吉林省長春市19中2024屆高三二診模擬考試數學試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.復數三的虛部是（）

1+21

A.iB.-iC.1D.-1

22

2.已知耳,工分別為雙曲線C：三一2=1（。〉0］〉0）的左、右焦點，過耳的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別

\BFA4

交于兩點，若48?8月=0,1則雙曲線C的離心率為（)

5

A.V13B.4C.2D.G

3.已知拋物線C：必=4、的焦點為歹，過點廠的直線/交拋物線C于A,B兩點,其中點4在第一象限，若弦

的長為25十則1A加FI

()

A.2或工B.3或工C.4或工-1

D.5或《

234

為所在平面內一點，且。匿+工。

4.已知AABC為等腰直角三角形，A=-,BC=2y/2MAABC0=!1,

42

則（）

l751

A?2v2-4B?--C.--D.——

222

5.若復數z=（2+i）（l+D（i是虛數單位），則復數z在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.已知平面向量a場滿足忖=2,慟=1,￡與人的夾角為F，且（a+46），（2a—力，則實數2的值為（）

A.-7B.-3C.2D.3

7.函數=（?<0）的圖像可以是（）

y<x

8.已知不等式組卜2-x表示的平面區域、?的面積為9,若點打「門-8,則一2i「的最大值為（）

x<a

A.3B.6C.9D.12

[x],x>0

9.已知函數/（x）=1（國表示不超過x的最大整數），若/（%）-以=0有且僅有3個零點，則實數a的

一，%<0

取值范圍是（）

]_2￡2』23

A.B.C.D.

2,3234

10.某四棱錐的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）

正《主〉視圖側〈左》視圖

俯視圖

84

A.8B.-C.4D.-

33

11.復數z（l-，）=，（i為虛數單位），貝！|z的共朝復數在復平面上對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

12.某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（)

正視圖側視圖

俯視圖

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在四棱錐尸—ABCD中，底面ABC。為正方形，出上面反^^^二反二人巴孔笈分別是棱卜民臺口陽的

中點，過在產，〃的平面交棱CD于點G,則四邊形石尸GH面積為.

14.函數/(x)=4cos5sin(s-f)+四(o＞0)的最大值與最小正周期相同，則/⑺在［-1,1］上的單調遞增區間為

15.某公園劃船收費標準如表:

船型兩人船(限乘2人)四人船(限乘4人)六人船(限乘6人)

每船租金(元/小時)90100130

某班16名同學一起去該公園劃船，若每人劃船的時間均為1小時，每只租船必須坐滿，租船最低總費用為______元,

租船的總費用共有種可能.

16.已知函數/(x)=sin［2x—，］,若方程/'(x)=］的解為再，x2(0＜%＜迎＜乃)，則七+工2=

sin(X1-x2)=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數/(x)=|x+l|—14—2%|.

(1)求不等式/(x)…;(x—1)的解集；

21

(2)若函數/(%)的最大值為相，且2〃+/?=加(。＞0/＞。)，求一+一的最小值.

ab

1BB

18.（12分）如圖，已知在三棱臺ABC—4耳G中，AC=2AB=29BC=6i-

B

A,C

(1)求證：AB±CCX.

（2）過A5的平面A5DE分別交4G，AC于點。，E,且分割三棱臺ABC-A31G所得兩部分幾何體的體積比

為^AAiE-BBlD=^ABC-BDC{~4:3,幾何體ABC-EDC為棱柱，求A片的長.

提示：臺體的體積公式v=g（s'+回+S）/z（S，，S分別為棱臺的上、下底面面積，丸為棱臺的高）.

19.（12分）已知點加（%,為）為橢圓。：++丁=1上任意一點，直線/：x°x+2%y=2與圓（x—ly+V=6交于人,

B兩點,點歹為橢圓C的左焦點.

（1）求證：直線/與橢圓C相切；

（2）判斷N/V8是否為定值，并說明理由.

20.（12分）如圖，點C是以為直徑的圓。上異于4、3的一點，直角梯形3CDE所在平面與圓。所在平面垂

直，QDEUBC,DCLBC,DE=-BC=2,AC=CD=3.

2

（1）證明：EO//平面AC。；

（2）求點石到平面AfiD的距離.

3

21.(12分)如圖，在四邊形ABC。中，ZD=2Zfi,AD=2DC=4,sinZB=-.

4

(1)求AC的長；

(2)若AABC的面積為6,求sinNC鉆?sinNACB的值.

22.(10分)在平面直角坐標系x0y中，已知拋物線C：y1=2px(。＞0)的焦點F在直線x+y—1=0上，平行

(2)若尸在線段上，P是。E的中點，證明：APEF.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

5i57(1-2，)10+5/=2+，，所以二

因為的虛部是1,故選C.

1+2,(l+2z)(l-2z)51+21

2、A

【解析】

由已知得A3,8月，怛&|=4x,由已知比值得|AE|=5x,|AB|=3x,再利用雙曲線的定義可用。表示出|相|,

用勾股定理得出區。的等式，從而得離心率.

【詳解】

㈣4

ABBF,=0,AB^0,BF^Q,.\ZABF=90。.又.,.可令忸閭=4%,則|A閭=5X,|AB|=3九.設

221^15

|AF；|=t,得=忸耳|-忸閭=2a,即5x-f=（3x+/）-4x=2a,解得/'=3a,x=a,

二|%|=4a,忸胤=|AB|+|A￡|=6a,

由忸片「+忸耳「=閨月「得(6ay+(4a)2=(2c)2,0?=13/，c=Aa，=該雙曲線的離心率e=5=&L

故選：A.

【點睛】

本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是由向量數量積為0得出垂直關系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點A,3到

焦點的距離都用。表示出來，從而再由勾股定理建立。的關系.

3、C

【解析】

先根據弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出|AF|,|BF|.

【詳解】

"4nl2P425

設直線的傾斜角為貝1|AB=--------.——

cos0cos049

16o193

所以cos29。：——,tan2^=---——1=一,即tan6=±—,

25COS26>164

33

所以直線/的方程為y=±Z%+l.當直線/的方程為y=]%+l,

x2=4y

.一一一IAFI4-0

聯立31，解得再=—1和%2=4,所以后廠,、二4；

y=—x+11研|°一(一1)

4

3\AFiIAFI1

同理，當直線/的方程為y=—：x+l.匕7=綜上，￡1=4或丁.選C.

4\BF4\BF\4

【點睛】

本題主要考查直線和拋物線的位置關系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現了到焦點的距離時，一般考慮拋物

線的定義.

4、D

【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結合向量的坐標運算，可求得點〃的坐標，進而求得由平面向

量的數量積可得答案.

【詳解】

如圖建系，則4(0,0),3(2,0),C(0,2),

.y

\、由+易得貝(1Ms.==

AB

故選：D

【點睛】

本題考查平面向量基本定理的運用、數量積的運算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運

算求解能力.

5、A

【解析】

將z整理成。+方的形式，得到復數所對應的的點，從而可選出所在象限.

【詳解】

解：z=(2+i)(l+i)=2+/+3i=l+3i,所以z所對應的點為(1,3)在第一象限.

故選:A.

【點睛】

本題考查了復數的乘法運算，考查了復數對應的坐標.易錯點是誤把i2當成1進行計算.

6、D

【解析】

由已知可得(a+2b>(2a-"=0,結合向量數量積的運算律，建立彳方程，求解即可.

【詳解】

依題意得4?）=2xlxcos——=-1

3

由（a+2）J（2a—Z?）=0,得2a—Ab+（24—l）a，Z?=O

即—32+9=0,解得2=3.

故選:。.

【點睛】

本題考查向量的數量積運算，向量垂直的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題.

7、B

【解析】

根據x<0,/（x）>0,可排除A,。，然后采用導數，判斷原函數的單調性，可得結果.

【詳解】

由題可知：?<0,

所以當％<0時，/（x）>0,

又/'（%）=，+。,

令/''（x）》。，則尤>ln（-a）

令/’（x）<0,則x<ln（—a）

所以函數/（九）在（f,ln（-⑼單調遞減

在（in（-。）,+8）單調遞增,

故選:B

【點睛】

本題考查函數的圖像，可從以下指標進行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調性；（5）值域，屬

基礎題.

8、C

【解析】

分析：先畫出滿足約束條件對應的平面區域，利用平面區域的面積為9求出。=3,然后分析平面區域多邊形的各個頂

點，即求出邊界線的交點坐標，代入目標函數求得最大值.

詳解：作出不等式組對應的平面區域如圖所示：

則A(a,a),B(a,-a),所以平面區域的面積S=-a-2a=9,

2

解得。=3,此時A(3,3),3(3,—3),

由圖可得當z=2x+y過點A(3,3)時，z=2x+y取得最大值9,故選C.

點睛：該題考查的是有關線性規劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應的可行域，之后根據目

標函數的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優解，從而聯立方程組，求得最

優解的坐標，代入求值，要明確目標函數的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據不同的形式，應用相

應的方法求解.

9、A

【解析】

根據［X］的定義先作出函數f(X)的圖象，利用函數與方程的關系轉化為f(X)與g(x)=ax有三個不同的交點，利用

數形結合進行求解即可.

【詳解】

當OWx<l時，［%］=0,

當lWx<2時，［%］=1,

當2Wx<3時，國=2,

當3Wx<4時，［x］=3,

若/(x)—ox=0有且僅有3個零點，

則等價為/(1)=◎有且僅有3個根，

即/(九)與g(%)=^有三個不同的交點，

作出函數/(尤)和g(x)的圖象如圖，

當a=l時，8(*)=%與/(九)有無數多個交點，

當直線g(x)經過點A(2,D時，即g⑵=2a=l,時，/(X)與g(x)有兩個交點，

9

當直線g(x)經過點8(3,2)時，即g(3)=3a=2,°=§時，〃尤)與g(x)有三個交點,

12

要使/(X)與g(尤)=雙有三個不同的交點，則直線g(X)處在過y=QX和之間，

即工＜?！?

23

故選：A.

【點睛】

利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法

⑴直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的范圍；(2)分離參數法：先將參數

分離，轉化成求函數的值域(最值)問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解.

10、D

【解析】

根據三視圖知，該幾何體是一條垂直于底面的側棱為2的四棱錐，畫出圖形，結合圖形求出底面積代入體積公式求它

的體積.

【詳解】

根據三視圖知，該幾何體是側棱底面ABC。的四棱錐，如圖所示：

p

結合圖中數據知，該四棱錐底面為對角線為2的正方形,

高為PA=2,

1724

???四棱錐的體積為V=L土-2=2

323

故選：D.

【點睛】

本題考查由三視圖求幾何體體積，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查空間想象能力.屬于中等題.

11、C

【解析】

由復數除法求出z,寫出共朝復數，寫出共朝復數對應點坐標即得

【詳解】

小皿_i_*1+')_-l+C11._11.

解析：：z=--=-----；---=------=----1--1,z=--------Z,

1-z(l-z)(l+z)22222

對應點為(-5,-5),在第三象限.

故選：C.

【點睛】

本題考查復數的除法運算，共朝復數的概念，復數的幾何意義.掌握復數除法法則是解題關鍵.

12、C

【解析】

該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積V=；x(gx2x2)x2=g.故選C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4^/6

【解析】

設G是CD中點，由于凡尸,〃分別是棱PB,5cp。的中點，所以EF//PC,EF=-PC,HG//PC,HG=-PC,

22

所以EF//HG,EF=,所以四邊形EFGH是平行四邊形.由于PA，平面ABCD，所以%，班)，而，AC,

PAAC=A,所以平面K4C,所以PC.由于FG//BD,所以3GLPC,也即EGLER,所以四

邊形AFG〃是矩形.

而EF=LpC=273,FG=-BD=272.

22

從而SEFGH=2A/3x2A/2=4A/6.

故答案為：4A/6?

【點睛】

本小題主要考查空間平面圖形面積的計算，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

【解析】

利用三角函數的輔助角公式進行化簡，求出函數的解析式，結合三角函數的單調性進行求解即可.

【詳解】

,**/(%)=4cosa)x(^-sincox-coscox)+0

=272sinscosGX-20cos2CDX+yfl

-^2sin2cox-亞cos2a)x

71

=2sin(2(7?x--),

則函數的最大值為2,周期7=至=工，

2GCD

/(X)的最大值與最小正周期相同，

一=2,得0=彳，

0)2

TT

則/(-V)=2sin(7T%--),

當-1黜1時，fc--—,

444

則當—軍轟女■工—工工時，

24244

13

即函數Ax)在［-1,1］上的單調遞增區間為

13

故答案為：

44

【點睛】

本題考查三角函數的性質、單調區間，利用輔助角公式求出函數的解析式是解決本題的關鍵，同時要注意單調區間為

定義域的一個子區間.

15、36010

【解析】

列出所有租船的情況，分別計算出租金，由此能求出結果.

【詳解】

當租兩人船時，租金為："x90=720元，

當租四人船時，租金為：3xl00=400元,

4

當租1條四人船6條兩人船時，租金為：100+6x90=640元，

當租2條四人船4條兩人船時，租金為：2x100+4x90=560元，

當租3條四人船2條兩人船時，租金為：3x100+2x90=480元，

當租1條六人船5條2人船時，租金為：130+5x90=580元，

當租2條六人船2條2人船時，租金為：2x130+2x90=440元，

當租1條六人船1條四人船3條2人船時，租金為：130+100+3x90=500元，

當租1條六人船2條四人船1條2人船時，租金為：130+2x100+90=420元，

當租2條六人船1條四人船時，租金為：2x130+100=360元，

綜上，租船最低總費用為360元，租船的總費用共有10種可能.

故答案為：360,10.

【點睛】

本小題主要考查分類討論的數學思想方法，考查實際應用問題，屬于基礎題.

2兀4

16>-----

35

【解析】

求出/'(xhsinQx-4在(°㈤上的對稱軸，依據對稱性可得西+%的值;由％=多-占可得

63

sin(X1-冗2)=-cos(2^-—),依據sin(2芯—g]=：可求出cos(2%-2)的值.

【詳解】

解：^2x--=-+k7r,k^Z,解得x=-+位次eZ

6232

—717C27r

=

因為0<%1Vx2V"，所以石，％2關于％§對稱.則玉+尤22X—=—.

27rnd?/、?/c2〃717171

由％2=---------X，貝！Jsin(%1-x)=sm(2%]------)=sin(2X]---------)=—cos(2再----)

323626

7113

由可知,

OCX<%2~6'~L2，又因為5Vg<i,

所以工<2須--(工，則cos(2jq-工)=Jl-sin、2xi-工)=4,即sin(&

6626V655

27r4

故答案為：y；-j

【點睛】

本題考查了三角函數的對稱軸，考查了誘導公式，考查了同角三角函數的基本關系.本題的易錯點在于沒有正確判斷

2%-2的取值范圍，導致求出cos(2x「2)=±±.在求/(力=須皿g+0)的對稱軸時，常用整體代入法，即令

665

TT

a)x+(p=—+k7r,keZ進行求解.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)[1,4](2)3

【解析】

x—5,x<—1,

(1)化簡得到/(x)=3x-3,-1轟此2,,分類解不等式得到答案.

—X+5,x>2.

(2)/(x)的最大值7〃=/(2)=3,2a+b=3(a>0,b>0),利用均值不等式計算得到答案.

【詳解】

x—5,x<—1,

(1)/(x)=x+l|-|4-2x=3X-3,-1M2,

-x+5,x>2.

fx<-l,PM2,x>2,

或11

因為y(x)…故i或i

1)-x+5>-(x-l),

、3

解得度從2或2<%,4,故不等式/'(x)…g(x-1)的解集為[

1,4].

(2)畫出函數圖像，根據圖像可知f(x)的最大值7〃=/(2)=3.

一211(21A1(2a+2b+5/1x(八c八)=.

因為2〃+Z?=3(a>0,/?>0),所以—1———(2〃+Z?)—1—■rjuT1"3

ab3\ab

21

當且僅當〃二人=1時，等號成立，故一+丁的最小值是3.

ab

【點睛】

本題考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查學生的計算能力和轉化能力.

18、(1)證明見解析；(2)2

【解析】

(1)在AABC中，利用勾股定理，證得又由題設條件，得到利用線面垂直的判定定理，證

得AB，平面BCC&I,進而得到AB±CQ；

(2)設三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為〃，根據棱臺的體積公式，列出方程求得-，得到

2

ABg,即可求解.

【詳解】

(1)由題意，在AABC中，AC=2Afi=2,BC=6，

所以筋2+8。2=人。2,可得

因為4與，5與，可得A3,3男.

又由3CBB}=B,BC,5與u平面8。。］用，所以A3,平面

因為CGu平面所以

(2)因為匕L4[E-BB]。?匕1BC-E￡>G=4?3,可得匕1BC-&B1G?匕BC-E￡>G=7,

令S^ABC=§，S2VliB￡=S,

設三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為力,

1，整理得6S'——S=0,

3

q'/V回iAB

即6'―/3—1=0,解得』±=上,即言

sysVs2A42

又由A3=l,所以44=2.

【點睛】

本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應用，以及幾何體的體積公式的應用，其中解答中熟記線面位置關系的判定

定理與性質定理，以及熟練應用幾何體的體積公式進行求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.

19、（1）證明見解析；（2）是，理由見解析.

【解析】

（1）根據判別式即可證明.

（2）根據向量的數量積和韋達定理即可證明，需要分類討論，

【詳解】

解：（1）當先=0時直線/方程為》=夜或x=—0,直線/與橢圓C相切.

「2

X|2_］

當先/0時，由＜2+y~得（2常+片,2-4%r+4—=0,

xox+2yoy=2

丫2

由題知，々+需=1,即芯+2*=2,

所以A=（—4x°）2—4（2y；+x；）（4—4端=161：—2（1—y：）］=16（x；+2y；—2）=0.

故直線/與橢圓C相切.

⑵設A（%，X）,B（%2,y2）,

當先=0時，X=々，%=-%，占=±&，

曲?麗=（/+1）2_寸=（芯+］）2_6+（須_1『=2才-4=0

所以E4J.EB，BPZAFB=90°.

當為/0時，由〈，二得由+1,2―2(2尤+/)龍+2—10y：=0,

則用+X2=2（2y；?）2Toy

X1X2;一；--

1+y；1+%

因為F4FS=（玉+l,y1）（x2+l,y2）

=xlx2+xi+x2+l+yly2

4—20yj+8yj+4x0+2+2q-5君—4%。+4

2+2yj2+2yj

5(片+2y；)+10

一—u?

2+2y；

所以E4_L必，即NAFB=90°.故NAfB為定值90°.

【點睛】

本題考查橢圓的簡單性質，考查向量的運算，注意直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能

力，屬于中檔題.

20、(1)見解析；(2)小畫

41

【解析】

(1)取的中點4，證明。加〃47,￡70//。。,則平面0加￡〃平面47￡),則可證EO//平面ACZ).

(2)利用VE_ABD=匕一￡勖，AC是平面跳力的高，容易求.4B°E=；0ExCr>=gx2x3=3,再求SARD，則點E

到平面ABD的距離可求.

【詳解】

解：(1)如圖：

取的中點"，連接。河、ME.

在ABC中，。是A5的中點，"是的中點，

OM〃47,4。2平面石欣？，加0匚平面皿0，故AC〃平面EMO

在直角梯形3C。石中，DECB,且DE=CM,

二四邊形MC0E是平行四邊形，〃CD,同理C￡)〃平面勵始

又CDcAC=C，故平面EMO//平面ACD,

又EOu平面EMO,:.EO〃平面ACD.

(2)QAB是圓。的直徑，點C是圓。上異于4、5的一點，

:.AC±BC

又V平面BCDE±平面ABC,平面BCDEn平面ABC=BC

」.AC，平面8CDE,

可得AC是三棱錐A-BDE的高線.

在直角梯形3cDE中，SABDE=DExCD=^x2x3=3.

設E到平面曲的距離為人則％一49=匕.EBD，即gSoBo/ngsaEBoSC

由已知得AB=5,BD=5,AD=342,

由余弦定理易知：cosZABD=1|,則S△即°=；AB-BDsinNABD=孑｝

解得〃=g匣，即點E到平面海的距離為小反

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【點睛】

考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法，是中檔題.

_9

21、(1)AC=(2)sinZCAB-sinZACB=—

【解析】

(1)利用余弦定理可得AC的長；(2)利用面積得出ac,結合正弦定理可得.

【詳解】

,1

解：(1)由題可知cos/D=cos2/B=l-2sin~N3=——.