專題04等比數列的前n項和難點專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海浦東新·高二期末）等比數列的前項和，則的值為（）A．3 B．1 C． D．2．(2023·上海·高三月考）記為等比數列的前n項和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．103．(2023·上海中學高二期末）等比數列｛an｝的前n項和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=（）A． B． C． D．4．(2023·上海市建平中學高一期末）設為數列的前項和，，則的值為A． B． C． D．不確定5．(2023·上海·高三月考）設是以為首項，為公差的等差數列，是為首項，為公比的等比數列，記，則中不超過的項的個數為（）A．8 B．9 C．10 D．116．(2023·上海·高三月考）已知數列滿足：，設表示數列的前項和．則下列結論正確的是（）A．和都存在 B．和都不存在C．存在，不存在 D．不存在，存在7．(2023·上海·高三月考）已知數列是等比數列，，且前項和滿足，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．8．(2023·上海·華師大二附中高三期中）已知無窮等比數列的各項的和為3，且，則（）A． B． C． D．9．(2023·上海·高考真題）已知為等比數列，的前n項和為，前n項積為，則下列選項中正確的是（）A．若，則數列單調遞增B．若，則數列單調遞增C．若數列單調遞增，則D．若數列單調遞增，則10．(2023·上海·上外附中高二月考）是由實數構成的無窮等比數列，，關于數列，給出下列命題：①數列中任意一項均不為0；②數列中必有一項為；③數列中或者任意一項不為；或者無窮多項為；④數列中一定不可能出現；⑤數列中一定不可能出現；其中正確的命題是（）A．①③ B．②④ C．③⑤ D．②⑤二、填空題11．(2023·上海市金山中學高三期中）將正整數12分解成兩個正整數的乘積有，，，三種，其中是這三種分解中兩數差的絕對值最小的，我們稱為12的最佳分解，當是正整數n的最佳分解時，我們定義函數，例如，則數列的前2020項和為______．12．(2023·上海市高橋中學高三期中）數列1，，的前n項之和____________.13．(2023·上海市嘉定區第一中學高二月考）設數列的前項和為，若存在實數，使得對任意的，都有，則稱數列為“數列”，則以下為“數列”的是______．①是等差數列，且，公差；②若是等比數列，且公比滿足；③若；④若，．14．(2023·上海市金山中學高二月考）等比數列的首項為，公比為，前項和為，則當時，的最大值與最小值之和為_________.15．(2023·上海·模擬預測）已知是等比數列，它的前n項和為，且，，則________16．(2023·上海市向明中學高三月考）已知數列前項和為，且滿足，則________．17．(2023·上海奉賢區致遠高級中學高三期中）用表示自然數的所有因數中最大的那個奇數，例如：“9的因數有1、3、9，”，“10的因數有1、2、5、10，”，那么____________．18．(2023·上海市控江中學高一期末）對于任意一個有窮數列，可以通過在該數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的之和，構造一個新的數列，現對數列1，5進行構造，第1次得到數列1，6，5，第2次得到數列1，7，6，11，5，依此類推，第n次得到數列1，，，，…，5.記第n次得到的數列的各項之和為，則的通項公式______.19．(2023·上海·格致中學高二期中）已知數列滿足：，，記數列的前項和為，若對所有滿足條件的，的最大值為____.20．(2023·上海嘉定·一模）已知集合，，將中的所有元素按從小到大的順序排列構成一個數列，設數列的前項和為，則使得成立的最小的的值為_____________.三、解答題21．(2023·上海市復興高級中學高二期末）在數列中，，（n為正整數）.(1)求的通項公式；(2)求證：；(3)若數列滿足，，求數列的通項公式.22．(2023·上海市控江中學高二期末）某公司舉辦捐步公益活動，參與者通過捐贈每天的運動步數獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈給留守兒童．此活動不但為公益事業作出了較大的貢獻，還為公司獲得了相應的廣告效益，據測算，首日參與活動人數為5000人，以后每天人數比前一天都增加15%，30天后捐步人數穩定在第30天的水平，假設此項活動的啟動資金為20萬元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人數精確到1人，收益精確到1元）．(1)求活動開始后第5天的捐步人數，及前5天公司的捐步總收益；(2)活動開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余？23．(2023·上海市控江中學高二期末）已知數列與滿足．(1)若，且，求數列的通項公式；(2)設的第k項是數列的最小項，即恒成立．求證：的第k項是數列的最小項；(3)設．若存在最大值M與最小值m，且，試求實數的取值范圍．24．(2023·上海·高三月考）定義：若無窮數列滿足是公比為q的等比數列，則稱數列為“數列”.設數列中，，.（1）若，且數列為“數列”，求數列的通項公式：（2）設數列的前n項和為，且，請判斷數列是否為“數列”，并說明理由；（3）若數列是“數列”，是否存在正整數m，n，使得？若存在，請求出所有滿足條件的正整數m，n；若不存在，請說明理由.25．(2023·上海·高三月考）已知無窮實數列，，若存在，使得對任意，恒成立，則稱為有界數列；記，若存在，使得對任意，恒成立，則稱為有界變差數列.（1）已知無窮數列的通項公式為，判斷是否為有界數列，是否為有界變差數列，并說明理由；（2）已知首項為，公比為實數的等比數列為有界變差數列，求的取值范圍；（3）已知兩個單調遞增的無窮數列和都為有界數列，記，，證明：數列為有界變差數列．專題04等比數列的前n項和難點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海浦東新·高二期末）等比數列的前項和，則的值為（）A．3 B．1 C． D．【標準答案】D由求出，由它們成等比數列求得即可得．【詳解詳析】由題意，，，∵成等比數列，∴，解得，此時，也滿足．故選：D．【名師指路】本題考查由數列的前項求項，考查等比數列的定義，掌握和與項的關系是解題基礎．2．(2023·上海·高三月考）記為等比數列的前n項和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．10【標準答案】A【思路指引】根據題目條件可得，，成等比數列，從而求出，進一步求出答案.【詳解詳析】∵為等比數列的前n項和，∴，，成等比數列∴，∴，∴.故選：A.3．(2023·上海中學高二期末）等比數列｛an｝的前n項和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=（）A． B． C． D．【標準答案】C【思路指引】根據S3=a2+10a1，a5=9，利用“”法求解.【詳解詳析】因為S3=a2+10a1，所以a2+a3=a2+10a1，即a3=9a1，即=9a1，解得=9，又因為a5=9，所以=9，解得，故選：C.4．(2023·上海市建平中學高一期末）設為數列的前項和，，則的值為A． B． C． D．不確定【標準答案】C【思路指引】令，由求出的值，再令時，由得出，兩式相減可推出數列是等比數列，求出該數列的公比，再利用等比數列求和公式可求出的值.【詳解詳析】當時，，得；當時，由得出，兩式相減得，可得.所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此，.故選C.【名師指路】本題考查利用前項和求數列通項，同時也考查了等比數列求和，在遞推公式中涉及與時，可利用公式求解出，也可以轉化為來求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.5．(2023·上海·高三月考）設是以為首項，為公差的等差數列，是為首項，為公比的等比數列，記，則中不超過的項的個數為（）A．8 B．9 C．10 D．11【標準答案】C【思路指引】求出數列、的通項公式，可得出數列的通項公式，利用分組求和法可求得，找出使得不等式成立的最大正整數的值，進而可得出結論.【詳解詳析】由題意可得，，所以，，則，所以，數列單調遞增，因為，，則，則使得不等式成立的最大正整數的值為.因此，數列中不超過的項的個數為.故選：C.【名師指路】本題考查數列不等式的求解，考查了數列單調性的應用以及分組求和法，考查計算能力，屬于中等題.6．(2023·上海·高三月考）已知數列滿足：，設表示數列的前項和．則下列結論正確的是（）A．和都存在 B．和都不存在C．存在，不存在 D．不存在，存在【標準答案】A【思路指引】根據數列的通項公式，利用等比數列的前項和公式以及分組求和法即可求解.【詳解詳析】數列，對任意的正整數，，設表示數列的前項和，，，，，，，，所以和都存在.故選：A【名師指路】本題考查了數列的分組求和、等比數列的前項和公式、數列極限，考查了基本計算能力，屬于中檔題.7．(2023·上海·高三月考）已知數列是等比數列，，且前項和滿足，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【標準答案】A【思路指引】設等比數列的公比為，可知或，計算出，可得出關于的表達式，結合的范圍，可解出的取值范圍.【詳解詳析】設等比數列的公比為，由于，則或，，則，得.①若，則，即，，解得；②當，則，得，，則不成立.綜上所述，的取值范圍是.故選A.【名師指路】本題考查利用極限求等比數列首項的取值范圍，解題的關鍵就是得出公比與首項的關系，結合公比的取值范圍得出關于首項的不等式，考查運算求解能力，屬于中等題.8．(2023·上海·華師大二附中高三期中）已知無窮等比數列的各項的和為3，且，則（）A． B． C． D．【標準答案】C設等比數列的公比為，進而根據題意得，且，從而解得，故【詳解詳析】解：設等比數列的公比為，顯然，由于等比數列中，所以等比數列的前項和為：，因為無窮等比數列的各項的和為，所以，且，所以，解得，所以.故選：C.【名師指路】本題解題的關鍵在于根據題意將問題轉化為，且，進而根據極限得，考查運算求解能力，是中檔題.9．(2023·上海·高考真題）已知為等比數列，的前n項和為，前n項積為，則下列選項中正確的是（）A．若，則數列單調遞增B．若，則數列單調遞增C．若數列單調遞增，則D．若數列單調遞增，則【標準答案】D【思路指引】根據等比數列的前n項和公式與通項公式可得與，進而可得、取值同號，即可判斷A、B；舉例首項和公比的值即可判斷C；根據數列的單調性可得，進而得到，求出，即可判斷D.【詳解詳析】A：由，得，即，則、取值同號，若，則不是遞增數列，故A錯誤；B：由，得，即，則、取值同號，若，則數列不是遞增數列，故B錯誤；C：若等比數列，公比，則，所以數列為遞增數列，但，故C錯誤；D：由數列為遞增數列，得，所以，即，所以，故D正確.故選：D10．(2023·上海·上外附中高二月考）是由實數構成的無窮等比數列，，關于數列，給出下列命題：①數列中任意一項均不為0；②數列中必有一項為；③數列中或者任意一項不為；或者無窮多項為；④數列中一定不可能出現；⑤數列中一定不可能出現；其中正確的命題是（）A．①③ B．②④ C．③⑤ D．②⑤【標準答案】C【思路指引】對于①舉反例即可．對于②舉反例即可．對于③是正確的命題，時可證恒成立，時有有無窮多項為0；對于④利用③的結論即可反證；對于⑤利用反證即可.【詳解詳析】是由實數構成的無窮等比數列，對于①，令，則時，故結論是不正確的對于②令，則恒成立，故結論不正確對于③，當時，恒成立，當且時，恒成立當時，時，，時，恒成立．綜上可得結論是正確的．對于④，由①可知結論是不正確的．對于⑤，若，則，，，可知結論是正確的．故選：C.【名師指路】關鍵點睛：解決本題的關鍵是要善于舉反例，同時也要靈活運用反證法來推敲、判斷.二、填空題11．(2023·上海市金山中學高三期中）將正整數12分解成兩個正整數的乘積有，，，三種，其中是這三種分解中兩數差的絕對值最小的，我們稱為12的最佳分解，當是正整數n的最佳分解時，我們定義函數，例如，則數列的前2020項和為______．【標準答案】先通過歸納得，再利用等比數列求和得解.【詳解詳析】由題意得，，歸納得，則．故答案為：【名師指路】關鍵點睛：解答本題的關鍵在通過特殊值歸納出，歸納出這個結論之后，后面利用等比數列求和就迎刃而解了.12．(2023·上海市高橋中學高三期中）數列1，，的前n項之和____________.【標準答案】先歸納出通項公式，然后再分組求和．【詳解詳析】由題意，∴．故答案為：。【名師指路】本題考查求等比數列的前項和，分組（并項）求和法．數列求和的常用方法：設數列是等差數列，是等比數列，（1）公式法：等差數列或等比數列的求和直接應用公式求和；（2）錯位相減法：數列的前項和應用錯位相減法；（3）裂項相消法；數列（為常數，）的前項和用裂項相消法；（4）分組（并項）求和法：數列用分組求和法，如果數列中的項出現正負相間等特征時可能用并項求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數）的數列，需用倒序相加法求和．13．(2023·上海市嘉定區第一中學高二月考）設數列的前項和為，若存在實數，使得對任意的，都有，則稱數列為“數列”，則以下為“數列”的是______．①是等差數列，且，公差；②若是等比數列，且公比滿足；③若；④若，．【標準答案】②③對于①②③④中的數列，分別求前項和，判斷是否存在實數，使得對任意的，都有，即可判斷該數列是否為“數列”，即可得正確答案.【詳解詳析】對于①：是等差數列，且，公差，由等差數列的前項和公式可得：，當無限大時，也無限大，所以數列不是“數列”，故①不正確；對于②：若是等比數列，且公比滿足；所以，滿足“數列”的定義，故②正確；對于③：，所以所以數列是“數列”，故③正確；對于④：在數列中，，，當是奇數時，，數列中的奇數項構成常數列，且各項都是，當是偶數時，，即任意兩個連續偶數和為，當時，，所以不是“數列”，綜上所述為“數列”的是：②③，故答案為：②③【名師指路】方法點睛：數列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個數列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可以用倒序相加法；（2）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉化法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數列的前項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.14．(2023·上海市金山中學高二月考）等比數列的首項為，公比為，前項和為，則當時，的最大值與最小值之和為_________.【標準答案】求出，討論n的奇偶利用數列單調性求出的最值即可得出.【詳解詳析】依題意得，.當為奇數時，隨著的增大而減小，，隨著的增大而增大，；當為偶數時，隨著的增大而增大，，隨著的增大而增大，.因此的最大值與最小值分別為，，其最大值與最小值之和為.故答案為：.【名師指路】本題考查求數列的最值問題，解題的關鍵是討論n的奇偶根據單調性求出范圍.15．(2023·上海·模擬預測）已知是等比數列，它的前n項和為，且，，則________【標準答案】或【思路指引】根據是等比數列，且，，求得，再利用等比數列的前n項和公式求解.【詳解詳析】因為是等比數列，且，，所以，解得，當時，，則，當時，，則，故答案為：或16．(2023·上海市向明中學高三月考）已知數列前項和為，且滿足，則________．【標準答案】【思路指引】根據與的關系式把已知條件中的轉化為的形式，從而可求出是首項為，公比為的等比數列，利用等比數列的的通項公式即可求出數列的通項公式，從而可求出的值.【詳解詳析】因為時，，所以，即，所以，即，又時，，所以，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，即，所以.故答案為：.17．(2023·上海奉賢區致遠高級中學高三期中）用表示自然數的所有因數中最大的那個奇數，例如：“9的因數有1、3、9，”，“10的因數有1、2、5、10，”，那么____________．【標準答案】【思路指引】根據題中對的定義，判斷出，且若為奇數則，利用等差數列的前項和公式及逐差累加的方法及等比數列的前項和公式，即可得出答案.【詳解詳析】由的定義易知，且若為奇數則令則即由此可得以上各式相加得即故答案為：【名師指路】方法點睛：本題考查等差數列的前項和公式、等比數列的前項和公式、累加法的應用，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想.18．(2023·上海市控江中學高一期末）對于任意一個有窮數列，可以通過在該數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的之和，構造一個新的數列，現對數列1，5進行構造，第1次得到數列1，6，5，第2次得到數列1，7，6，11，5，依此類推，第n次得到數列1，，，，…，5.記第n次得到的數列的各項之和為，則的通項公式______.【標準答案】【思路指引】依據題意構造數列，分析規律，結合等比數列前項和公式即可求解.【詳解詳析】由題意得，，，，，，，由等比數列的前項和公式可得，，所以的通項公式.故答案為：.19．(2023·上海·格致中學高二期中）已知數列滿足：，，記數列的前項和為，若對所有滿足條件的，的最大值為____.【標準答案】推導出對任意的時，取最大值時，為等比數列，求出該數列的首項和公比，利用等比數列的求和公式可求得的最大值.【詳解詳析】因為數列滿足，，所以，，可得，，則.易得當時，，則、、、均為正數，由可知，可得數列為單調遞增數列，當取最大值時，，可得，所以，對任意的，取最大值時，數列為等比數列，且該數列的公比為，首項為.因此，的最大值為.故答案為：.【名師指路】關鍵點點睛：本題考查數列和的最值，解題的關鍵就是結合題意推導出當中的每一項均取最大值時，為等比數列，在推導時可充分利用數學歸納法來進行推導.20．(2023·上海嘉定·一模）已知集合，，將中的所有元素按從小到大的順序排列構成一個數列，設數列的前項和為，則使得成立的最小的的值為_____________.【標準答案】36【思路指引】由題可得為數列的項，且利用分組求和可得，通過計算即得.【詳解詳析】由題意，對于數列的項，其前面的項1，3，5，…，，共有項，，共有項，所以為數列的項，且.可算得（項），，，因為，，，所以，，，因此所求的最小值為36.故答案為：36.三、解答題21．(2023·上海市復興高級中學高二期末）在數列中，，（n為正整數）.(1)求的通項公式；(2)求證：；(3)若數列滿足，，求數列的通項公式.【標準答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【思路指引】（1）利用累乘法可求出數列的通項公式；（2）根據（1）可求出，從而根據裂項相消求和法可證明結論；（3）根據（1）可知，從而利用累加法可求出數列的通項公式.(1)因為，所以，，，，…，，把以上個式子相乘，得，即，所以，即.(2)因為，所以，所以，所以.(3)因為，即，所以，，，，…，，把以上個式子相加，得，又因為，所以.22．(2023·上海市控江中學高二期末）某公司舉辦捐步公益活動，參與者通過捐贈每天的運動步數獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈給留守兒童．此活動不但為公益事業作出了較大的貢獻，還為公司獲得了相應的廣告效益，據測算，首日參與活動人數為5000人，以后每天人數比前一天都增加15%，30天后捐步人數穩定在第30天的水平，假設此項活動的啟動資金為20萬元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人數精確到1人，收益精確到1元）．(1)求活動開始后第5天的捐步人數，及前5天公司的捐步總收益；(2)活動開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余？【標準答案】(1)8745，1686元(2)37天【思路指引】（1）根據等比數列的性質求出結果；（2）對活動天數進行討論，列出不等式求出的范圍即可.(1)設第天的捐步人數為，則且，∴第5天的捐步人數為．由題意可知前5天的捐步人數成等比數列，其中首項為5000，公比為1.15，∴前5天的捐步總收益為元.(2)設活動第天后公司捐步總收益可以回收并有盈余，若，則，解得（舍）．若，則，解得∴活動開始后第37天公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余.23．(2023·上海市控江中學高二期末）已知數列與滿足．(1)若，且，求數列的通項公式；(2)設的第k項是數列的最小項，即恒成立．求證：的第k項是數列的最小項；(3)設．若存在最大值M與最小值m，且，試求實數的取值范圍．【標準答案】(1)．(2)證明見解析．(3)．【思路指引】（1）由已知關系得出是等差數列及公差，然后可得通項公式；（2）由已知關系式，利用累加法證明對任意的，恒成立，即可得．（3）由累加法求得通項公式，然后確定的奇數項和偶數項的單調性，得出數列的最大項和最小項，再利用已知范圍解得的范圍．(1)由已知，是等差數列，公差為6，所以；(2)對任意的，恒成立，而恒成立，若，則，恒成立，同理若，也有恒成立，所以對任意的，恒成立，即是最小項；(3)時，，所以，也適合此式．所以，若，則，，，即，，若，由于，且是正負相間，因此無最大項也無最小項．因此有，所以的奇數項數列是遞增數列，且，，的偶數項數列是遞減數列，且，，所以的最大值是，最小項是，，由，又，所以．24．(2023·上海·高三月考）定義：若無窮數列滿足是公比為q的等比數列，則稱數列為“數列”.設數列中，，.（1）若，且數列為“數列”，求數列的通項公式：（2）設數列的前n項和為，且，請判斷數列是否為“數列”，并說明理由；（3）若數列是“數列”，是否存在正整數m，n，使得？若存在，請求出所有滿足條件的正整數m，n；若不存在，請說明理由.【標準答案】（1）；（2）是，理由見解析；（3）存在，，.【思路指引】（1）根據數列的定義，結合等比數列的定義進行求解即可；（2