10.1.2事務的關系和運算學習任務1．了解隨機事務的并、交與互斥的含義．(數學抽象)2．能結合實例進行隨機事務的并、交運算．(數學運算)在擲骰子試驗中，定義如下事務：Ci＝{出現i點}，Di＝{出現的點數不大于2i－1}．在上述事務中，(1)事務C1與事務C2間有什么關系？(2)事務D2與事務C2間有什么關系？學問點1事務的關系關系定義表示法圖示包含關系若事務A發生，事務B確定發生，稱事務B包含事務A(或事務A包含于事務B)B?A(或A?B)相等關系假如事務B包含事務A，事務A也包含事務B，則稱事務A與事務B相等A＝B互斥事務假如事務A與事務B不能同時發生，稱事務A與事務B互斥(或互不相容)若A∩B＝?，則A與B互斥對立事務假如事務A和事務B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，稱事務A與事務B互為對立，事務A的對立事務記為A若A∩B＝?，且A∪B＝Ω，則A與B對立學問點2事務的運算項目定義表示法圖示并事務事務A與事務B至少有一個發生，稱這個事務為事務A與事務B的并事務(或和事務)A∪B(或A＋B)交事務事務A與事務B同時發生，稱這樣的一個事務為事務A與事務B的交事務(或積事務)A∩B(或AB)1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若兩個事務是互斥事務，則這兩個事務也是對立事務． ()(2)若兩個事務是對立事務，則這兩個事務也是互斥事務． ()(3)若事務A與B是互斥事務，則在一次試驗中事務A和B至少有一個發生． ()(4)拋擲一枚骰子一次，記事務A＝{出現點數大于4}，事務B＝{出現的點數為5}，則事務B發生時，事務A確定發生． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球視察顏色．設事務A為“所取兩個球至少有一個白球”，事務B為“所取兩個球恰有一個紅球”，則A∪B表示的事務為________；A∩B表示的事務為________．[答案]所取兩個球至少有一個白球所取兩個球恰有一個紅球類型1事務關系的推斷【例1】從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數從1～10各10張)中，任取1張．推斷下列給出的每對事務是否為互斥事務，是否為對立事務，并說明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”．[解](1)是互斥事務，不是對立事務．理由：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不行能同時發生的，所以是互斥事務．同時，不能保證其中必有一個發生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事務．(2)既是互斥事務，又是對立事務．理由：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事務不行能同時發生，且其中必有一個發生，所以它們既是互斥事務，又是對立事務．(3)不是互斥事務，當然不是對立事務．理由：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事務可能同時發生，如抽得的牌點數為10，因此，二者不是互斥事務，當然也不是對立事務．推斷互斥事務、對立事務的兩種方法定義法推斷互斥事務、對立事務一般用定義推斷．不行能同時發生的兩個事務為互斥事務；兩個事務，若有且僅有一個發生，則這兩個事務為對立事務，對立事務確定是互斥事務集合法(1)由各個事務所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事務互斥；(2)事務A的對立事務所含的結果組成的集合，是全集中由事務A所含的結果組成的集合的補集[跟進訓練]1．(1)同時擲兩枚硬幣，向上面都是正面為事務A，向上面至少有一枚是正面為事務B，則有()A．A?B B．A?BC．A＝B D．A與B互斥(2)從裝有3個紅球和2個白球的口袋中隨機取出3個球，則事務“取出1個紅球和2個白球”的對立事務是()A．取出2個紅球和1個白球B．取出的3個球全是紅球C．取出的3個球中既有紅球也有白球D．取出的3個球中不止一個紅球(1)A(2)D[(1)由事務的包含關系知A?B.(2)從裝有3個紅球和2個白球的口袋中隨機取出3個球，則事務“取出1個紅球和2個白球”的對立事務是取出的3個球中至少有兩個紅球．故選D.]類型2事務的運算【例2】擲一枚骰子，下列事務：A＝“出現奇數點”，B＝“出現偶數點”，C＝“點數小于3”，D＝“點數大于2”，E＝“點數是3的倍數”．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)記H為事務H的對立事務，求D，[解](1)A∩B＝?，BC＝{2}．(2)A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，B＋C＝{1，2，4，6}．(3)D＝{1，2}B∪事務間的運算方法(1)利用事務間運算的定義．列出同一條件下的試驗全部可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事務間的運算．(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗全部可能出現的結果，把這些結果在圖中列出，進行運算．[跟進訓練]2．從某高校數學系圖書室中任選一本書．設A＝{數學書}；B＝{中文版的書}；C＝{2024年后出版的書}．問：(1)A∩B∩C表示什(2)在什么條件下有A∩B∩C＝A?(3)假如A＝B，那么是否意味著圖書室中的全部的數學書都不是中文版的？[解](1)A∩B∩C(2)在“圖書室中全部數學書都是2024年后出版的且為中文版”的條件下才有A∩B∩C＝A.(3)是．A＝B意味著圖書室中的非數學書都是中文版的，而且全部的中文版的書都不是數學書．1．抽查10件產品，設事務A：至少有兩件次品，則與事務A互斥的事務為()A．恰有兩件次品 B．恰有一件次品C．恰有兩件正品 D．至少有兩件正品B[事務“恰有一件次品”與事務A不會同時發生，故選B.]2．拋擲一枚骰子，“向上一面的點數是1或2”為事務A，“向上一面的點數是2或3”為事務B，則()A．A?BB．A＝BC．A∪B表示向上一面的點數是1或2或3D．A∩B表示向上一面的點數是1或2或3C[設A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上一面的點數是1或2或3．]3．拋擲一枚質地勻整的正方體骰子，事務E＝{向上的點數為偶數}，F＝{向上的點數為質數}，則E∩F＝________．{向上的點數為2}[E＝{向上的點數為偶數}＝{2，4，6}，F＝{向上的點數為質數}＝{2，3，5}，∴E∩F＝{向上的點數為2}．]4．從一批產品(既有正品也有次品)中取出3件產品，設A＝“3件產品全不是次品”，B＝“3件產品全是次品”，C＝“3件產品不全是次品”，則下列結論正確的是________(填寫序號)．①A與B互斥；②B與C互斥；③A與C互斥；④A與B對立；⑤B與C對立．①②⑤[A＝“3件產品全不是次品”，指的是3件產品全是正品，B＝“3件產品全是次品”，C＝“3件產品不全是次品”，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3個事務，由此知：A與B是互斥事務，但不對立；A與C是包含關系，不是互斥事務，更不是對立事務；B與C是互斥事務，也是對立事務．所以正確結論的序號為①②⑤.]回顧本節學問，自主完成以下問題：1．事務間的關系和運算有哪些？如何用符號表示？[提示]事務關系或運算的含義事務關系或運算含義符號表示包含A發生導致B發生A?B并事務(和事務)A與B至少一個發生A∪B或A＋B交事務(積事務)A與B同時發生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發生A∩B＝?，A∪B＝Ω2．互斥事務與對立事務有什么關系？[提示](1)對立事務確定是互斥事務，但互斥事務不愿定是對立事務．(2)從集合的觀點來推斷：設事務A與B所含的樣本點組成的集合分別是A，B，若A，B互斥，則A∩B＝?，若A，B對立，則A∩B＝?，且A∪B＝Ω，即?ΩB＝A，?ΩA＝B.互斥事務A與B的和A＋B可理解為集合A∪B.課時分層作業(四十五)事務的關系和運算一、選擇題1．擲一枚骰子，設事務A＝{出現的點數不小于5}，B＝{出現的點數為偶數}，則事務A與事務B的關系是()A．A?BB．A∩B＝{出現的點數為6}C．事務A與B互斥D．事務A與B是對立事務B[由題意事務A表示出現的點數是5或6；事務B表示出現的點數是2或4或6．故A∩B＝{出現的點數為6}．]2．打靶3次，事務Ai＝“擊中i發”，其中i＝0，1，2，3．那么A＝A1∪A2∪A3表示()A．全部擊中 B．至少擊中1發C．至少擊中2發 D．全部未擊中B[A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3這三個事務中至少有一個發生，即可能擊中1發、2發或3發，故選B.]3．從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大于4”為事務A，“這2個數的和為偶數”為事務B，則A∪B和A∩B包含的樣本點數分別為()A．1，6B．4，2C．5，1D．6，1C[從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，則試驗的樣本空間為Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．其中事務A包含的樣本點有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4個．事務B包含的樣本點有：(1，3)，(2，4)，共2個．所以事務A∪B包含的樣本點有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5個．事務A∩B包含的樣本點有：(2，4)，共1個．]4．已知100件產品中有5件次品，從這100件產品中隨意取出3件，設E表示事務“3件產品全不是次品”，F表示事務“3件產品全是次品”，G表示事務“3件產品中至少有1件次品”，則下列結論正確的是()A．F與G互斥B．E與G互斥但不對立C．E，F，G隨意兩個事務均互斥D．E與G互為對立D[由題意得事務E與事務F不行能同時發生，是互斥事務；事務E與事務G不行能同時發生，是互斥事務；當事務F發生時，事務G確定發生，所以事務F與事務G不是互斥事務，故A，C不正確；事務E與事務G中必有一個發生，所以事務E與事務G互為對立，故B不正確，D正確．]5．(多選)某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名學生去參與競賽，則下列各對事務中為互斥事務的是()A．恰有一名男生和全是男生B．至少有一名男生和至少有一名女生C．至少有一名男生和全是男生D．至少有一名男生和全是女生AD[A中兩個事務是互斥事務，恰有一名男生即選出的兩名學生中有一名男生和一名女生，它與全是男生不行能同時發生；B中兩個事務不是互斥事務；C中兩個事務不是互斥事務；D中兩個事務是互斥事務，至少有一名男生與全是女生明顯不行能同時發生．]二、填空題6．設某隨機試驗的樣本空間Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，C＝{5，6，7}．則A∪B＝________；A∩B＝________．[答案]{2，3，4，5}{5}7．甲、乙兩人破譯同一個密碼，令甲、乙破譯出密碼分別為事務A，B，則AB∪AB表示的含義是________，事務“密碼被破譯”可表示為________．[答案]只有一人破譯密碼AB∪AB∪AB8．袋中裝有9個白球，2個紅球，從中任取3個球，則：①恰有1個紅球和全是白球；②至少有1個紅球和全是白球；③至少有1個紅球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個紅球．在上述事務中，是對立事務的為________．②[①是互斥不對立的事務，②是對立事務，③④不是互斥事務．]三、解答題9．用紅、黃、藍三種不同的顏色給大小相同的三個圓隨機涂色，每個圓只涂一種顏色．設事務A＝“三個圓的顏色全不相同”，事務B＝“三個圓的顏色不全相同”，事務C＝“其中兩個圓的顏色相同”，事務D＝“三個圓的顏色全相同”．(1)寫出試驗的樣本空間；(2)用集合的形式表示事務A，B，C，D；(3)事務B與事務C有什么關系？事務A和B的交事務與事務D有什么關系？說明理由．[解](1)由題意可知三個圓可能顏色一樣，也可能有兩個圓顏色一樣，另一個圓異色，還可能三個圓異色，則試驗的樣本空間Ω＝{(紅，紅，紅)，(黃，黃，黃)，(藍，藍，藍)，(紅，紅，黃)，(紅，紅，藍)，(藍，藍，紅)，(藍，藍，黃)，(黃，黃，紅)，(黃，黃，藍)，(紅，黃，藍)}．(2)A＝{(紅，黃，藍)}．B＝{(紅，紅，黃)，(紅，紅，藍)，(藍，藍，紅)，(藍，藍，黃)，(黃，黃，紅)，(黃，黃，藍)，(紅，黃，藍)}．C＝{(紅，紅，黃)，(紅，紅，藍)，(藍，藍，紅)，(藍，藍，黃)，(黃，黃，紅)，(黃，黃，藍)}．D＝{(紅，紅，紅)，(黃，黃，黃)，(藍，藍，藍)}．(3)由(2)可知C?B，A∩B＝A，A與D互斥，所以事務B包含事務C，事務A和B的交事務與事務D互斥．10．把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事務“甲分得紅牌”與事務“乙分得紅牌”是()A．對立事務B．互斥但不對立事務C．不行能事務D．以上說法都不對B[因為只有1張紅牌，所以這兩個事務不行能同時發生，所以它們是互斥事務；但這兩個事務加起來并不是總體事務，所以它們不是對立事務．]11．(多選)(2024·江蘇南京六校聯考)對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次放射一枚炮彈，設事務A＝“兩彈都擊中飛機”，事務B＝“兩彈都沒擊中飛機”，事務C＝“恰有一彈擊中飛機”，事務D＝“至少有一彈擊中飛機”，下列關系正確的是()A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪DABC[“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中其次枚沒中或第一枚沒中其次枚擊中．“至少有一彈擊中飛機”包含兩種狀況：一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中．∴A∪B≠B∪D.]12．(多選)在一次隨機試驗中，A，B，C，D是彼此互斥的事務，且A＋B＋C＋D是必定事務，則下列說法正確的是()A．A＋B與C是互斥事務，也是對立事務B．B＋C與D是互斥事務，但不是對立事務C．A＋C與B＋D是互斥事務，但不是對立事務D．A與B＋C＋D是互斥事務，也是對立事務BD[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必定事務，故事務的關系如圖所示．由圖可知，任何一個事務與其余三個事務的和事務互為對立，任何兩個事務的和事務與其余兩個事務中任何一個是互斥事務，任何兩個事務的和事務與其余兩個事務的和事務互為對立，故B，D中的說法正確．]13．