2025屆北京市西城區北京第四十四中學高一數學第二學期期末學業質量監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學生600名，據此估計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數為（）A．588 B．480 C．450 D．1202．已知a、b是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，若，，，則下列三個結論：①、②、③．其中正確的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．33．在中，，，，則的面積為A． B． C． D．4．古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據上題的已知條件，可求得該女子第3天所織布的尺數為A．2031 B．35 C．85．已知等比數列的前n項和為，若，，則（）A． B． C．1 D．26．已知點，直線方程為，且直線與線段相交，求直線的斜率k的取值范圍為（）A．或 B．或C． D．7．已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．8．（2018年天津卷文）設變量x，y滿足約束條件則目標函數的最大值為A．6 B．19 C．21 D．459．已知在三角形中，，點都在同一個球面上，此球面球心到平面的距離為，點是線段的中點，則點到平面的距離是（）A． B． C． D．110．已知函數（其中），對任意實數a，在區間上要使函數值出現的次數不少于4次且不多于8次，則k值為（）A．2或3 B．4或3 C．5或6 D．8或7二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知兩點，則線段的垂直平分線的方程為_________.12．若函數圖象各點的橫坐標縮短為原來的一半，再向左平移個單位，得到的函數圖象離原點最近的的對稱中心是______．13．已知原點O（0，0），則點O到直線x+y+2=0的距離等于．14．函數的遞增區間是__________.15．我國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地．”則該人第一天走的路程為__________里．16．如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB為直徑在外作半圓O，P是半圓弧AB上的動點，點Q在斜邊BC上，若，則的取值范圍是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列為等差數列，且滿足，，數列的前項和為，且，.（Ⅰ）求數列，的通項公式；（Ⅱ）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.18．如圖1，已知菱形的對角線交于點，點為線段的中點，，，將三角形沿線段折起到的位置，，如圖2所示．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．19．在中，角、、的對邊分別為、、，已知.（1）求角的大小；（2）若，點在邊上，且，，求邊的長.20．設甲、乙、丙三個乒乓球協會分別選派3，1，2名運動員參加某次比賽，甲協會運動員編號分別為，，，乙協會編號為，丙協會編號分別為，，若從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽.（1）用所給編號列出所有可能抽取的結果；（2）求丙協會至少有一名運動員參加雙打比賽的概率；（3）求參加雙打比賽的兩名運動員來自同一協會的概率.21．在直角坐標系中，，，點在直線上.（1）若三點共線，求點的坐標；（2）若，求點的坐標.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：根據頻率分布直方圖，得；該模塊測試成績不少于60分的頻率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴對應的學生人數是600×0.8=480考點：頻率分布直方圖2、C【解析】

根據題意，，，，則有，因此，，不難判斷.【詳解】因為，，，則有，所以，，所以①正確，②不正確，③正確，則其中正確命題的個數為2.故選C【點睛】本題考查空間中直線與平面之間的位置關系，考查空間推理能力，屬于簡單題.3、C【解析】

利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形內角和求出角C，再利用三角形的面積公式求出三角形的面積，求得結果.【詳解】因為中，，，，由正弦定理得：，所以，所以，所以，所以，故選C.【點睛】該題所考查的是有關三角形面積的求解問題，在解題的過程中，需要注意根據題中所給的條件，應用正弦定理求得，從而求得，之后應用三角形面積公式求得結果.4、A【解析】

由題意可得該女子每天織布的尺數構成一個等比數列，且數列的公比為2，由題意求出數列的首項后可得第3天織布的尺數．【詳解】由題意可得該女子每天織布的尺數構成一個等比數列，且數列的公比為2，前5項的和為5，設首項為a1，前n項和為S則由題意得S5∴a1∴a3即該女子第3天所織布的尺數為2031故選A．【點睛】本題以中國古文化為載體考查等比數列的基本運算，解題的關鍵是正確理解題意，將問題轉化成等比數列的知識求解，考查閱讀理解和轉化、計算能力．5、C【解析】

利用等比數列的前項和公式列出方程組，能求出首項．【詳解】等比數列的前項和為，，，，解得，．故選：．【點睛】本題考查等比數列的首項的求法，考查等比數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6、A【解析】

先求出線段的方程，得出，在直線的方程中得到，將代入的表達式，利用不等式的性質求出的取值范圍．【詳解】易求得線段的方程為，得，由直線的方程得，當時，，此時，；當時，，此時，．因此，實數的取值范圍是或，故選A．【點睛】本題考查斜率取值范圍的計算，可以利用數形結合思想，觀察傾斜角的變化得出斜率的取值范圍，也可以利用參變量分離，得出斜率的表達式，利用不等式的性質得出斜率的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題．7、C【解析】試題分析：設的交點為，連接，則為所成的角或其補角；設正四棱錐的棱長為，則，所以，故C為正確答案．考點：異面直線所成的角．8、C【解析】分析：首先畫出可行域，然后結合目標目標函數的幾何意義確定函數取得最大值的點，最后求解最大值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區域如圖所示，結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點A處取得最大值，聯立直線方程：，可得點A的坐標為：，據此可知目標函數的最大值為：.本題選擇C選項.點睛：求線性目標函數z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.9、D【解析】

利用數形結合，計算球的半徑，可得半徑為2，進一步可得該幾何體為正四面體，可得結果.【詳解】如圖據題意可知：點都在同一個球面上可知為的外心，故球心必在過且垂直平面的垂線上因為，所以球心到平面的距離為即，又所以同理可知：所以該幾何體為正四面體，由點是線段的中點所以，且平面，故平面所以點到平面的距離是故選：D【點睛】本題考查空間幾何體的應用，以及點到面的距離，本題難點在于得到該幾何體為正四面體，屬中檔題.10、A【解析】

根據題意先表示出函數的周期，然后根據函數值出現的次數不少于4次且不多于8次，得到周期的范圍，從而得到關于的不等式，從而得到的范圍，結合，得到答案.【詳解】函數，所以可得，因為在區間上，函數值出現的次數不少于4次且不多于8次，所以得即與的圖像在區間上的交點個數大于等于4，小于等于8，而與的圖像在一個周期內有2個，所以，即解得，又因，所以得或者，故選：A.【點睛】本題考查正弦型函數的圖像與性質，根據周期性求參數的值，函數與方程，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

求出直線的斜率和線段的中點，利用兩直線垂直時斜率之積為可得出線段的垂直平分線的斜率，然后利用點斜式可寫出中垂線的方程．【詳解】線段的中點坐標為，直線的斜率為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，其方程為，即.故答案為.【點睛】本題考查線段垂直平分線方程的求解，有如下兩種方法求解：（1）求出中垂線的斜率和線段的中點，利用點斜式得出中垂線所在直線方程；（2）設動點坐標為，利用動點到線段兩端點的距離相等列式求出動點的軌跡方程，即可作為中垂線所在直線的方程．12、【解析】

由二倍角公式化簡函數式，然后由三角函數圖象變換得新解析式，結合正弦函數性質得對稱中心．【詳解】由題意，經過圖象變換后新函數解析式為，由，，，絕對值最小的是，因此所求對稱中心為．故答案為：．【點睛】本題考查三角函數的圖象變換，考查正弦函數的性質，考查二倍角公式，掌握正弦函數性質是解題關鍵．13、【解析】

由點到直線的距離公式得：點O到直線x+y+2=0的距離等于，故答案為.14、；【解析】

先利用輔助角公式對函數化簡，由可求解.【詳解】函數，由，可得，所以函數的單調增區間為.故答案為：【點睛】本題考查了輔助角公式、正弦函數的圖像與性質，需熟記公式與性質，屬于基礎題.15、192【解析】設每天走的路程里數為由題意知是公比為的等比數列∵∴∴故答案為16、【解析】

建立直角坐標系，得出的坐標，利用數量積的坐標表示得出，結合正弦函數的單調性得出的取值范圍.【詳解】取中點為，建立如下圖所示的直角坐標系則，設，，則，則設點，則，則當，即時，取最大值當，即時，取最小值則的取值范圍是故答案為：【點睛】本題主要考查了利用數量積求參數以及求正弦型函數的最值，屬于較難題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）數列的通項公式，利用，可求公差，然后可求；的通項公式可以利用退位相減法求解；（Ⅱ）求出代入，利用分離參數法可求實數的取值范圍.【詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，又，也成立，∴是以1為首項，3為公比的等比數列，∴.（Ⅱ），∴對恒成立，即對恒成立，令，，當時，，當時，，∴，故，即的取值范圍為.【點睛】本題主要考查數列通項公式的求解和參數范圍的確定，熟練掌握公式是求解關鍵，側重考查數學運算的核心素養.18、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）折疊前，AC⊥DE；，從而折疊后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能證明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．說明四邊形DEBC為平行四邊形．可得CB∥DE．由此能證明平面PBC⊥平面PCF．（Ⅱ）由題意根據勾股定理運算得到，又由（Ⅰ）的結論得到，可得平面，再利用等體積轉化有，計算結果.【詳解】（Ⅰ）折疊前，因為四邊形為菱形，所以；所以折疊后，，,又，平面，所以平面因為四邊形為菱形，所以．又點為線段的中點，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以．又平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（Ⅱ）圖1中，由已知得，，所以圖2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱錐的體積為．【點睛】本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查了三棱錐體積的求法，運用了轉化思想，是中檔題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理邊角互化思想以及兩角和的正弦公式可求出的值，結合角的范圍可得出角的大??；（2）利用余弦定理得出，由三角形的面積公式，代入數據得出，將該等式代入等式可解出邊的長.【詳解】（1）由及正弦定理，可得，即，由可得，所以，因為，，所以，，；（2）由于，由余弦定理得，又因為，所以的面積，把，，代入得，所以，解得．【點睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應用，同時也考查了余弦定理和三角形面積公式來解三角形，解題時要根據題中相關條件列方程組進行求解，考查方程思想的應用以及運算求解能力，屬于中等題.20、（1）15種；（2）；（3）【解析】

（1）從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽，利用列舉法即可得到所有可能的結果.（2利用列舉法得到“丙協會至少有一名運動員參加雙打比賽”的基本事件的個數，利用古典概型，即可求解；（3）由兩名運動員來自同一協會有，，，，共4種，利用古典概型，即可求解．【詳解】（1）由題意，從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽，所有可能的結果為，，，，，，，，，，，，，，，共15種.（2）因為丙協會至少有一名運動員參加雙打比賽，所以編號為，的兩名運動員至少有一人被抽到，其結果為：設“丙協會至少有一名運動員參加雙打比賽”為事件，，，，，，，，，，共9種，所以丙協會至少有一名運動員參加雙打比賽的概率.（3）兩名運動員來