專題03面積比例問題一、知識導航除了三角形、四邊形面積計算之外，面積比例也是中考題中常見的條件或結論，對面積比例的分析，往往比求面積要復雜得多，這也算是面積問題中最難的一類．大部分題目的處理方法可以總結為兩種：（1）計算；（2）轉化．本文結合19年各地中考題，簡要介紹關于比例條件的一些運用方法．策略一：運用比例計算類綜合與探究：如圖，拋物線經過點，兩點，與軸交于點，點是拋物線上一個動點，設點的橫坐標為．連接，，，．（1）求拋物線的函數表達式；（2）的面積等于的面積的時，求的值；【分析】（1）可重設解析式為交點式：，展開得：，常數項對應相等，-8a=6，解得：，故拋物線解析式為：．（2）考慮△AOC和△BCD并無太多關聯，并且△AOC是確定的三角形，面積可求，故可通過面積比推導△BCD的面積．，，此問題變為面積定值問題，就不難了．【小結】利用面積比計算出所求三角形面積，再運用處理面積定值的方法即可解決問題．策略二：轉化面積比如圖，B、D、C三點共線，考慮△ABD和△ACD面積之比．轉化為底：共高，面積之比化為底邊之比：則．更一般地，對于共邊的兩三角形△ABD和△ACD，連接BC，與AD交于點E，則．策略三：進階版轉化在有些問題中，高或底邊并不容易表示，所以還需在此基礎上進一步轉化為其他線段比值，比如常見有：“A”字型線段比、“8”字型線段比．“A”字型線段比：．“8”字型線段比：．以2019連云港中考填空壓軸為例：【2019連云港中考】如圖，在矩形中，，，以點為圓心作與直線相切，點是上一個動點，連接交于點，則的最大值是．

【分析】AP、AT均為動線段，并不易于分析比值的最大值，故需轉化線段．構造“A”字型線段比：過點P作PQ∥DB與AB的延寬線交于點Q，由平行得：，若要取到最大值，只要AQ最大即可．BC=3，，，，，，故最大值為．思路2：構造“8”字型線段比是否可行？雖然問題是的比值，為便于構造“8”字，可轉化為“+1”，即求的最大值，過點P作PQ∥AB交BD延寬線于Q點，可得：，考慮到AB是定線段，故只要PQ最大即可．但是本題P點在圓上運動，故很難分析出點P在何位置，PQ取到最大值，若P點換個軌跡路線，或許就很容易分析了．二、典例精析例一、已知拋物線經過點和點，與軸交于點，點為第二象限內拋物線上的動點．（1）拋物線的解析式為，拋物線的頂點坐標為；（2）如圖，連接交于點，當時，請求出點的坐標．【分析】（1）；頂點坐標為（-1,4）．（2）根據可得CD：BD=1：2，故D點是線段BC靠近點C的三等分點，又B（-3,0）、C（0,3），∴D點坐標為（-1,2）．例二、如圖，拋物線與軸交于點和點（點在原點的左側，點在原點的右側），與軸交于點，．（1）求該拋物線的函數解析式．（2）如圖，連接，點是直線上方拋物線上的點，連接，．交于點，當時，求點的坐標．【分析】（1）解析式：（2）顯然△COF和△CDF共高，可將面積之比化為底邊之比．，思路1：轉化底邊之比為“A”字型線段比在y軸上取點E（0，5），（為何是這個點？因此此時OC：CE=3：2）過點E作BC的平行線交x軸于G點，EG與拋物線交點即為所求D點，根據平行線分線段成比例，OF：FD=OC：CE=3：2．直線EG解析式為：y=-x+5，與拋物線聯立方程，得：，解得：，．故D點坐標為（1，4）或（2，3）．思路2：轉化底邊之比為“8”字型線段比過點D作DG∥y軸交BC邊于點G，則，又OC=3，故點G滿足DG=2即可．這個問題設D點坐標即可求解．也可以構造水平“8”字，過點D作DG∥x軸交BC于點G，則，又OB=3，∴DG=2即可．但此處問題在于水平線段不如豎直線段易求，方法可行但不建議．其實本題分析點的位置也能解：思路3：設點D坐標為，根據OF：DF=3：2，可得F點坐標為，點F在直線BC上，將點坐標代入直線BC解析式：y=-x+3，，解得，，故D點坐標為（1，4）或（2，3）．這個計算的方法要求能理解比例與點坐標之間的關系，即由D點坐標如何得到F點坐標．三、中考真題演練1．（2023·山東青島·中考真題）許多數學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發現數學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨，的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，，關于y軸對稱．分米，點A到x軸的距離是分米，A，B兩點之間的距離是4分米．

(1)求拋物線的表達式；(2)分別延寬，交拋物線于點F，E，求E，F兩點之間的距離；(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為，將拋物線向右平移個單位，得到一條3．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，交軸于點．(1)求拋物線的解析式．(2)拋物線上是否存在一點，使得，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2023·湖北十堰·中考真題）已知拋物線過點和點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點在線段上（與點不重合），點是的中點，連接，過點作交于點，連接，當面積是面積的3倍時，求點的坐標；5．（2023·湖南永州·中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數）經過點，頂點坐標為，點為拋物線上的動點，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，直線交于點，求的最大值；6．（2023·四川遂寧·中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線經過點，，對稱軸過點，，直線過點，且垂直于軸．過點的直線交拋物線于點、，交直線于點，其中點、Q在拋物線對稱軸的左側．

(1)求拋物線的解析式；(3)如圖2，當點恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點，連接、，其中交于點，設的面積為，的面積為．求的最大值．專題03面積比例問題一、知識導航除了三角形、四邊形面積計算之外，面積比例也是中考題中常見的條件或結論，對面積比例的分析，往往比求面積要復雜得多，這也算是面積問題中最難的一類．大部分題目的處理方法可以總結為兩種：（1）計算；（2）轉化．本文結合19年各地中考題，簡要介紹關于比例條件的一些運用方法．策略一：運用比例計算類綜合與探究：如圖，拋物線經過點，兩點，與軸交于點，點是拋物線上一個動點，設點的橫坐標為．連接，，，．（1）求拋物線的函數表達式；（2）的面積等于的面積的時，求的值；【分析】（1）可重設解析式為交點式：，展開得：，常數項對應相等，-8a=6，解得：，故拋物線解析式為：．（2）考慮△AOC和△BCD并無太多關聯，并且△AOC是確定的三角形，面積可求，故可通過面積比推導△BCD的面積．，，此問題變為面積定值問題，就不難了．【小結】利用面積比計算出所求三角形面積，再運用處理面積定值的方法即可解決問題．策略二：轉化面積比如圖，B、D、C三點共線，考慮△ABD和△ACD面積之比．轉化為底：共高，面積之比化為底邊之比：則．更一般地，對于共邊的兩三角形△ABD和△ACD，連接BC，與AD交于點E，則．策略三：進階版轉化在有些問題中，高或底邊并不容易表示，所以還需在此基礎上進一步轉化為其他線段比值，比如常見有：“A”字型線段比、“8”字型線段比．“A”字型線段比：．“8”字型線段比：．以2019連云港中考填空壓軸為例：【2019連云港中考】如圖，在矩形中，，，以點為圓心作與直線相切，點是上一個動點，連接交于點，則的最大值是．

【分析】AP、AT均為動線段，并不易于分析比值的最大值，故需轉化線段．構造“A”字型線段比：過點P作PQ∥DB與AB的延寬線交于點Q，由平行得：，若要取到最大值，只要AQ最大即可．BC=3，，，，，，故最大值為．思路2：構造“8”字型線段比是否可行？雖然問題是的比值，為便于構造“8”字，可轉化為“+1”，即求的最大值，過點P作PQ∥AB交BD延寬線于Q點，可得：，考慮到AB是定線段，故只要PQ最大即可．但是本題P點在圓上運動，故很難分析出點P在何位置，PQ取到最大值，若P點換個軌跡路線，或許就很容易分析了．二、典例精析例一、已知拋物線經過點和點，與軸交于點，點為第二象限內拋物線上的動點．（1）拋物線的解析式為，拋物線的頂點坐標為；（2）如圖，連接交于點，當時，請求出點的坐標．【分析】（1）；頂點坐標為（-1,4）．（2）根據可得CD：BD=1：2，故D點是線段BC靠近點C的三等分點，又B（-3,0）、C（0,3），∴D點坐標為（-1,2）．例二、如圖，拋物線與軸交于點和點（點在原點的左側，點在原點的右側），與軸交于點，．（1）求該拋物線的函數解析式．（2）如圖，連接，點是直線上方拋物線上的點，連接，．交于點，當時，求點的坐標．【分析】（1）解析式：（2）顯然△COF和△CDF共高，可將面積之比化為底邊之比．，思路1：轉化底邊之比為“A”字型線段比在y軸上取點E（0，5），（為何是這個點？因此此時OC：CE=3：2）過點E作BC的平行線交x軸于G點，EG與拋物線交點即為所求D點，根據平行線分線段成比例，OF：FD=OC：CE=3：2．直線EG解析式為：y=-x+5，與拋物線聯立方程，得：，解得：，．故D點坐標為（1，4）或（2，3）．思路2：轉化底邊之比為“8”字型線段比過點D作DG∥y軸交BC邊于點G，則，又OC=3，故點G滿足DG=2即可．這個問題設D點坐標即可求解．也可以構造水平“8”字，過點D作DG∥x軸交BC于點G，則，又OB=3，∴DG=2即可．但此處問題在于水平線段不如豎直線段易求，方法可行但不建議．其實本題分析點的位置也能解：思路3：設點D坐標為，根據OF：DF=3：2，可得F點坐標為，點F在直線BC上，將點坐標代入直線BC解析式：y=-x+3，，解得，，故D點坐標為（1，4）或（2，3）．這個計算的方法要求能理解比例與點坐標之間的關系，即由D點坐標如何得到F點坐標．三、中考真題演練1．（2023·山東青島·中考真題）許多數學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發現數學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨，的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，，關于y軸對稱．分米，點A到x軸的距離是分米，A，B兩點之間的距離是4分米．

(1)求拋物線的表達式；(2)分別延寬，交拋物線于點F，E，求E，F兩點之間的距離；(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為，將拋物線向右平移個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為．若，求m的值．【答案】(1)；(2)(3)2或4；【分析】（1）根據題意得到，，，設拋物線的解析式為代入求解即可得到答案；（2）分別求出，所在直線的解析式，求出與拋物線的交點F，E即可得到答案；（3）求出拋物線與坐標軸的交點得到，表示出新拋物線找到交點得到，根據面積公式列方程求解即可得到答案；【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，由題意可得，，，，∴，，把點A坐標代入所設解析式中得：，解得：，∴；（2）解：設的解析式為：，的解析式為：，分別將，代入得，，，解得：，，∴的解析式為：，的解析式為：，聯立直線解析式與拋物線得：，解得（舍去），同理，解，得（舍去），∴，，∴E，F兩點之間的距離為：；（3）解：當時，，解得：，∴，∵拋物線向右平移個單位，∴，當時，，當時，，解得：，∴，∵，∴，解得：，（不符合題意舍去），，（不符合題意舍去），綜上所述：m等于2或4；2．（2023·吉林寬春·中考真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線（是常數）經過點．點的坐標為，點在該拋物線上，橫坐標為．其中．

(1)求該拋物線對應的函數表達式及頂點坐標；(2)當點在軸上時，求點的坐標；(3)該拋物線與軸的左交點為，當拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差為時，求的值．(4)當點在軸上方時，過點作軸于點，連結、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．【答案】(1)；頂點坐標為(2)(3)或(4)或或【分析】（1）將點代入拋物線解析式，待定系數法即可求解；（2）當時，，求得拋物線與軸的交點坐標，根據拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中，得出，即可求解；（3）①如圖所示，當，即時，②當，即時，分別畫出圖形，根據最高點與最低點的縱坐標之差為，建立方程，解方程即可求解；（4）根據在軸的上方，得出，根據題意分三種情況討論①當是的中點，②同理當為的中點時，③，根據題意分別得出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：將點代入拋物線，得，解得：∴拋物線解析式為；∵，∴頂點坐標為，（2）解：由，當時，，解得：，∵拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中．∴∴解得：，∵點的坐標為，∴；（3）①如圖所示，當，即時，

拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點為頂點，最低點為點，∵頂點坐標為，則縱坐標之差為依題意，解得：；②當，即時，

∵，即，依題意，，解得：或（舍去），綜上所述，或；（4）解：如圖所示，

∵在軸的上方，∴∴∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為∴∵,①當是的中點，如圖所示

則，∴代入，即，解得：（舍去）或；②同理當為的中點時，如圖所示，，，則點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，

∴，解得：，③如圖所示，

設，則，∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為∴即∴，∴，∴，∵關于對稱，∴，解得：，綜上所述，或或．【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，二次函數的性質，面積問題，根據題意畫出圖形，分類討論，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．3．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，交軸于點．(1)求拋物線的解析式．(2)拋物線上是否存在一點，使得，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點的坐標為或【分析】（1）采用待定系數法，將點和點坐標直接代入拋物線，即可求得拋物線的解析式．（2）過線段的中點，且與平行的直線上的點與點，點連線組成的三角形的面積都等于，則此直線與拋物線的交點即為所求；求出此直線的解析式，與拋物線解析式聯立，即可求得答案．【詳解】（1）解：因為拋物線經過點和點兩點，所以，解得，所以拋物線解析式為：．（2）解：如圖，設線段的中點為，可知點的坐標為，過點作與平行的直線，假設與拋物線交于點，（在的左邊），（在圖中未能顯示）．設直線的函數解析式為．因為直線經過點和，所以，解得，所以，直線的函數解析式為：．

又，可設直線的函數解析式為，因為直線經過點，所以．解得．所以，直線的函數解析式為．根據題意可知，．又，所以，直線上任意一點與點，點連線組成的的面積都滿足．所以，直線與拋物線的交點，即為所求，可得，化簡，得，解得，所以，點的坐標為，點的坐標為．故答案為：存在，點的坐標為或．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象和性質、一次函數的圖象和性質、一元二次方程、一元一次方程等，靈活結合二次函數和一次函數圖象特點是解題的關鍵．4．（2023·湖北十堰·中考真題）已知拋物線過點和點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點在線段上（與點不重合），點是的中點，連接，過點作交于點，連接，當面積是面積的3倍時，求點的坐標；【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）待定系數法求得直線的解析式為，設，過點作交的延寬線于點，則，則的坐標為，得出是等腰直角三角形，設，則，證明，相似三角形的性質得出，則，可得，當面積是面積的3倍時，即，即，在中，，解方程即可求解；【詳解】（1）解：∵拋物線過點和點，∴解得：∴拋物線解析式為；（2）∵拋物線與軸交于點，當時，，∴，則，∵，∴，，∵點是的中點，則，∴，設直線的解析式為，∵點和點，∴解得：∴直線的解析式為，設，如圖所示，過點作交的延寬線于點，則，則的坐標為，

∴，∴，∴是等腰直角三角形，設，則，∵，∴