壓軸熱點考點21幾何證明壓軸突破——2024年【中考沖刺】數學高頻熱點考點好題精編一、解答題1．在平面直角坐標系中，以為圓心，為半徑畫圓交y軸于點A，已知點，射線交于點B．(1)求證：；(2)只利用一把無刻度的直尺畫出過點P，且與相切的一條直線，并說明理由．（保留畫圖痕跡）2．某校數學興趣小組對四邊形進行了如下探究：在四邊形中，對角線相交于點．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若（為銳角），求四邊形的面積；（用含的代數式表示）(3)如圖3，若，求四邊形的面積．3．如圖，已知四邊形是的內接四邊形，與交于點P，，是的直徑，弦，垂足為M．(1)設與交點為N，求證：①，②；(2)若，求的值．4．如圖1，在矩形中，E為延長線上一點，且，交于點F，．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，G為上一點，，相交于點O，連接．若，且，求的長．5．約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱為關于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關于邊的“華益美三角”，點是邊的中點，以為直徑的⊙恰好經過點．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長；(3)已知為關于邊的“華益美三角”，，，求的面積．6．如圖1，為直徑，點E是弦中點，連接并延長交于點D，

(1)求證：；(2)如圖2，連接交于點F，求證：；(3)如圖3，在（2）條件下，延長至點G，連接，若，，求的周長.7．知：如圖1，是的弦，點是的半徑的延長線上一點，將翻折得到，交半徑于點．

(1)求證：．(2)若與相切．①如圖2，點落在上，求的值．②如圖3，若，，求的面積．8．如圖，等腰直角與交于點B，C，，延長與分別交于點D，E，連接，并延長至點F，使得．

(1)求的度數；(2)求證：與相切；(3)若的半徑為2，求的長．9．如圖，在矩形中，點為邊上一點，連接，過點作于點，交于點．(1)如圖1，當時，求證：；(2)若，，連接，求的最小值；(3)如圖2，矩形對角線與相交于點，交于點，若平分．①判斷與的數量關系，并證明；②連接，當的面積是矩形的時，求的值．10．如圖，在中，為邊的中點，點分別在線段上，平分，垂足為點，交于點．(1)求證：；(2)若（m為常數），求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的值．11．在四邊形中，平分，點是上任意一點，連接，且，，點為延長線上一點，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當時，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點在上，連接，，，，求線段的長．12．綜合與實踐

在綜合與實踐課上，同學們以如圖1的兩個含的直角三角尺為主題開展數學活動，其中，，．(1)軸對稱小組將以為對稱軸翻折，如圖2，與交于點P，連接，發現，請你證明這個結論．(2)旋轉小組將以中點為旋轉中心，逆時針旋轉到如圖3的位置，、邊與邊、交于點、、，連接，求的長度．(3)平移小組將沿向下平移到圖4時，分別延長、，交、于點、，發現四邊形恰好是正方形，直接寫出此時正方形的面積．13．等邊中，點為直線上一動點，連接．

(1)如圖1，在平面內將線段繞點順時針方向旋轉得到線段，連接．若點在邊上，且，，求的長度；(2)如圖2，若點在延長線上，點為線段上一點，點在延長線上，連接、．在點的運動過程中，若，且，猜想線段與線段之間的數量關系，并證明你的猜想；(3)如圖3，將沿直線翻折至所在平面內得到，點在邊上，且，將繞點逆時針方向旋轉得到線段，點是直線上一動點，將沿直線翻折至所在平面內得到，在點，運動過程中，當最小時，若，請直接寫出的面積．14．已知，如圖1，中，，分別與、相切于點B、點D，點F在上，連接交于點G，且G在上，，過D作于H，交于E，交于點N；

(1)求證：；(2)射線交于M，求證：；(3)在（2）條件下，連接，若由、和弧BD所圍成圖形的面積為時，求四邊形的面積．15．是的半徑，C是半徑上的動點，過C作的垂線交于F，交于D、E兩點，過A點作的切線與的延長線交于點G．

(1)求證：；(2)已知的半徑為4，①當的長為多少時，且，②請直接寫出①中的長．壓軸熱點考點21幾何證明壓軸突破——2024年【中考沖刺】數學高頻熱點考點好題精編一、解答題1．在平面直角坐標系中，以為圓心，為半徑畫圓交y軸于點A，已知點，射線交于點B．(1)求證：；(2)只利用一把無刻度的直尺畫出過點P，且與相切的一條直線，并說明理由．（保留畫圖痕跡）【答案】(1)見解析(2)圖見解析，理由見解析【分析】（1）連接，作于D．求出，，證明，求出，得到，由垂徑定理得到，即可得到結論；（2）連接并延長交于點E，連接，則直線為的切線．證明，由，得到，則，又由直徑即可得到結論．【詳解】（1）證明：連接，作于D．由，得，．∵，，，∴．又∵，，∴，，∵，∴．又∵．∴．∴．∴．∴，∴．又∵，C是圓心，∴，∴．（2）解：連接并延長交于點E，連接，則直線為的切線．理由如下：∵，，∴．又∵．∴．∴，∵，．∴．∴．∴直徑．∴為的切線．【點睛】此題考查了切線的判定、相似三角形的判定和性質、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識，熟練掌握切線的判定、相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．2．某校數學興趣小組對四邊形進行了如下探究：在四邊形中，對角線相交于點．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若（為銳角），求四邊形的面積；（用含的代數式表示）(3)如圖3，若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題考查了全等三角形、勾股定理、三角函數，最后一問由已知條件聯想截長補短的輔助線，可發現圖中隱藏的“手拉手”全等，從而解決問題．（1）由垂直定理得，再根據勾股定理，，即可解答．（2）過點作于點，過點作于點．根據即可解答．（3）在上取點，使，連接，，為，的交點，先證明，再證明即可．【詳解】（1），．由勾股定理，得，，．（2）過點作于點，過點作于點．，．（3）如圖，在上取點，使，連接，，為，的交點。，，，與均為等邊三角形，，，，，，，，，又，，由（2）知．3．如圖，已知四邊形是的內接四邊形，與交于點P，，是的直徑，弦，垂足為M．(1)設與交點為N，求證：①，②；(2)若，求的值．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)【分析】（1）①由垂徑定理可知，可得，由，可知，再由三角形的外角的性質可得，進而可證得結論；②連接，由圓周角定理可知，可得，利用等弧所對的圓周角相等可得，，結合三角形的內角和可知，可得，進而可證得結論；（2）連接，，，由，可得，，可得，可知是的垂直平分線，可得，易證得是等邊三角形，得，利用等弧所對圓心角相等可得，由圓周角定理可得，，由三角形外角可知，即：，可得，即可求得答案．【詳解】（1）證明：①∵，是直徑，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；②連接，∵是直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）連接，，，∵，即，，∴，∵，∴則是的垂直平分線，∴，∵，∴，則是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：，∴，∴．【點睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，等弧所對得圓周角、圓心角之間的關系，等邊三角形的判定，求正切值等知識點，熟練掌握相關圖形的性質定理是解決問題的關鍵．4．如圖1，在矩形中，E為延長線上一點，且，交于點F，．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，G為上一點，，相交于點O，連接．若，且，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據證明，得出即可；（2）證明，得出，根據，，得出，求出結果即可；（3）連接，證明，得出，根據直角三角形的性質得出，求出．設，則，根據谷歌定理求出，得出（負值舍去）．求出，，根據勾股定理求出．【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，，，又∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由（1）可知，∴，∴，∴，即．

（3）解：連接，如圖所示：

∵，且，∴，，又∵，∴，∴，∵O為的中點，∴，∵，∴．由（2）可知：，則，設，則，在中，，即，解得：（負值舍去）．∴，，又∵，∴，∴在中，．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，三角形相似的判定和性質，直角三角形的性質，三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等和三角形相似的判定方法．5．約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱為關于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關于邊的“華益美三角”，點是邊的中點，以為直徑的⊙恰好經過點．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長；(3)已知為關于邊的“華益美三角”，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②(3)或或【分析】（1）根據中線的定義可設，即，再由，可得，，即有，結合，可得，問題得證；（2）①連接，根據，可得，根據為的直徑，可得，根據，可得，即有，可得，問題得證；②由題意可知，，即有，，可得，即有，進而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；（3）分類討論：當時，過A點作于點E，利用相似可得，即，根據，可得，此時面積可求；當時，過A點作于點，同理利用相似可得，進而可得，根據，可得，，則有，利用，可得，求出，進而可得，面積可求，問題隨之得解．【詳解】（1）如圖，

∵為的中線，∴，即，∵，∴，又∵，，∴，又∵，∴；∴為關于邊的“華益美三角”；（2）①證明：連接，如圖，

由題意可知，∴，又∵為的直徑，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵為的半徑，∴為的切線；②∵由題意可知，，∴，，∴，∵的直徑為，∴，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，解得：（負值舍去）；（3）分類討論：當時，過A點作于點E，如圖，

∵為關于邊的“華益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，∵，，∴，∴；當時，過A點作于點，如圖，

∵為關于邊的“華益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，根據還有：，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴；綜上：的面積為或或．【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理以及解一元二次方程等知識，理解“華益美三角”的含義，靈活運用相似三角形的判定與性質，是解答本題的關鍵．6．如圖1，為直徑，點E是弦中點，連接并延長交于點D，

(1)求證：；(2)如圖2，連接交于點F，求證：；(3)如圖3，在（2）條件下，延長至點G，連接，若，，求的周長.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，根據等腰三角形的性質得出，根據圓心角與弧之間的關系得出即可；（2）連接，證明，得出，即可證明；（3）連接，交于點H，證明，得出，求出，得出，根據為的中點，得出，求出，根據解析（2）求出，設的半徑為r，根據勾股定理得出，求出，最后求出圓的周長即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∴，∵E是弦中點，∴，∴．（2）證明：連接，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（3）解：連接，交于點H，如圖所示：

∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵為的中點，∴，∴，由（2）得：，∴，設的半徑為r，在中，，，，∴，解得：，∴，即的周長為．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，三角形相似的判定和性質，垂徑定理，圓心角、弧之間的關系，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質．7．知：如圖1，是的弦，點是的半徑的延長線上一點，將翻折得到，交半徑于點．

(1)求證：．(2)若與相切．①如圖2，點落在上，求的值．②如圖3，若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)①；②．【分析】（1）證明即可；（2）①通過、和的關系，結合是直角三角形得到，進而求的值；②說明是直角三角形，再利用求面積即可．【詳解】（1）證明：將翻折得到，，，，，，；（2）解：①與相切，，，，將翻折得到，，，，，，；②作，垂足為，則，

，，，，，，，，即，，，，，，，，即，，．【點睛】本題以圓為載體考查了圓的性質，平行線的判定，翻折問題，相似，解直角三角形等知識，（2）②的關鍵是得出是直角三角形．8．如圖，等腰直角與交于點B，C，，延長與分別交于點D，E，連接，并延長至點F，使得．

(1)求的度數；(2)求證：與相切；(3)若的半徑為2，求的長．【答案】(1)(2)證明見詳解(3)【分析】（1）連接，由，得為的直徑，再由是等腰直角三角形，即可求解；（2）根據圓的性質可知，得，進而即可證明；（3）連接，，即可求解；【詳解】（1）解：連接，∵，∴過圓心O，∴為的直徑，∴，∵是等腰直角三角形，∵，∴．

（2）根據圓的性質可知，∵，∴，∵，∴，∴與相切．（3）連接，∵，∴．

【點睛】本題主要考查圓的綜合應用、勾股定理、等腰直角三角形的應用，正確做出輔助線是解本題的關鍵．9．如圖，在矩形中，點為邊上一點，連接，過點作于點，交于點．(1)如圖1，當時，求證：；(2)若，，連接，求的最小值；(3)如圖2，矩形對角線與相交于點，交于點，若平分．①判斷與的數量關系，并證明；②連接，當的面積是矩形的時，求的值．【答案】(1)見解析(2)的最小值為2(3)①，證明見解析；②【分析】（1）利用證明；（2）取的中點，連接，由圓周角定理得到點在以為直徑的圓上運動，根據勾股定理計算，得到答案；（3）①過點作交于點，根據三角形中位線定理得到，證明，等量代換證明；②根據勾股定理得到，證明，根據相似三角形的性質得到，根據三角形的面積公式、矩形面積公式得到，得到，計算即可．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，；（2）解：，點在以為直徑的圓上運動，如圖，取的中點，連接，當點在線段上時，取得最小值，，，，，，即的最小值為2；（3）解：①，證明如下：如圖，過點作交于點，是的中點，，平分且，是等腰三角形，，，，，，；②如圖2，連接，設，，由①可知：，，，，在中，，，，，，，，即，解得：，的面積是矩形的，，，，，．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質，矩形的性質，圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．10．如圖，在中，為邊的中點，點分別在線段上，平分，垂足為點，交于點．(1)求證：；(2)若（m為常數），求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由垂直定義得，．進而得．根據直角三角形的性質得，從而利用等腰三角形的性質即可得解；（2）過點作于點．根據三線合一得，從而得．分別證明，根據相似三角形的性質即可得解；（3）過點作于點．設，由（2）知，．由得，根據勾股定理得．再證得，從而即可得解．【詳解】（1）解：，．又，．為邊的中點，，．（2）解：過點作于點．．，．，．．由（1）知，．（3）解：過點作于點．設，由（2）知，．由（2）知，，．，，，．【點睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定及性質，直角三角形的性質以及同角的余角相等等，熟練掌握等腰三角形的性質以及相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．11．在四邊形中，平分，點是上任意一點，連接，且，，點為延長線上一點，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當時，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點在上，連接，，，，求線段的長．【答案】(1)證明過程見詳解(2)證明過程見詳解(3)【分析】（1）設，則，通過計算出，由此即可求解；（2）如圖所示，在上截取，取的中點，連接，根據中位線定理可得，從而可得，再證，可得是等邊三角形，由此即可求解；（3）如圖所示，連接，以點為圓心，長為半徑畫弧交的延長線于點，可證，由此可得，根據題意可求出，再證明點共圓，可得，由此即可求解．【詳解】（1）證明：根據題意，設，則，在中，，，∴，∵平分，∴，在中，，，∴，∵是的外角，∴，∴，∴．（2）證明：如圖所示，在上截取，取的中點，連接，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴．（3）解：如圖所示，連接，以點為圓心，長為半徑畫弧交的延長線于點，

∴，，由（2）可知，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，由（2）可知，，，∵，∴點共圓，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質，確定圓的條件等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造全等及相似．12．綜合與實踐

在綜合與實踐課上，同學們以如圖1的兩個含的直角三角尺為主題開展數學活動，其中，，．(1)軸對稱小組將以為對稱軸翻折，如圖2，與交于點P，連接，發現，請你證明這個結論．(2)旋轉小組將以中點為旋轉中心，逆時針旋轉到如圖3的位置，、邊與邊、交于點、、，連接，求的長度．(3)平移小組將沿向下平移到圖4時，分別延長、，交、于點、，發現四邊形恰好是正方形，直接寫出此時正方形的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據三角形內角和定理可得，，，根據對頂角相等可得，根據全等三角形的判定和性質可得，根據三角形內角和定理可得，推得，根據等角對等邊可得；（2）根據旋轉的性質可得，，根據直角三角形中，度所對的邊是斜邊的一半可得，，根據勾股定理求得，同理求得，即可根據勾股定理求解；（3）根據相似三角形的判定和性質可得，根據勾股定理求得，根據正方形的性質可得，即可求得，最后利用正方形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，即，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵將以中點為旋轉中心，逆時針旋轉所得，∴，，∵，，，∴，∵點是的中點，∴，∵，，∴，在中，，即，解得：，同理可得，，，即，在中，．（3）解：∵，∴，∴，∵，在中，，∵四邊形是正方形，∴，即，又，∴，即，∴，解得：，∴，∴四邊形的面積為．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，對頂角相等，全等三角形的判定和性質，等角對等邊，旋轉的性質，含度角的直角三角形性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，正方形的性質，熟練掌握以上判定和性質是解題的關鍵．13．等邊中，點為直線上一動點，連接．

(1)如圖1，在平面內將線段繞點順時針方向旋轉得到線段，連接．若點在邊上，且，，求的長度；(2)如圖2，若點在延長線上，點為線段上一點，點在延長線上，連接、．在點的運動過程中，若，且，猜想線段與線段之間的數量關系，并證明你的猜想；(3)如圖3，將沿直線翻折至所在平面內得到，點在邊上，且，將繞點逆時針方向旋轉得到線段，點是直線上一動點，將沿直線翻折至所在平面內得到，在點，運動過程中，當最小時，若，請直接寫出的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）作，求出長，再求出，證明，即可；（2）作，交的延長線于點，由條件，，再證明出，得到，再證出，即可證明出結論；（3）判斷出點在過且平行于的直線上，點定在以為圓心，為半徑的上，連接，作直線，交于，作于，用梯形的面積減去三角形的面積，再減去三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖1，作于點，

，，，，，，，，，，，，，；（2）．如圖，作，交的延長線于點，

，，即，，，即，，，，，，，，，，，，；（3）如圖，若將沿直線翻折得到，則，點在過且平行于的直線上，將沿直線翻折得到，則，點定在以為圓心，為半徑的上，過作于，交于點，則的長為最小值，連接，作直線，交于，作于，

由題得點在上，且，，，，，，，由折疊得，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、三角