結合等式成立求數列的項數，注意結合已知等式中乘積形

式、平方形式轉化遞推式求參數;

四、解答題

13.數列｛《,｝中，4="2-5〃+4.

(1)18是數列中的第幾項？

(2)〃為何值時，/有最小值？并求最小值.

【答案】(1)第7項；(2)〃=2或〃=3時，最小值為—2

【分析】

(1)令5〃+4=18且〃eN*，解方程可得〃的值.

(2)利用二次函數的單調性和最值可得％有最小值以及對應的”的值.

【詳解】

2

令4,=〃2_5〃+4=[8,Bpn-5H-14=0，

解得：〃=7或〃=一2(舍)

(2)由-5〃+4,因為y=f-5x+4,開口向上，對稱軸》=!■

所以〃=2或"=3時，a”有最小值為4=2?-5x2+4=-2.

【點晴】

本題主要考查了判斷數列中的項，以及求數列的最小項，屬于基礎題.

14.下面圖形都是由小正三角形構成的，設第〃個圖形中的黑點總數為/(〃).

⑴求/(2),〃3)J(4)J(5)的值；

⑵找出/(〃)與”〃+1)的關系,并求出/(〃)的表達式.

【答案】⑴見解析；(2)/(〃)=3〃2,“GN*.

【分析】

(1)根據題意可直接寫出結果;

(2)分別計算出“2)-"1),“3)-“2),/(4)—/(3),“5)—"4),歸納出

—再由累加法即可求出/(〃)的表達式.

【詳解】

(1)由題意可得："2)=12,/(3)=27,/(4)=48,45)=75；

⑵因為〃2)-〃1)=9：43)—"2)=15；/(4)-/(3)=21；

〃5)-〃4)=27；

觀察猜想：+是一個首項為9公差為6的等差數列，

即/(〃+l)_/(〃)=9+(〃_l)x6=6〃+3.

因為〃2)-/(1)=9；〃3)—"2)=15；/(4)-/(3)=21；

〃5)-/(4)=27；

把上述式子累加可得到：/⑺二/?⑴=(9+6〃乎"T)=3〃2_3；

又因為/(1)=3,所以/(〃)=3/.

【點睛】

本題主要考查歸納推理以及累加法求數列的通項公式，屬于常考題型.

,、I(〃-1)。”,-c,、

15.已知數列｛q｝中，%=1,%=彳，且%+i=鼠―。(〃=2,3,4,...).

(1)求/、4的值，

1*

(2)設a=-----l(〃eN)試用"表示%,并求也｝的通項公式；

an+\

sin3/2*、

(3)設c.=-----求數列｛c“｝的前〃項和S”.

cos瓦?cos",

b=b9

【答案】⑴/=L。4=j⑵n+\——nnsN：b〃=3n,〃^N*；

710n

(3)tan(3n+3)-tan3.

【分析】

(1)由數列｛6J中，6=1,4=,，且q用二(〃―1""5=2,3,4,...),分別令〃=2

-4n-an

和〃=3,求出。3、。4的值?

r,1?〃一?n(l-a)n\\八一

(2)當〃N2時，-----1=-----------1=———-=---------------1,即

。〃+]5—(〃一1)為)

7777+1

bn=--bn_｝,則"川=——bn,然后用累乘法求解.

〃一1n

sin3rc、c

(3)由%=---------「=tan(3〃+3)—tan3〃，然后利用裂項相消法求解.

cos/?,,-cos/??+l

【詳解】

(1)；數列｛a“｝中，q=1,“2=1，

且4M=^^(〃=2,3,4,...)

n-an

]_

(2—1)%41

/.%=-------=~，

2-a22」7

~4

l

;(3-1)=2x7=1

43-6R]10,

7

11

；?%=—,a=—.

37410

1__]="4,]_〃(1_%)_〃j1

(2)當〃22時,

%+i(?-!)??〃一114

n

...當〃22時，bn=b,i

n-\

77+1

故%i=——或，〃GN*，

n