2025屆安徽省宣城市郎溪縣七校數學高一下期末調研模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知實數x,y滿足約束條件y≤1x≤2x+2y-2≥0，則A．1 B．2 C．3 D．42．下面四個命題：①“直線a∥直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；②“直線l⊥平面α內所有直線”的充要條件是“l⊥平面α”；③“直線a、b為異面直線”的必要不充分條件是“直線a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的充分不必要條件是“α內存在不共線的三點到β的距離相等”；其中正確命題的序號是()A．①② B．②③ C．③④ D．②④3．下列說法中，正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則4．在區間上隨機選取一個數，則滿足的概率為()A． B． C． D．5．直線l：的傾斜角為（）A． B． C． D．6．從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，那么對立的兩個事件是（）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”7．若，，則等于()A． B． C． D．8．已知函數則的是A． B． C． D．9．已知函數，若方程在上有且只有三個實數根，則實數的取值范圍為()A． B． C． D．10．函數（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A．向右平移 B．向右平移C．向左平移 D．向左平移二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在半徑為的球中有一內接正四棱柱（底面是正方形，側棱垂直底面），當該正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是__________．12．在等比數列中，，，則______________.13．過點作圓的兩條切線，切點分別為，則=.14．如果事件A與事件B互斥，且，，則＝．15．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為___________。16．已知樣本數據的方差是1，如果有，那么數據，的方差為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，內角對邊分別為，，,已知.(1)求的值；(2)若，，求的面積．18．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點．（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．19．已知圓，為坐標原點，動點在圓外，過點作圓的切線，設切點為.（1）若點運動到處，求此時切線的方程；（2）求滿足的點的軌跡方程.20．無窮數列滿足：為正整數，且對任意正整數，為前項、、、中等于的項的個數.（1）若，求和的值；（2）已知命題存在正整數，使得，判斷命題的真假并說明理由；（3）若對任意正整數，都有恒成立，求的值.21．已知等差數列滿足．（1）求的通項公式；（2）設等比數列滿足,求的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

作出可行域，作直線l:x+y=0，平移直線l可得最優解．【詳解】作出可行域，如圖ΔABC內部（含邊界），作直線l:x+y=0，平移直線l，當直線l過點C(2,1)時，x+y=2+1=3為最大值．故選C．【點睛】本題考查簡單的線性規劃，解題關鍵是作出可行域．2、B【解析】

逐項分析見詳解.【詳解】①“a平行于b所在的平面”不能推出“直線a∥直線b”，如：正方體上底面一條對角線平行于下底面，但上底面的一條對角線卻不平行于下底面非對應位置的另一條對角線，故錯誤；②“直線l⊥平面α內所有直線”是“l⊥平面α”的定義，故正確；③“直線a、b不相交”不能推出“直線a、b為異面直線”，這里可能平行；“直線a、b為異面直線”可以推出“直線a、b不相交”，所以是必要不充分條件，故正確；④“α內存在不共線的三點到β的距離相等”不能推出“平面α∥平面β”，這里包含了平面相交的情況，“平面α∥平面β”能推出“α內存在不共線的三點到β的距離相等”，所以是必要不充分條件，故錯誤.故選B.【點睛】本題考查空間中平行與垂直關系的判斷，難度一般.對可以利用判定定理和性質定理直接分析的問題，可直接判斷；若無法直接判斷的問題可采用作圖法或者排除法判斷.3、C【解析】試題分析：選項A中，條件應為；選項B中當時不成立；選項D中，結論應為；C正確．考點：不等式的性質．4、D【解析】

在區間上，且滿足所得區間為，利用區間的長度比，即可求解．【詳解】由題意，在區間上，且滿足所得區間為，由長度比的幾何概型，可得概率為，故選D．【點睛】本題主要考查了長度比的幾何概型的概率的計算，其中解答中認真審題，合理利用長度比求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．5、C【解析】

由直線的斜率，又，再求解即可.【詳解】解：由直線l：，則直線的斜率，又，所以，即直線l：的傾斜角為，故選：C.【點睛】本題考查了直線傾斜角的求法，屬基礎題.6、D【解析】

寫出所有等可能事件，求出事件“至少有一個黑球”的概率為，事件“都是紅球”的概率為，兩事件的概率和為，從而得到兩事件對立.【詳解】記兩個黑球為，兩個紅球為，則任取兩球的所有等可能結果為：，記事件A為“至少有一個黑球”，事件為：“都是紅球”，則，因為，所以事件與事件互為對立事件.【點睛】本題考查古典概型和對立事件的判斷，利用兩事件的概率和為1是判斷對立事件的常用方法.7、C【解析】

直接用向量的坐標運算即可得到答案.【詳解】由，.故選：C【點睛】本題考查向量的坐標運算，屬于基礎題.8、D【解析】

根據自變量的范圍確定表達式，從里往外一步步計算即可求出.【詳解】因為，所以，因為，所以＝＝3.【點睛】主要考查了分段函數求值問題，以及對數的運算，屬于基礎題.對于分段函數求值問題，一定要注意根據自變量的范圍，選擇正確的表達式代入求值.9、A【解析】

先輔助角公式化簡,先求解方程的根的表達式,再根據在上有且只有三個實數根列出對應的不等式求解即可.【詳解】.又在上有且只有三個實數根,故,解得或,即或,.設直線與在上從做到右的第三個交點為,第四個交點為.則,.故.故實數的取值范圍為.故選：A【點睛】本題主要考查了根據三角函數的根求解參數范圍的問題,需要根據題意先求解根的解析式,進而根據區間中的零點個數列出區間端點滿足的關系式求解即可.屬于中檔題.10、A【解析】

利用函數的圖像可得，從而可求出，再利用特殊點求出，進而求出三角函數的解析式，再利用三角函數圖像的變換即可求解.【詳解】由圖可知，所以，當時，，由于，解得：，所以，要得到的圖像，則需要將的圖像向右平移.故選：A【點睛】本題考查了由圖像求解析式以及三角函數的圖像變換，需掌握三角函數圖像變換的原則，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據正四棱柱外接球半徑的求解方法可得到正四棱柱底面邊長和高的關系，利用基本不等式得到，得到側面積最大值為；根據球的表面積公式求得球的表面積，作差得到結果.【詳解】設球內接正四棱柱的底面邊長為，高為則球的半徑:正四棱柱的側面積：球的表面積：當正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差為：本題正確結果：【點睛】本題考查多面體的外接球的相關問題的求解，關鍵是能夠根據外接球半徑構造出關于正棱柱底面邊長和高的關系式，利用基本不等式求得最值；其中還涉及到球的表面積公式的應用.12、1【解析】

根據已知兩項求出數列的公比，然后根據等比數列的通項公式進行求解即可．【詳解】∵a1＝1，a5＝4∴公比∴∴該等比數列的通項公式a3＝11＝1故答案為：1．【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式，一般利用基本量的思想，屬于基礎題．13、【解析】

如圖，連接，在直角三角形中，所以，，，故.考點：1.直線與圓的位置關系；2.平面向量的數量積.14、0.5【解析】

表示事件A與事件B滿足其中之一占整體的占比．所以根據互斥事件概率公式求解．【詳解】【點睛】此題考查互斥事件概率公式，關鍵點在于理解清楚題目概率表示的實際含義，屬于簡單題目．15、3；【解析】

由三視圖還原幾何體，根據垂直關系和勾股定理可求得各棱長，從而得到最長棱的長度.【詳解】由三視圖可得幾何體如下圖所示：其中平面，，，，，，四棱錐最長棱為本題正確結果：【點睛】本題考查由三視圖還原幾何體的相關問題，關鍵是能夠準確還原幾何體中的長度和垂直關系，從而確定最長棱.16、1【解析】

利用方差的性質直接求解．【詳解】根據題意，樣本數據的平均數為，方差是1，則有，對于數據，其平均數為，其方差為，故答案為1.【點睛】本題考查方差的求法，考查方差的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)2(2)【解析】

（1）在題干等式中利用邊化角思想，結合兩角和的正弦公式、內角和定理以及誘導公式計算出，再利用角化邊的思想可得出的比值；（2）由（1）中的結果，結合余弦定理求出和的值，再利用同角三角函數的平方關系求出，最后利用三角形的面積公式求出的面積．【詳解】（1）由正弦定理得，則，所以，即，化簡可得．又，所以．所以，即.（2）由（1）知．由余弦定理及，，得，．解得，因此因為，且所以因此．【點睛】在解三角形的問題時，要根據已知元素的類型合理選擇正弦定理與余弦定理解三角形，除此之外，在有邊和角的等式中，優先邊化角，利用三角恒等變換思想化簡求解，能起到簡化計算的作用．18、（1）見解析（2）【解析】

（1）連接交于點，則為的中點，由中位線的性質得出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；（2）取的中點，連接，由中位線的性質得到，且，可得出平面，于此得出直線與平面所成的角為，然后在中計算即可.【詳解】（1）連接，交于點，連接，由底面是菱形，知是的中點，又是的中點，∴.又∵平面，平面,∴平面；（2）取中點，連接，∵分別為的中點，∴，∵平面，∴平面，∴直線與平面所成角為，∵，，∴.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的計算，在計算直線與平面所成角時，要注意過點作平面的垂線，構造出直線與平面所成的角，再選擇合適的直角三角形求解，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題．19、（1）或；（2）.【解析】

解:把圓C的方程化為標準方程為（x＋1）2＋（y－2）2＝4，∴圓心為C（－1,2），半徑r＝2.（1）當l的斜率不存在時，此時l的方程為x＝1，C到l的距離d＝2＝r，滿足條件．當l的斜率存在時，設斜率為k，得l的方程為y－3＝k（x－1），即kx－y＋3－k＝0，則＝2，解得k＝.∴l的方程為y－3＝（x－1），即3x＋4y－15＝0.綜上，滿足條件的切線l的方程為或.（2）設P（x，y），則|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x＋1）2＋（y－2）2－4，|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|.∴（x＋1）2＋（y－2）2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴點P的軌跡方程為.考點：直線與圓的位置關系；圓的切線方程；點的軌跡方程.20、（1），；（2）真命題，證明見解析；（3）.【解析】

（1）根據題意直接寫出、、的值，可得出結果；（2）分和兩種情況討論，找出使得等式成立的正整數，可得知命題為真命題；（3）先證明出“”是“存在，當時，恒有成立”的充要條件，由此可得出，然后利用定義得出，由此可得出的值.【詳解】（1）根據題意知，對任意正整數，為前項、、、中等于的項的個數，因此，，，；（2）真命題，證明如下：①當時，則，，，此時，當時，；②當時，設，則，，，此時，當時，.綜上所述，命題為真命題；（3）先證明：“”是“存在，當時，恒有成立”的充要條件.假設存在，使得“存在，當時，恒有成立”.則數列的前項為，，，，，，后面的項順次為，，，，故對任意的，，對任意的，取，其中表示不超過的最大整數，則，令，則，此時，有，這與矛盾，故若存在，當時，恒有成立，必有；從而得證.另外：當時，數列為，故，則.【點睛】本題考查數列知識的應用，涉及到命