哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講選擇考試的的專業技術基礎課，是以上所述所有專業的公共基礎。因此，理論力學中所建立的基本概念、處理問題的思想和解決問題的相應方法具有普適性。2．現行通用的理論力學課程和考研內容體系：第一部分為剛體靜力學理論，包括空間和平面各類平衡力系的簡化理論和平衡方程的應用以及摩擦專題；第二部分為點和剛體的運動學理論，包括點的運動學(基本描述理論和復合運動理論)以及剛體平動、剛體定軸轉動和剛體平面運動的運動學理論；第三部分為質點和剛體的動力學理論，包括牛頓三大定律、動力學三大普遍定理、達朗伯原理、虛位移原理和分析力學初步。3．針對不同學科的考研學生，理論力學的考察情況亦有不同側重。總體而論：對機械類、航空航天類等相關專業的考研學生，第二部分(機構運動學)和第三部分 (機構動力學)要求較高；對土木類、水利水工類等相關專業的考研學生，第一部分(剛體靜力學)和第三部分 (機構動力學)要求較高；4．學習理論力學時的問題和難以理解的原因： (1)“似曾相識”感覺的欺騙性：例各構件的受力圖。答案：—2—2．(1)慣性(參考)坐標系的定義？牛頓第二定律中，令F＝0a＝0。則是否第一定律是第二定律的特例？ (2)基本概念的嚴謹性和理論體系的嚴密性：例質點系對某點的動量矩是否等于質點系總動量對同一點之矩？ (3)數學工具應用的難度和生疏性：求當系統微幅振動時的運動規律。λ＝±ωi＝±9mgl＋6ki··應用運動初始條件確定積分常數C1和C2，略。 (4)動力學問題處理方法的多樣性：例平面機構如圖(a)所示，質量均為m的鼓輪和物塊A以不計質量不打滑的細繩 徑ρ＝^2r，水平彈簧的剛度系數為k。初始時彈簧原長，系統靜止，求：物塊A下落高度h時：物塊A的加速度a和軸承O處的反力。哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—3— 第一章靜力學公理和物體的受力分析1．靜力學公理(五公理、二推論)的適用范圍2．二力物體(構件)的概念；力的可傳性原理與三力平衡匯交定理的應用3．物體(系統)受力圖的繪制本章內容的考研題型以填空、選擇、簡答為主，不會有大題出現，常將有關概念融匯于受力圖的分析之中。作受力圖要注意對約束(反)力的分析。同時，受力圖也是以后很多部分的共同基礎。第二章平面基本力系2．平面基本力系的平衡條件3．平面基本力系平衡方程的應用第三章平面任意力系1．平面任意(一般)力系特征量(主矢、對某點的主矩)的概念以及計算2．平面任意(一般)力系的簡化結論及其應用3．不考慮摩擦作用時物體系統平衡問題的求解4．平面簡單理想桁架在外力系給定時其中零力桿的判定5．定問題和超靜定問題(靜不定問題)的概念本章是靜力學部分的重點章節，考研題型必有計算大題出現；另外也常以填空、選念的理解；對考點3的考查則重于計算和對各類平衡方程的綜合應用，并常將二力物體的考察融于其中。—4—第四章空間力系1．空間力對點之矩與力對軸之矩的概念與計算2．簡單空間力系、特別是簡單空間任意(一般)力系的簡化3．力螺旋的概念及其分類4．重心的簡單計算本章內容的考研題型沒有大題出現，常以填空、選擇、簡答等題型考查對概念的理解，故本章的復習應側重于概念和簡單的計算。第五章摩擦1．庫侖摩擦定律2．滾動摩阻力偶的概念及性質3．用摩擦角和自鎖條件分析考慮摩擦作用時物體系統的平衡問題(幾何法)4．考慮摩擦作用時物體系統平衡問題的求解(解析法)： (1)判定在已知條件下系統能否平衡(滑倒、翻倒) (2)求系統能保持平衡的相關參數(力參數、位置參數) (3)由摩擦構成的靜不定問題本章內容的考研題型常以填空、選擇、簡答等題型考查對概念的理解，鮮有大題出第六章點的運動學系中的表述及其意義本章內容的考研題型常以填空、選擇、簡答等為主，多為考查自然系中描述結果的力第七章剛體的簡單(基本)運動2．定軸轉動剛體上各點速度和加速度的描述哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—5—本章內容的考研題型常以填空、選擇、簡答等為主，不會有單獨的大題出現，但后續的機構運動學問題中必會涉及剛體平動和定軸轉動問題的考查。第八章點的合成(復合)運動1．點的三種運動的相關概念及其計算2．科氏加速度的概念及其計算3．點的速度合成定理和加速度合成定理的應用本章是運動學部分的重點章節，考研題型必有計算大題出現；另外也常以填空、選的理解；對考點3的考查則重于計算和綜合應用，共有三種題目類型。第九章剛體的平面運動1．剛體平面運動的分解描述；運動方程2．平面圖形方位角、角位移、角速度和角加速的概念3．速度瞬心的概念及其位置的確定方法4．求平面圖形內任一點速度和加速度的問題本章是運動學部分的重點章節，考研題型必有計算大題出現，考查求圖形內指定點加第十章質點動力學基本方程1．用質點運動微分方程求解質點動力學逆問題本章內容的考研題型沒有大題出現，常以填空、選擇、簡答等題型考查對概念的理解和對質點動力學逆問題的簡單計算，但本章內容是后續動力學各章內容的基礎。第十一章動量定理1．質點及剛體(系)動量的計算2．動量定理(含動量守恒定律)和質心運動定理(含質心運動守恒定律)的應用3．剛體系統動量定理(含動量守恒定律)和剛體系統質心運動定理(含質心運動守—6—恒定律)的應用動量定理是動力學三大普遍定理之一。本章是動力學部分的重點章節，考研題型除常以填空、選擇、簡答等形式考查對概念的理解外，也經常以計算大題考查本章定理和定律的應用，既有考查單獨應用的計算大題，也常在考查動力學普遍定理綜合應用的計算大題中涉及本章內容。第十二章動量矩定理1．質點及剛體(系)動量對點之矩的計算和對軸之矩的計算2．定軸轉動剛體對轉軸的動量矩的計算3．質點系相對定點和質心的動量矩定理4．剛體定軸轉動微分方程的應用5．剛體平面運動微分方程(一般形式、特殊形式)的應用動量矩定理是動力學三大普遍定理之一。本章是動力學部分的重點章節，考研題型除的應用，既有考查單獨應用的計算大題，特別是常考查剛體定軸轉動微分方程和剛體平面運動微分方程的應用，也常在考查動力學普遍定理綜合應用的計算大題中涉及本章內容。第十三章動能定理1．力(系)元功和有限功的計算2．剛體平動、定軸轉動、平面運動時動能的計算3．應用動能定理(積分式、微分式、導數式)和機械能守恒定律(積分式、導數式)求解單自由度剛體系統的動力學問題4．動力學普遍定理綜合應用求解剛體系統的動力學問題動能定理是動力學三大普遍定理之一。本章是動力學部分的重點章節，考研題型除常以填空、選擇、簡答等形式考查對概念的理解外，也經常以計算大題考查本章定理和定律的應用，既有考查單獨應用的計算大題，也常在考查動力學普遍定理綜合應用的計算大題中涉及本章內容。第十四章達朗貝爾原理哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—7—2．動平衡的概念3．用動靜法求解剛體系統的動力學問題本章是動力學部分的重點章節，考研題型除常以填空、選擇、簡答等形式考查對概念的理解外，也經常以計算大題考查動靜法的應用。第十五章虛位移原理本章內容的考研題型除常以填空、選擇、簡答等形式考查對概念的理解外，也經常以計算題考查虛位移原理的應用。第十六章分析力學初步2．第二類拉格朗日方程及其應用3．第二類拉格朗日方程的首積分本章是動力學部分的專題章節，考研題型常以計算大題考查具體的應用，特別是容易考察第二類拉格朗日方程在微振動系統中的應用問題。 (二)復習思路以基本概念為支撐；以動力學為綱；以時間描述和空間描述為界；以矢量法(幾何法)和解析法為目；以典型數學技巧為輔助；以統一觀點看待動、靜力學問題。點歸納(按照章節順序進行)：第一章二力物體(構件)的概念★★★☆一個銷釘同時連接多個構件，受集中力作用時的受力分析★★☆☆物體(系統)受力圖的繪制★★★★第二章平面基本力系的平衡條件★☆☆☆能會考到平面基本力系平衡方程的應用★★★☆第三章平面任意力系特征量的概念以及計算★★☆☆平面任意力系的簡化結論及其應用★★★☆不考慮摩擦作用時物體系統平衡問題的求解★★★★★★☆☆第四章空間力對點之矩與力對軸之矩的概念與計算★★★☆簡單空間任意力系的簡化★★★☆力螺旋的概念及其分類★☆☆☆能會考到重心的簡單計算★★☆☆第五章滾動摩阻力偶的概念及性質★☆☆☆能會考到用摩擦角和自鎖條件分析考慮摩擦作用時物體系統的平衡問題(幾何法)★★★☆考慮摩擦作用時物體系統平衡問題的求解(解析法)★★★☆求解由摩擦構成的靜不定問題★★☆☆第六章點的速度、加速度和運動方程在自然坐標系中的表述及其意義★★★★同一動點的運動學參量在直角坐標系和自然坐標系中的轉換描述及相應問題的求解★★☆☆第七章剛體平動和定軸轉動的特征★★★★定軸轉動剛體上各點速度和加速度的描述★★★★第八章點的三種運動的相關概念及其計算★★☆☆科氏加速度的概念及其計算★★★☆點的速度合成定理和加速度合成定理的應用★★★★哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—9—第九章剛體平面運動的分解描述★★☆☆角、角位移、角速度和角加速的概念★★☆☆剛體瞬時平動的特征★★★☆速度瞬心的概念及其位置的確定方法★★★☆求平面圖形內任一點速度和加速度的問題★★★★第十章慣性坐標系的概念★☆☆☆能會考到用質點運動微分方程求解質點動力學逆問題★★☆☆第十一章質點及剛體(系)動量的計算★★★☆動量定理(含動量守恒定律)和質心運動定理 (含質心運動守恒定律)的應用★★★☆剛體系統動量定理(含動量守恒定律)和剛體系統質心運動定理(含質心運動守恒定律)的應用★★★★第十二章質點及剛體(系)動量對點之矩的計算和對軸之矩的計算★★★☆定軸轉動剛體對轉軸的動量矩的計算★★☆☆質點系相對定點和質心的動量矩定理★★★☆剛體定軸轉動微分方程的應用★★★★剛體平面運動微分方程(一般形式、特殊形式)的應用★★★★第十三章力(系)元功和有限功的計算★☆☆☆能會考到算★★★☆ (積分式、導數式)求解單自由度剛體系統的動力學問題★★★☆動力學普遍定理綜合應用求解剛體系統的動力學問題★★★★第十四章的簡化★★★☆動平衡的概念★☆☆☆能會考到用動靜法求解剛體系統的動力學問題★★★★第十五章★★☆☆虛位移原理的應用★★☆☆第十六章動力學普遍方程及其應用★★★☆第二類拉格朗日方程及其應用★★★☆第二類拉格朗日方程的首積分★☆☆☆能會考到①總開場白導思路及輔導的優勢。老師要在課程開場五分鐘內就能夠吸引考生，讓考生對本門課程“如何復習”能夠有豁然開朗的感覺！開場白是很重要的課程營銷，老師對本門課程考研的理解和把握講解越到位，考生針對性。(至少5張以上PPT，10分鐘左右講解)ⅱ本課程所依據的權威教材，可以告訴考生，若使用的是其它極為相似的同類教材也可通過學習本課程來復習備考！若教材版本有差別，老師一定要加以說明，對版本的區別加以弱化，讓使用不同版本教材的考PPT哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講1：靜力學公理(五公理、二推論)的適用范圍靜力學公理及其適用范圍(條件)1．二力平衡公理：剛體在兩個力作用下保持平衡的充要條件是這兩個力等值、反向、共線。提問：若為非剛體(即變形體)，則會怎樣？(必要不充分條件)概念2：平衡力系：使物體保持相對慣性系做慣性運動的力系。概念3：二力物體(構件)：兩個力作用下平衡的剛體。2．加減平衡力系公理：在作用于剛體的已知力系中加上或減去任意多個平衡力系，都不會改變原力系對剛體已經產生的作用效果。提問：若為非剛體(即變形體)，則會怎樣？(結論不成立)作用于剛體的力可沿其作用線在剛體內任意滑移，都不會改變此力系剛體已經產生的作用效果。3．剛化(硬化)公理：當變形體在某力系作用下處于平衡狀態時，若在該位置將此變形體剛化(硬化)為剛體，則其平衡狀態保持不變。注意：可以進行剛化處理的前提條件。作用：此公理可使我們將剛體的平衡條件應用于變形體。力的平行四邊形法則：作用于物體上同一點的兩個力可以合成為作用于該點的一個合力，此合力的大小和方向(力矢)由此二力力矢為鄰邊構成的平行四邊形的對角線確定，即合力矢等于二分力矢的矢量和。提問1：結論的成立與否一定要求受力體為剛體嗎？(否)提問2：多個共點力時又如何？(可以逐次應用結論)提問3：法則是否適用于其他矢量的求和運算？(是)若剛體在三個力作用下處于平衡狀態，當其中兩個力的作用線匯交于一點時，第三個力的作用線也必定通過此匯交點，且此三力必定共面。注意：結論成立的前提條件。提問：若為非剛體(即變形體)，則會怎樣？(結論不成立)作用力與反作用總是同時存在、同時消失，大小相等、方向相反，沿同一直線分別作用于兩個相互作用的物體上。提問：結論的成立與否一定要求受力體為剛體嗎？(否)體)例判斷下列論述是否正確 (1)一物體在在兩個力作用下保持平衡的充要條件是這兩個力等值、反向、共線。 () (2)若作用在剛體上的三個力的作用線共面且匯交于一點，則此剛體必處于平衡狀 a)所示，不計各物塊的變形，將力P沿其作用線滑移到A、D塊的交界處，然后做出D塊的受力圖(b)，圖(b)是否正確？(否)考點2：六種常見約束所提供的約束(反)力的特征和物體 一、六種常見約束所提供的約束(反)力的特征約束(柔繩約束、光滑面約束、光滑圓柱鉸鏈約束、固定鉸鏈約束、活動鉸鏈約束、球鉸鏈約束)所提供的約束(反)力的特征及其本質，能正確、靈活的進行反力的分析。哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講二、物體(系統)的受力圖步驟：(1)明確研究對象； (2)取分離體(必不可少)； (3)受力分析：先畫主動力，后畫約束反力。只能畫外力，不能畫內力。注意：(1)二力物體的判定(突破口)； (2)受力分析時不要將力進行滑移； (3)作用力與反作用的表示。例各構件的受力圖。圖所示，不計各構件自重及摩擦，分別作出各構件的受力圖。，不計各構件自重及摩擦，分別作出各構件的受力圖。哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講面結構如圖所示，不計各構件自重及摩擦，分別作出各構件的受力圖。答案：考點1：平面力對點之矩的概念及其計算意義：力對受力體產生的繞矩心的轉動效果的度量。提問1：為何要以逆時針方向為正？(為與空間情形的規定統一)2．平面情形的合力矩定理：MO(R)＝∑MO(Fi)若平面力系存在合力，則力系的合力對平面內某點之矩必等于力系中各分力對同一點之矩之代數和。注意：結論成立的前提條件。例圖示偏心手柄上作用已知力F，AC＝l，求此力對支點O之矩MO(F)。答案：MO(F)＝MO(Fx)＋MC(Fy)考點2：若干相關概念1．力系的等效：兩效應完全相同的力系互稱為等效力系2．力系的簡化：在保證效應相同的前提下，以較簡單的力系等效代替較復雜力系的過程哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講系中各分力滿足的條件稱為平衡條件；平衡條件的數學表示式稱為平衡方程注意：平衡條件是力系平衡的充分條件？必要條件？還是充要條件？ (1)力偶：等值、反向、不共線的一對力構成的力系(F，F′)。 (2)性質：1)力偶無合力，故力偶不能與力等效，只能與力偶等效；2)力偶對剛體只能產生轉動效應。 (3)平面力偶的力偶矩：M＝±Fd＝±F′d力偶轉動效應的唯一度量量，與矩心的位置無關。 (4)力偶的三要素：力偶的作用面、對應力偶矩的大小和其在力偶的作用面內的方 (5)兩力偶等效一兩力偶的力偶矩相等(條件：兩力偶作用于同一剛體上)。 (6)力偶系：考點3：平面匯交力系和平面力偶系的簡化及平衡平面匯交(共點)力系；平面力偶系；平面一般(任意)力系；平面平行力系提問：匯交力系和共點力系有區別嗎？(有)2．平面匯交(共點)力系的簡化、平衡條件及平衡方程： (1)簡化：必可簡化為一作用線過匯交點的合力，合力系的力矢R＝∑Fi； (2)平面匯交(共點)力系平衡一力的多邊形自行封閉(幾何表現)一合力R＝0一合力的模R＝＝0一(解析表現)提問：上述平衡方程中兩方程式獨立的條件是什么？(x0×y0≠0) (1)簡化：必可簡化為一合力偶，合力偶的力偶矩M＝∑Mi； (2)平面力偶系平衡一力合力偶的力偶矩M＝0一∑Mi＝0。例 〈22 AD如圖(b)，有：或解： 〈2222 AD如圖(b)，有：技巧：因力的投影軸可任取，可靈活選擇力的投影軸，以避開求解聯立方程組。哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講力系的特征量—主矢；對某點的主矩內效應和外效應(剛體只可能產生外效應)2．力(系)外效應的分類 (1)力系的主矢：R＝∑Fi概念：力系中各力力矢的矢量和。意義：描述力(系)使剛體平移的效應。 (2)平面力系對某點的主矩：MO＝∑MO(Fi)概念：力系中各分力對平面內某點O之矩的代數和。特征：大小、方向(即符號)一般與矩心的位置有關。意義：描述力(系)使剛體繞矩心轉動的效應。4．提問：力系的特征量的概念是否適用于平面匯交力系和平面力偶系？是否適用于空間力系？(適用)考點2：平面任意(一般)力系的簡化及平衡1．平面一般(任意)力系的簡化、平衡條件及平衡方程： (1)力的平移定理：M＝MB(F)—20—M力的平移定理的逆定理：MMB(F)F提問2：d的正負號代表什么含義？ (A點在B點的左側還是右側) 可見：平面一般(任意)力系向作用面內任一點簡化，若主矢非零，則必可簡化為一合力；若主矢為零，對簡化中心的主矩非零，則必可簡化為一合力偶，且此時主矩與簡化中心無關；若主矢和對簡化中心的主矩均為零一力系平衡。 (∑MA((∑MA(Fi＝0|＝0一〈∑MB(Fi)＝0(A、B、C三點不共線)三矩式∑MC(Fi)＝0 (1)簡化：若主矢非零，則必可簡化為一合力；若主矢為零，對簡化中心的主矩非零，哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—21—則必可簡化為一合力偶，且此時主矩與簡化中心無關；若主矢和對簡化中心的主矩均為零一力系平衡。 (2)力系平衡一 (不妨取x軸平行于各力線)一一(x0·AB≠0) (1)常用結論：一矩式(基本式)二矩式物體系統時：必要不充分條件例閉正方形，如圖所示。則此剛體()—22—2．某平面力系向任一點簡化的結果均相同，則此力系()1)根據力的平移定理，可以將一個力分解為另一個力和一個力偶；反之，一個力和一個力偶可以合成為一個合力。()2)同一平面內的兩個力，只要不構成力偶，都可以合成為一個力。()4．若一平面任意力系向其作用面內任意兩點簡化所得主矢相等，主矩也相等且主矩5．一平面任意力系向其作用面內O點簡化后，得到如圖所示的一個力和一個力偶矩為的力偶，則該力系簡化的最后結果是()A．作用在O點的一個合力；C．作用在O點左側某點的一個合力；D．作用在O點右側某點的一個合力D．與簡化中心有關哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—23—答案：MO(F)＝M＋MO(F)＝MC(F)＋MO(F)＝MC(Fx)＋MC(Fy)＋MO(F)考點3：求平面簡單理想桁架桿件內力的方法及在外力(系)給定時其中零(力)桿的判定1)一次性截開的桿件根數一般不要超過三個，除非被截開桿件的內力多于兩個匯交于同一點；2)不一定必須是平面去截開，曲面也可以。3．外力系給定時桁架中零(力)桿的判定：什么？(否)例—24— (1)以圖一所示部分為對象：〈33 (2)以圖二所示部分為對象：〈3NBD32．不經計算，寫出圖示平面桁架中所有零力桿的標號。哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—25—答案： (2)以圖(c)所示部分為對象， ∑MB＝0，－FCD·DB－F·DF·sin60°＝0考點4：不考慮摩擦作用時物體系統平衡問題的求解解題要點：(1)研究對象的選取； (2)靈活分析受力，特別是約束(反)力； (3)靈活選用平衡方程；選取力的投影軸。例大小以及水平地面的約束反力。—26—3ABa)所示： (2)以凸輪為對象，分析受力如圖(b)所示：(|N＝^(〈33 (2)以凸輪為對象：結果同上。哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—27—2．平面結構如圖(a)所示，已知水平力P、鉛垂力Q和力偶矩為M的平面力偶。K受力。解：(1)以DE桿為對象，分析受力如圖(b)所示： (2)以整體為對象，分析受力如圖(c)所示：MBMYAaP·2b＋Q·a＝0YA＝－－ (3)以如圖(d)所示部分為對象：| (4)再以整體為對象，分析受力如圖(c)所示： (2)以如圖(e)所示部分為對象：∑MB＝0，－N′D·b－YA·2a－P·2b＋Q·a＝0YA＝－－ (2)以整體為對象，分析受力如圖(c)所示：∑MA＝0，－M＋YB·2a－P·2b－Q·a＝0YB＝＋＋ (3)以如圖(f)所示部分為對象：MCXBbYBa－Q·a＝0||—28— (4)再以整體為對象，分析受力如圖(c)所示：C處所受的力。解：(1)以桿DEF為對象，受力分析如圖(b)所示： (1)哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—29— (2)以桿ABC為對象，受力分析如圖(c)所示： (2)|∑MA＝0，F (2) (1)、(2)聯立，得：〈又解：(1)以整體為對象，受力分析如圖(a)所示： (2)以桿ABC為對象，受力分析如圖(b)所示：〈∑MA＝0，－NC·6－F·4－NBE·^2·2〈∑MA＝0，－NC·6－F·4－NBE·^2·2＝0|—30—載時塔吊均不翻倒，求平衡錘的最小重量P2以及平衡錘到左軌的最大距離x。解：以塔吊整體為對象，受力分析如圖(b)所示：CDe)所示：哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—31— (2)以桿BC為對象，分析受力如圖(c)所示： (3)以銷釘B為對象，分析受力如圖(d)所示： (4)以桿AB為對象，分析受力如圖(b)所示：∑MA＝0，MA＋F′B2x·3a－F′B2y·a－q·3a·a＝0|〈FAy＝F＋qa不計各桿和輪的自重以及各處的摩擦，求彎桿DB的B端所受的力。—32—解：(1)以整體為對象，分析受力如圖(a)所示： (2)分別以銷釘D、B為對象，分析受力如圖(b)所示，對銷釘D： (3)以如圖(c)所示部分為對象： (4)以如圖(d)所示桿ACB為對象：∑MC＝0，－YA·AC－Y′B·BC＝0Y′B＝－2YA(2)直桿在D、E、H處分別以鉸鏈連接。已知水平力P以及尺寸a、b和角度自重和摩擦，求鉸鏈H對桿CH的約束力(要求：所用平衡方程不得超過三個)。哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—33—解：(1)以整體為對象，分析受力如圖(a)所示： (2)以桿CH為對象，分析受力如圖(b)所示：ME＝0，N1·－P·cosθ＝0N1＝Pcosθ (3)以如圖(c)所示部分為對象：已知水平力P以及力偶矩為M的平面力偶如圖所示，求：BD桿兩端所受的銷釘的力(要求：所用平衡方程不得超過三個)。—34—解：(1)以整體為對象，分析受力如圖(b)所示： (2)以如圖(c)所示部分為對象： (3)以桿BD為對象，分析受力如圖(d)所示：哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—35—考點1：空間力對點之矩與力對軸之矩的概念與計算—→定義：MO(F)＝OA×F＝r×F(矢量)意義：力對受力體產生的繞矩心的轉動效果的度量。特征：大小、方向(繞向)一般與矩心的位置有關。三要素：大小、方向、矩心(故力矩MO(F)必須由矩心畫出)。ixXjkzZ提問：何時力對點之矩為零？(力的作用線通過矩心時)比較：空間力對點之矩和平面力對點之矩的符號規定—均滿足右手螺旋法則定義1：力F對任意軸l之矩定義為此力在與該軸相垂直的平面α上的投影Fα對該軸與此投影平面的交點之矩(代數量)。定義2：力F對任意軸l之矩定義為此力對該軸上任意一點A之矩在該軸上的投影 (代數量)。若l0為該軸正向的單位矢量，則：Ml(F)＝MA(F)·l0意義：力對受力體產生的繞此軸的轉動效果的度量。提問：何時力對軸之矩為零？(力的作用線與軸共面(即平行或相交)時)—36—O為原點建立直角坐標系，則：MO(F)＝Mx(F)i＋My(F)j＋Mz(F)k＝(yZ－zY)i＋(zX－xZ)j＋(xY－yX)k考點2：若干概念矩定理：MO(R)＝∑MO(Fi)若力系存在合力，則力系的合力對(空間內)某點之矩必等于力系中各分力對同一點之矩之矢量和；力系的合力對(空間內)某軸之矩必等于力系中各分力對同一軸之矩之代數和。注意：結論成立的前提條件。—→—→ (1)空間力偶的力偶矩(矢)：M＝BA×F＝AB×F′力偶轉動效應的唯一度量量(矢量)，與矩心的位置無關。 要素：力偶的作用面、對應力偶矩的大小和其在力偶的作用面內的方向。 (3)兩力偶等效一兩力偶的力偶矩(矢)相等(條件：兩力偶作用于同一剛體上)。 (4)空間力偶系：3．空間力系的特征量—主矢；對某點的主矩 (1)空間力系的主矢：R＝∑Fi概念：力系中各力力矢的矢量和。意義：描述力(系)使剛體平移的效應。 (2)空間力系對某點的主矩：MO＝∑MO(Fi)概念：力系中各分力對空間內某點O之矩的矢量和。特征：大小、方向(即繞向)一般與矩心的位置有關。意義：描述力(系)使剛體繞矩心轉動的效應。哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—37—例如圖所示，邊長為a的立方體A、B、C三頂點及上表面分別作用有已知力F1、ijk—→－F－FFijkijk—→－F－FFijk—→F0Fijk—→F0Fijk—→—→a )也可由合力矩定理求力F1、F2對O點之矩，略。空間匯交(共點)力系；空間力偶系；空間一般(任意)力系；空間平行力系—38—2．空間匯交(共點)力系的簡化、平衡條件及平衡方程 (1)簡化：必可簡化為一作用線過匯交點的合力，合力的力矢R＝∑Fi； (2)空間匯交(共點)力系平衡一力的多邊形自行封閉(幾何表現)一合力R＝0一合力的模提問：上述平衡方程中三個方程式獨立的條件是什么？ (1)簡化：必可簡化為一合力偶，合力偶的力偶矩矢M＝∑Mi； (2)空間力偶系平衡一合力偶的力偶矩矢|M＝0一∑Mi＝0一〈∑My＝0。4．空間一般(任意)力系的簡化、平衡條件及平衡方程 (1)空間情形力的平移定理和力的平移定理的逆定理： i2)R＝0，MO≠0：合力偶(此時主矩與簡化中心無關)；3)R≠0，MO≠0：a)R·MO＝0：合力(作用線不過O點)；b)R·MO≠0：力螺旋；可見：空間一般(任意)力系向空間任一點簡化，1)R·MO≠0一簡化結果為力螺旋； (3)空間一般(任意)力系平衡哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講—39—一三矩式(基本式) (1)簡化：若主矢非零，則必可簡化為一合力；若主矢為零，對簡化中心的主矩非零，則必可簡化為一合力偶，且此時主矩與簡化中心無關；若主矢和對簡化中心的主矩均為零一力系平衡。 (2)空間平行力系平衡 (不妨取z軸平行于各力線)一二矩式：1)力螺旋：由一個力和一個力偶矩與此力平行的力偶組成的力系。2)力螺旋的分類：左力螺旋；右力螺旋。如下圖所示：7．空間力系和平面力系簡化結論小結： (1)空間一般(任意)力系簡化為力螺旋一R·MO≠0；空間平行力系(R·MO＝0)不可能簡化為力螺旋；空間力偶系(R＝0)不可能簡化為力螺旋；空間匯交力系(MO＝0)不可能簡化為力螺旋；所有平面力系(R·MO＝0)不可能簡化為力螺旋； (2)空間一般(任意)力系可能的最簡簡化形式：空間匯交力系和平面匯交力系可能的最簡簡化形式：平衡、合力；哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講 δrm＝rδφ方向(或正轉向)應與廣義坐標qj的正方向(或正轉向)一致。考點3：動力學普遍方程及其應用在任意瞬時，作用于雙面、理想約束質點系上的主動力系和達朗伯慣性力系在該質點系的任何一組虛位移上所做的虛功總和為零(達朗伯－－拉格朗日原理)。即：nn∑(Fi＋Gi)·δri＝0一∑(Fi－minn (1)質點系中各質點或各剛體的質心加速度和剛體的角加速度均必須是相對慣性參考系的絕對加速度和絕對角加速度 (2)計算各主動力和各達朗伯慣性力的虛功時所涉及的虛位移均必須是相對慣性參考系的絕對虛位移； (3)計算達朗伯慣性力系的虛功時，只需考慮簡化后的力系的虛功將動力學系統正確施加達朗伯慣性力后，其解題步驟即同虛位移原理。例端固定，自然原長為l0。彈簧在平衡位置的長度為l，以圖示坐標(r，φ)系統的廣義坐標，用動力學普遍方程求出擺在鉛垂平面內的運動方程，并求擺做微小振動時的運動。解：以質點m為對象，分析受力如圖(b)所示，F為彈簧的彈性恢復力。依題：F＝k以質點m為動點，此瞬時動系與彈簧固連，分析速度如圖(e)、分析加速度如圖(f)所示：v＝v＋varea＝a＋a＋retvva·2rφv＋＋2v哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講 (1)施加達朗伯慣性力系的簡化結果：如圖(g)所示： 圖(h)所示：則由動力學普遍方程得： 將(*)與(**)代入上式，得： (***) (***)式即擺在鉛垂平面內的運動方程。則(***)式化為：－gφ糙斜面上，斜面放置于光滑水平面上，初始時系統靜止。將圓輪無初速釋放后，圓輪在斜面上純滾動，用動力學普遍方程列出該系統的運動微分方程。解：以整體為對象，在任意位置分析受力如圖(b)所示。以(x，s)為系統的廣義坐標，則： (1)施加達朗伯慣性力系的簡化結果：如圖(c)所示： 圖(d)所示：將(*)與(**)代入上式，得： 由δx與δs的獨立性，得： 哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講注：(1)式(***)即為該系統的運動微分方程。提問：將上式與動能定理一章第四講所得結果(＃)進行比較：發現第二個式子的形式不一致。為何？答案：將(＃)式的第一式表以廣義坐標形式并代入(＃)式的第二式，化簡后即得(***)式。 (2)求解上式，即可得出斜面的加速度a1＝x¨和均質圓輪相對與斜面的加速度a2＝長度為l，圓盤半徑為r。位于固定圓弧軌道圓心位置的支座O上置有剛度系數為k的扭圓盤純滾動。應用動力學普遍方程，求釋放后：(1)系統的運動微分方程；(2)系統微幅振動的頻率。 (1)分析主動力并施加達朗伯慣性力系的簡化結果：如圖(b)所示： (2)令δφ≠0，方向與系統的廣義坐標φ的正向同向，去除扭簧并代之以力偶M。分則由動力學普遍方程得：mg·δrC＋mg·δrA＋G·δrA－MGOδφ－MGAδw－Mδφ＝0將(*)與(**)代入上式，得： (1)式即為系統的運動微分方程sin(1)式成為： (2) (2’)注意：(1)本題在系統中安裝了扭轉彈簧，則彈性內力對系統的虛功有貢獻。因內力都是成對出現的(彈簧對桿O有作用力，而桿對彈簧有反作用力，它們做功的總和為題時一定要將彈簧去掉。 (2)本題所用分析方法為幾何法。幾何法也可以給出下圖(d)所示虛位移δφ≠0 (方向與系統的廣義坐標φ的正向反向)，通過類似計算也可得到(1)式。拉格朗日方程通常是指第二類拉格朗日方程，它是完整約束系統分析力學的基礎。方程的形式：將動力學普遍方程應用于具有完整約束的質點系，并以廣義坐標表示，可得第二類哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講拉格朗日方程。 想約束質點系：－＝注意：第二類拉格朗日方程適用于雙面、完整、理想約束質點系，而不論約束定常與否。 定義：L＝T－V~拉格朗日函數(亦稱動勢)注：動勢中的T是以廣義坐標表示的質點系在任意瞬時的動能；V是以廣義坐標表示的質點系在任意瞬時的勢能。2．第二類拉格朗日方程的特點：由第二類拉格朗日方程建立的質點系運動微分方程的個數等于系統的自由度數，且為二階常微分方程(組)。 (1)質點系的動能T和勢能V(從而動勢L)必須表示以廣義坐標形式，其中涉及的各質點或各剛體的質心加速度和剛體的角加速度均必須是相對慣性參考系的絕對加速度和絕對角加速度 (2)對于完整、雙面、非理想約束質點系，只需將非理想約束解除并代之以約束反力，且視之為主動力，則也可以應用第二類拉格朗日方程求解問題。 (1)判斷系統是否為完整約束，主動力是否有勢，以決定選用何種形式的拉格朗日方程； (2)確定系統的自由度數，選擇廣義坐標； (3)按照所選廣義坐標，寫出系統的動能、勢能或廣義力； (4)將各項代入拉格朗日方程，進行計算，得出結果。例端固定，自然原長為l0。彈簧在平衡位置的長度為l，以圖示坐標(r，φ)系統的廣義坐標，用第二類拉格朗日方程求擺在鉛垂平面內的運動方程，并求擺做微小振動時的運動。mbF為彈簧的彈性恢復力。依題：F＝k WδWWδW－＝上式即擺在鉛垂平面內的運動方程。哈爾濱工業大學《理論力學》考點精講上式即擺在鉛垂平面內的運動方程。2．如圖(D)所示，一質量為w，半徑為北的均質圓輪放置于質量為M，傾角為φ的粗糙斜面上，斜面放置于光滑水平