函數的概念

層級（一）“四基”落實練

1.（多選）下列集合4到集合6的對應f是函數的是（）

A.4={-1,0,1},8={0,1},/：4中的數平方

B.A={0,1},8={-1,0,1},f：力中的數開方

C.A=Z,B=Q,f：］中的數取倒數

D.4=R,6={非負實數},f：4中的數取絕對值

解析：選AD按照函數定義，選項B中，集合力中的元素1對應集合6中的元素±1,

不符合函數定義中一個自變量的值對應唯一的函數值的條件；選項C中，集合4中的元素0

取倒數沒有意義，也不符合函數定義中集合4中任意元素都對應著唯一的函數值的要求；選

項A、D中，集合/中的元素都與集合6中元素對應，也符合函數定義.故選A、D.

2.已知函數f（x）=|,則等于（）

13

A.-B「

aa

C.aD.3d

解析：選D/QJ=y=3a.

a

3.函數y=""的定義域是(

)

x~1

A.(—1,+8)B.[-1,+8)

C.(-1,1)U(1,+8)D.[-1,1)U(1,+oo)

解析：選D由題意fx可+12得0，所以后t且e，故函數尸￡x+1的定義域

為{x|—1且Bl}.

4.（多選）下列各組函數表示同一個函數的是（）

9一3

A.y=---與y=x+3（xW3）

X—6

B.尸（*+1）2與夕=^

C.尸形與尸3

D.y=x+1,與尸一+1,tGZ

解析：選CD選項A、B中對應關系都不同，故都不是同一個函數.C、D定義域、對應

關系都相同，是同一個函數.

5,若函數y=f（x）的定義域M={x|—2<xW2},值域為N={y|0WyW2},則函數y=f（x）

的圖象可能是()

解析：選BA中定義域是{x|—2WxW0},不是步={x|—2WxW2},C中圖象不表示函

數關系，D中值域不是/k{y|0Wj<2}.故選B.

6.函數尸將的定義域用區間可以表示為

6一40,

解析：要使函數有意義，需滿足

Ix\—4^0,

]后6,

即1*片±4,

二定義域為(-8,-4)U(-4,4)U(4,6].

答案：(-8,—4)U(—4,4)U(4,6]

7.函數f(x),g(x)分別由下表給出.

X123

F(x)131

X123

g(x)321

則/V(l))的值為;滿足f(g(x))〉g(f(x))的X的值是—

解析：⑴=3,f⑶=1,.?/(g(l))=l.

當x=l時，f(g(l))=F(3)=l,g(f(l))=g(l)=3,

f(g(x))<g(f(x)),不合題意；

當x=2時，F(g(2))=F(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,

f(g(x))>g(f(x)),符合題意；

當片3時，f(g(3))=f(l)=1,g(/'(3))=g(l)=3,

f(g(x))〈g(f(x)),不合題意.

答案：12

8.已知函數f(x)=x+2

X

(1)求f(x)的定義域；

(2)求f(—1),/'(2)的值；

(3)當aW—1時，求f(a+l)的值.

解：(1)要使函數/Xx)有意義，必須使*#0,

的定義域是(-8,0)U(0,+8).

115

(2)/(—1)=—H---7-~2>F(2)=2+5=；.

-1ZZ

(3)當a#—1時，a+IWO,f(a+1)=a+1+~TT.

a+1

層級(二)能力提升練

1.若函數/Xx)的定義域為[0,4],則函數g(x)=半與的定義域為()

■\jx-l

A.(1,2)B.(1,2]

C.(1,4]D.(1,4)

fOW2xW4,

解析：選B由題意得解得1<遼2,因此，函數y=g(x)的定義域為

X—1>0,

(1,2].

2.下列函數中，對于定義域內的任意x,/"(*+1)=〃.)+1恒成立的為()

A./'(*)=x+lB.

C.f(x)I)./(A-)-Ix\

解析：選A對于A選項，f(x+l)=(x+1)+l=Hx)+1，成立.

對于B選項，f(x+l)=—(x+l)2WF(x)+l,不成立.

對于C選項，f(x+l)=i,f(x)+1=-+1,不成立.

*十1x

對于D選項，Ax+1)=|x+1,f(x)+1=|%|+1,不成立.

3.已知等腰三角形力附的周長為10,底邊長y關于腰長x的函數式為y=10—2x,則此

函數的定義域為一

解析：；△4%'的底邊長顯然大于0,即y=10—2x>0,

又兩邊之和大于第三邊，：.2x>10-2x.

.?.此函數的定義域為(|,5).

答案：(|，5

1+v2

4.已知函數/V)==.

(1)求f(x)的定義域;

⑵若F(a)=2,求a的值；

(3)求證：4；)=—F(x).

1+V

解：(1)要使函數f(x)=^―?有意義，只需1-fwo,解得xW±l,所以函數的定義域

1—X

為{x|x六±1},

1+V2

(2)因為〃力=廠7,且〃價=2,

所以/1(4二產=？，即3=］解得a=±半.

1—a33

/±1

⑶證明：由已知得他

X—1'

1-

-F(X)=-：+*：=：+；,所以/(3=—f(x).

\—xX—\\x)

5.用長為1的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架(如圖所

示).若矩形底邊加;長為2%,求此框架圍成的面積y與x的函數關系式,

并寫出其定義域.

解：設下部矩形的長為a,

貝lj2x+2a+gx2xn=1,

.\—2x—nx

.?a=2，

/.y=2ax+^n/=(1—2x—nx

=一(2+gn)f+x.

由實際意義，得x>0,

r1—一X1

且a=~>0.解得.

乙乙IJL

二定義域為X0<8<西丁■.

層級(三)素養培優練

1.設函數y=F(x)對任意正實數x,y都有f(x吻=f(x)+Hy),已知/'(8)=3,則『(*)

解析：因為f(x?y)=F(x)+f(力，所以令x=y=*,得/'(2)=『(鏡)+￡(鏡)，令x

=7=2,得/、(4)=/,(2)+F(2),令x=2,y=4,得f(8)=F(2)+=(4),所以f(8)=3/、(2)

=6/(^2),又〃8)=3,所以/'(鏡)=*

答案：2

2.構建一個問題情境，使其中的變量關系能用解析式y=,來描述.

答案：已知正方形的面積為x(尤＞0),求正方形的邊長必則尸,

3.規定為不超過1的最大整數，例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,對任意實數小

令/；(x)=[4x],g(x)=4x—[4x],￡(x)=￡(g(x)).

(D分別求匯(卷)和￡(看)的值；

(2)求x的取值范圍，使它同時滿足/](x)=l,E(x)=3.

77

解：⑴...km時，4x=0

?,瑞=冏=1'猥=卜冏4

A原=，砒))=向=⑶=3.

⑵由題意知/i(x)=[4x]=L則g(x)=4x—1,

fi(；0=—(4x—1)=[16x—4]=3.

]1W4XV2,71