專題六復數第22講復數的概念和運算1．復數的有關概念(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做實部，b叫做虛部．(i為虛數單位)(2)復數的分類：復數的分類滿足條件(a，b為實數)a＋bi為實數?b＝0a＋bi為虛數?b≠0a＋bi為純虛數?a＝0且b≠0(3)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．2．復平面及其幾何意義(1)復平面：建立直角坐標系來表示復數的平面，叫做復平面．x軸叫做實軸，y軸除去原點叫做虛軸．實軸上的點都表示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數；各象限內的點都表示非純虛數．(2)復數的幾何意義：3．復數的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)則：(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.1．復數的概念(1)已知復數z＝(a2－a－2)＋(a2＋3a＋2)i(i為虛數單位)為純虛數，則實數a＝(

)A．2

B．－1C．－1或2 D．－2(2)(2023·廣東模擬)復數z＝(3＋i)(2－i)在復平面上的對應點落在(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(3)已知i為虛數單位，則i2022＋i2024＝________．(2)由題可知z＝(3＋i)(2－i)＝6－3i＋2i－i2＝7－i，所以復數z對應的點為(7，－1)在第四象限，故選D.(3)因為i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以i2022＋i2024＝i4×505＋2＋i4×506＝i2＋1＝－1＋1＝0.答案：(1)A

(2)D

(3)0剖析：求解與復數概念相關問題的技巧復數的分類、復數的相等、復數的模及共軛復數的概念都與復數的實部、虛部有關，所以解答與復數相關概念有關的問題時，需把所給復數化為代數形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據題意求解．2．復數的幾何意義(1)復數z＝4＋3i(其中i為虛數單位)，則z在復平面上對應的點位于(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(2023·新高考卷Ⅱ)在復平面內，(1＋3i)·(3－i)對應的點位于(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(3)已知m∈R，若復數z＝m(3＋i)－(2＋i)在復平面內對應的點位于第三象限，則實數m的取值范圍是______________．解析：(1)復數z＝4＋3i(其中i為虛數單位)，則z在復平面上對應的點為(4，3)，在第一象限．故選A.(2)(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，則在復平面內，(1＋3i)(3－i)對應的點的坐標為(6，8)，位于第一象限．故選A.(3)z＝m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，因為復數z在復平面內對應的點位于第三象限，3．復數的運算(1)(2023·全國甲卷)若復數(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，則a＝(

)A．－1

B．0C．1 D．2(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所對應的點在實軸上，則a的值為(

)A．3 B．2C．1 D．－1答案：(1)C

(2)D

(3)A

(4)B剖析：復數四則運算的解題策略(1)復數的加法、減法、乘法運算可以類比多項式的運算．(2)復數的除法運算是分子、分母同乘以分母的共軛復數，即分母實數化．1．(2023·綿陽模擬)復數z＝2－i(i是虛數單位)的虛部為(

)A．－i B．iC．－1 D．2C

復數z＝2－i的虛部為－1.故選C.2．(2023·廣東模擬)已知復數z滿足(z－1)i＝1＋i，則z＝(

)A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i3．若復數z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數，則實數x的值為(

)A．－1 B．0C．1 D．－1或15．(2023·廣東模擬)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i為虛數單位，則a＋b＝__________________________________.解析：(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋bi，a＝1，b＝3，所以a＋b＝4.答案：46．(2023·益陽模擬)在復平面內，復數z＝i(a＋i)