平面向量

考情解讀

高考側(cè)重考查正、余弦定理與其他知識(shí)(如三角函數(shù)、平面向量等)的綜合應(yīng)用，試題一般為中檔題，各

種題型均有可能出現(xiàn).

預(yù)測(cè)高考仍將以正、余弦定理的綜合應(yīng)用為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查計(jì)算能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決

問(wèn)題的能力.

重點(diǎn)知識(shí)梳理

1.向量的基本概念

(1)既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)零向量的模為0,方向是任意的，記作0.

(3)長(zhǎng)度等于I的向量叫單位向量.

(4)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.

(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量.零向量和任一向量平行.

2.共線向量定理

向量以存0)與B共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使6=2°.

3.平面向量基本定理

如果以、ez是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)力、

丸2,使。=4+%ze2.

4.兩向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量。和在平面上任取一點(diǎn)。，作="，=b,則乙4。8=。(0?！瓯?80。)叫作“與分的

夾角.

5.向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算

(1)設(shè)。=(?,yi),》=(尤2,yi),則

a±b=(xi±X2,yi±”)，ka=(2xi，Xyi).

(2)若A(xi,yi),3(x2,丁2),則=(X2—xi,”一yi).

6.平面向量共線的坐標(biāo)表示

已知〃=(?,yi),b=(X2,”)，

1

當(dāng)且僅當(dāng)xiyi~X2yi=0時(shí)，向量a與b共線.

7.平面向量的數(shù)量積

設(shè)。為a與b的夾角.

(1)定義：ab=\a\\b\cos3.

(2)投影："=|a|cos。叫做向量。在〃方向上的投影.

W

8.數(shù)量積的性質(zhì)

(1)Q_LDQ〃0=O；

(2)當(dāng)。與方同向時(shí),ab=\a\-\b\；當(dāng)。與力反向時(shí)，ab=—\a\-\b\；特別地，。?。=|砰；

(3)|a創(chuàng)W|aH臼;

sb

(4)cos^=而

9.數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

已知非零向量。=Q,yi),b=(x2,yi)

(1)〃?力=xiX2+yiy2；

(2)lal=遙+才

(3)a_Lb^^xiX2~\~yiy2—0；

(4)cos。

AM+_V?Jd+I

【誤區(qū)警示】

1.兩向量夾角的范圍是［。，汨，＞0與(?,b)為銳角不等價(jià)；a-b〈Q與＜?,b)為鈍角不等價(jià).

2.點(diǎn)共線和向量共線，直線平行與向量平行既有聯(lián)系又有區(qū)別.

3.。在》方向上的投影為她，而不是妙.

I*M

4.若a與都是非零向量，則%=0Qa與方共線，若。與萬(wàn)不共線，則癡+〃方=0=2=〃=0.

身頻者點(diǎn)突破

高頻考點(diǎn)一平面向量的概念及運(yùn)算

例1.12017課標(biāo)1,理13】已知向量a,。的夾角為60。，同=2,依=1,則|a+2b|=

【變式探究】已知向量。=(機(jī),4),6=(3,—2),且a〃方，則帆=.

【變式探究】(1)已知點(diǎn)A(0,l),8(3,2),向量=(—4,-3),則向量=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

2

c.(-1,4)D.(1,4)

【舉一反三】向量的三角形法則要保證各向量“首尾相接”；平行四邊形法則要保證兩向量“共起點(diǎn)”，結(jié)

合幾何法、代數(shù)法(坐標(biāo))求解.

(2)設(shè)D,E,尸分別為AABC的三邊8C,CA,A8的中點(diǎn)，則+=()

A.B.

C.D.,

2

高頻考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的計(jì)算與應(yīng)用

例2.【2019年高考全國(guó)n卷理數(shù)】已知=(2,3),=(3,。，=1,則.=

A.—3B.—2

C.2D.3

【舉一反三】(2018年全國(guó)I卷理數(shù))設(shè)拋物線C：y2=4尤的焦點(diǎn)為凡過(guò)點(diǎn)(一2,0)且斜率為~的直線

3

與C交于N兩點(diǎn)，則M=

A.5B.6C.7D.8

11A/1|(VJ11

【變式探究】已知向量2},=12'則/ABC=()

A.30°B.45°

C.60°D.120°

【變式探究】(1)向量a=(l,—1),Z?=(-l,2),則(2a+?y=()

A.-1B.0

C.1D.2

【舉一反三】當(dāng)向量以幾何圖形的形式(有向線段)出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量積的計(jì)算可利用定義法；當(dāng)向量以坐

標(biāo)形式出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量積的計(jì)算用坐標(biāo)法；如果建立坐標(biāo)系，表示向量的有向線段可用坐標(biāo)表示，計(jì)算向

量較簡(jiǎn)單.

(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為CD的中點(diǎn)，則-=.

高頻考點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用

例3、【2019年高考浙江卷】已知正方形A3CD的邊長(zhǎng)為1,當(dāng)每個(gè)兒(，=1,2,3,4,5,6)取遍士1時(shí)，

\A'AB+A2BC+A3CD+AjjA+A5AC+人茄|的最小值是;最大值是.

3

【舉一反三】(2018年江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，E：0),

以AB為直徑的圓C與直線I交于另一點(diǎn)D.若京-CD=0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.

【變式探究】【2017江蘇，16】已知向量a=(cosx,sinx),》=(3,—3),xE[0R.

(1)若?！?,求尤的值；

(2)記大x)=a.6,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

真題感悟

1.【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】已知非零向量a,b滿足|Q1=2|Z>I,且(a—小)」b,則a與》的夾角

2.【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】已知=(2,3),=(3,t),=1,則二

A.-3B.-2

C.2D.3

3.【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線，貝與的夾角為銳角”是“|A，,+|”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.【2019年高考全國(guó)III卷理數(shù)】已知°,方為單位向量，且°仍=0,若c=2a—貝！]

cos\a,c')=.

5.(2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形A3CD中，AD//BCAB=2-八AD=5經(jīng)A=30。，

點(diǎn)E在線段C3的延長(zhǎng)線上，且AE=3E,則BD.AE=.

6.【2019年高考浙江卷】已知正方形A3CD的邊長(zhǎng)為1,當(dāng)每個(gè)4a=1,2,3,4,5,6)取遍土1時(shí)，

\A'AB+AJ3C+/\3CZ)+A'DA+/\5AC+人訪|的最小值是；最大值是.

1.(2018年浙江卷)已知〃，b,e是平面向量，。是單位向量.若非零向量〃與e的夾角為\向量力

滿足爐-4右。+3=0,則|。-加的最小值是

4

A.V5TB.<5+1C.2D.2-<5

2.（2018年天津卷）如圖，在平面四邊形ABC。中，，,,;iE

若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則,近?配的最小值為

3.（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)（一2,0）且斜率為~的直線與C交于

3

M,N兩點(diǎn)，則FFN=

A.5B.6C.7D.8

4.（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）在4中，Al）為B邊上的中線，E為/的中點(diǎn)，貝I」

3-1.1-31

A.ARACB.ABAC

4444

3-1.1一3一

C.AB、：\<'D.AB'：y'

4444

5.（2018年全國(guó)H卷理數(shù)）已知向量,1滿足,,則

A.4B.3C.2D.0

6.（2018年江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B（5,0）,以A3

為直徑的圓。與直線/交于另一點(diǎn)。.若Ab-cb=o,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.

7.（2018年全國(guó)ni卷理數(shù)）已知向量，,.若，貝以

1.【2017課標(biāo)3,理12］在矩形A3CQ中，AB=lfAD=2,動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心且與3。相切的圓上.

若A記入AR+pAn,則人+|J的最大值為

L3B.2-J2U石D2

2.【2017北京，理6】設(shè)私〃為非零向量，貝存在負(fù)數(shù)人使得機(jī)=*〃”是“機(jī).〃<0”的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

3.【2017課標(biāo)n,理12］已知AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則萬(wàn)1.（，+：）

5

的最小是()

34

A.-2B.——C.-—D.—1

23

4.【2017課標(biāo)1,理13］已知向量a,b的夾角為60。，⑷=2,依=1,則|a+26|=.

5.［2017天津，理13］在AABC中，NA=600,AB=3,AC=2.若BD=2DC,

Al=-Aw(/\ER),且A1.A.=-4,貝”的值為.

6.［2017山東，理12］已知4,e,是互相垂直的單位向量，若—g與q+及，的夾角為60.，則實(shí)數(shù)/

的值是.

7.12017浙江，15】已知向量a,b滿用a|=1,|對(duì)=2,則|a+b+(^~b的最小值是|,最大值

是.

8.【2017浙江，10】如圖，已知平面四邊形A8CD,ABLBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交

于點(diǎn)。，記/產(chǎn)以方%,I^OBOC,I3=OCOD,則

A.A<4B.A<z?<4c./3<A<4D.k<h<h

9【2017江蘇，12】如圖在同一個(gè)平面內(nèi)，向量仁二(J7.二7的模分別為11；。;與7T：的夾角為。

且tanC=7,OB與OC的夾角為45。.若OC=mOA+nOB(m,幾ER),貝ljm+〃=▲.

10.12017江蘇，16]已知向量〃=(cos%,sinx)J=(3,—./p,xE[0,7d

(1)若?！ā＃髕的值;

6

(2)記Ax)=〃.b，求/(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

1.12016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知向量。=(1,m)，3=(3,—2),且(,；+/,)」g,則機(jī)=()

(A)-8(B)-6(C)6(D)8

2.【2016高考江蘇卷】如圖，在AA5C中，。是BC的中點(diǎn)，及廠是上的兩個(gè)三等分點(diǎn),

■■■■————————

BC.CA=4,BF.CF=—l,則BE.CE的值是▲.

3.【2016年高考四川理數(shù)】在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,。滿足

=陋卜岡;DA'.DB^DB：DC^DC.DA^-2,動(dòng)點(diǎn)P,M滿足祠=1，萬(wàn)j=寸，則|方間一的最

大值是()

(A)翌(B)y(C)21^1(D)37+2加

4444

4.【2016高考江蘇卷】如圖，在AA5c中，。是的中點(diǎn)，E,廠是A,。上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

■■■■■■■■■■——■■■

5c.e4=4,BF.CF=—1,貝IJ3E.CE的值是▲.

7

平面向量

考情解讀

高考側(cè)重考查正、余弦定理與其他知識(shí)(如三角函數(shù)、平面向量等)的綜合應(yīng)用，試題一般為中檔題，各

種題型均有可能出現(xiàn).

預(yù)測(cè)高考仍將以正、余弦定理的綜合應(yīng)用為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查計(jì)算能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決

問(wèn)題的能力.

重點(diǎn)知識(shí)梳理

1.向量的基本概念

(1)既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)零向量的模為0,方向是任意的，記作0.

(3)長(zhǎng)度等于I的向量叫單位向量.

(4)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.

(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量.零向量和任一向量平行.

2.共線向量定理

向量以存0)與B共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使6=2°.

3.平面向量基本定理

如果ei、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)力、

丸2,使。=4+%ze2.

4.兩向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量。和方，在平面上任取一點(diǎn)。，作A=a,O^B=b,則/4。8=。(0?！瓯?80。)叫作a

與b的夾角.

5.向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算

(1)設(shè)a=(xi,yi),分=(無(wú)2,y2),則

a±b=(尤i±%2,yi±y2)，Xa=(Zxi，Ayi).

(2)若A(xi,yi),B(X2,>2),貝!JA3=(X2—九i,yi—yi).

6.平面向量共線的坐標(biāo)表示

8

已知〃=(X1,yi),方=(冗2,>2),

當(dāng)且僅當(dāng)xiy2-X2yi=0時(shí)，向量。與b共線.

7.平面向量的數(shù)量積

設(shè)。為。與b的夾角.

(1)定義：a-b=\a\\b\cos3.

(2)投影：儀=|a|cos。叫做向量。在方方向上的投影.

1*1

8.數(shù)量積的性質(zhì)

(l)a_Lb=ab=0；

(2)當(dāng)。與方同向時(shí)，a-b=\a\-\b\；當(dāng)。與力反向時(shí)，〃?力=一⑷?陰；特別地，aa=|砰;

(3)\a-b\<\a\-\b\；

(4)cos<9=a.

同團(tuán)

9.數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

已知非零向量a=(?,yi),b=(X2^yi)

(V)ab=xixi+yiy2；

(2)向=&-T；

(3)aJ_b^^xixi—0；

/八n為必+力通

(4)cos8=?-----------------.

vri+nvii+n

【誤區(qū)警示】

1.兩向量夾角的范圍是[0,兀"Q0>0與〈〃，b)為銳角不等價(jià)；a仍<0與〈a,b)為鈍角不等價(jià).

2.點(diǎn)共線和向量共線，直線平行與向量平行既有聯(lián)系又有區(qū)別.

3.。在?方向上的投影為她，而不是好.

網(wǎng)Id

4.若。與力都是非零向量，貝！Ma+〃力=0=a與力共線，若〃與方不共線，貝!UQ+〃力=0Ud=〃二0.

高頻考點(diǎn)突攻

高頻考點(diǎn)一平面向量的概念及運(yùn)算

例1.【2017課標(biāo)1,理13】已知向量a,6的夾角為60°,同=2,|臼=1,貝!]|。+26|=

【答案】2A

9

【解析】利用如下圖形，可以判斷出,；+2A的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)的菱形對(duì)角線的長(zhǎng)度,

|〃+2%FF+4a.b+41&|2=4+4x2x1xcos60°+4=12

所以匕+2臚而=28

【變式探究】已知向量Q=(根,4),〃=(3,—2),且Q〃方，則機(jī)=.

解析：基本法：,:aIIb、.*.a-Xb

即(加,4)=2(3,-2)=(32,-22)

|m=32,

?■-4=-22,故根=—6.

速解法：根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解：

,.?。=(租,4),b=(3,—2),a//b

mx(—2)—4x3=0

~2m—12=0,m——6.

答案：一6

【變式探究】(1)已知點(diǎn)4(0,1),8(3,2),向量A-C=(-4,—3),則向量8^6=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析：基本法：設(shè)C(x,y),則C=(x,y—1)=(—4,—3),

\x=—4,

所以b=_2,從而8一。=(一4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故選A.

速解法：VA->B=(3,2)-(0,l)=(3,l),

B^C=A^C~A^B=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

答案：A

【舉一反三】向量的三角形法則要保證各向量“首尾相接”；平行四邊形法則要保證兩向量“共起點(diǎn)”，結(jié)

10

合幾何法、代數(shù)法(坐標(biāo))求解.

(2)設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊8C,CA,AB的中點(diǎn)，貝!jL8+LC=()

AADB-At)

2

CBCD.-fit

-2

IiC7-I|

傾：基和4-：砌f=a,則LB=—%+a,F^C^-'a+b,從而片B+產(chǎn)C=2」+-2-

=-(a+b)=A^D,故選A.

產(chǎn)qfc

基本法二：如圖，E^B+F^C=ET，CJrC^B+F^B+B^C=E^C+F^B=^(A^C+A^B)

=-2AD=AD.

2

答案：A

高頻考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的計(jì)算與應(yīng)用

例2.【2019年高考全國(guó)H超數(shù)】已知4%T2,3),ATC=(3,t),B^C=1,

A.-3B.-2

C.2D.3

【答案】C

購(gòu)晰】^C=A^C—A^B=(1,t-3),[B(1=Jl2+("3)2=1,得f=3，則3=(1,0)七2.故

選C.

2

【舉一反三】(2018年全國(guó)I卷理數(shù))設(shè)拋物線C>2=4%的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為;的直線

與C交于M,N兩點(diǎn)，貝卜二

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

11

【解析】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為:的直線方程為y=：x，2)，與拋物線方程聯(lián)立，

(y2"4x

消元整理得：/_6y+8=0,解得M(1,2),N(4,4),又F(1,0),所以FM=(0,2),N=(3,4),從而可以求得

IM*N=0x3+2x4=8,故選D

ri_\5|11

【變式探究】已知向量22,，3To【22,貝！J/A3C=()

A.30°B.45°

C.60°D.120°

解析：基本法：根據(jù)向量的夾角公式求解.

4t212臼=1,『0=1,8-48飛+,+^^=坐

一一成BC

.*.cosZABC—cos〈BA,BO==.

\BA\-\Bq2

P

V0P<(B^A,尸。<180^,：.ZABC=(B^AfB^O=30.

速解法：如…為原…

ZABx=60°i

答案：A

【變式探究】⑴向量a=(1,-1),0=(T,2),則(2a+?,a=()

A.-1B.0

C.1D.2

解析：基本法：因?yàn)?a+》=2(l,-l)+(-l,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2。+本)?a=(l,0)?(L

-1)=1X1+0x(—1)=1.故選c.

速解法：Va=(1,—1),b=(—1,2),Aa2=2,a-b=—3,

從而(2a+》)?a=2a2+a-b=4—3=1.故選C.

答案：C

12

【舉一反三】當(dāng)向量以幾何圖形的形式（有向線段）出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量積的計(jì)算可利用定義法；當(dāng)向量以坐

標(biāo)形式出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量積的計(jì)算用坐標(biāo)法；如果建立坐標(biāo)系，表示向量的有向線段可用坐標(biāo)表示，計(jì)算向

量較簡(jiǎn)單.

⑵已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為2,E為CD的中點(diǎn)，則4一45-。=

解析：基本法：以A-B、A—Q為基底表示A一斫口8后直接計(jì)算數(shù)量積.

A^E=A^D+-A^B,B^D=A^D-A^B,

|A^D+-A^B|

：.A^EB^D=^240-0—A%

=以一坪—獷麻=22_：x22=2.

速解法：（坐標(biāo)法）先建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8所在的直線為x軸，A￡＞所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0,0）,

8(2,0),0(0,2),￡(1,2),

.?.A%=(12)，一級(jí)

；.「E『D=1x（-2）+2x2=2

答案：2

高頻考點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用

例3、【2019年高考浙江卷】已知正方形A3CD的邊長(zhǎng)為1,當(dāng)每個(gè)4a=1,2,3,4,5,6）取遍士1時(shí)，

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

\\AB+A2BC+A3CD+A4DA+4AC+45。I的最小值是;最大值是.

【答案】。；2K

【解析】以ABAD分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.

13

Z>(O,D-----------------C(l,l)

--------------------------------------------?

,4(0,0)3(1,0)x

則君三(l,0),BC=(0,l),d5-=(―l,0),DA=(0,-1),AC'=(1,1),BD=(—1,1),

令

—-

y=|/,A+A2BC+/3iJ+/\4D1+A5AC+/\6.1=+/5/6)+(4一人+4+人之0.

又因?yàn)閮?，=1,2,3,4,5,6)可取遍土1,

所以當(dāng)a=4=4=人="=M2=-1時(shí)，有最小值為n=0.

因?yàn)?4一人+人)和(人一人+人)的取值不相關(guān)，4=1或4="I,

所以當(dāng)(4f+4)和(4一4+人)分別取得最大值時(shí)，y有最大值，

所以當(dāng)4=4=人=4=i/3=4=t時(shí)，有最大值小?=斤一，=6=2j(

故答案為o；2n

【舉一反三】(2018年江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，二：。)，

以A3為直徑的圓C與直線/交于另一點(diǎn)￡).若而-而二。，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.

【答案】3

【解析】設(shè)A(a,2a)(a>0),則由圓心C為AB中點(diǎn)得C(上±a).易得OC:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,與聯(lián)

2

_a+5

立解得點(diǎn)。的橫坐標(biāo)XD=1.所以D(1,2).所以Ab=(5,a.2a),CD=(l\,2a),

由心-CD=0^T(5-aX*~~~)+("2aX2-'a)"O.a"2a3=O.a=3或，

因?yàn)?，所?/p>

【變式探究】【2017江蘇，16】已知向量〃=(cosx,sinx)J=(3,—6)—30,兀］,

14

（1）若a〃b,求x的值;

（2）記/（x）="1,求大乃的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

【答案】（1）X=3.（2）X=0時(shí)，/G）取得最大值，為3；x=2時(shí)，/G）取得最小值，為一2匕

【解析】

解：(1)因?yàn)閍=(cosx,siru),6=(3,—jj),a〃b,

所以一；Qcosx=3sinx.

若cosx=0,則sinx=0,與sin2%+cos2x=1矛盾，故cosx子0.

于是tanx='

3

又xe。,』所以戶”.

⑵/Cr)=a.b-(cosxsinx).\3—.7/二-3cosx-"sinx=2-"cos(|(

9，UJ

x7x

因?yàn)閤e[o,7i],所以x+一，一，

一66一

oos(|(x+：＜l、i.

于是，當(dāng)x+：=三，即x=0時(shí)，/G）取到最大值3；

當(dāng)X+即％=皂時(shí)，/（X）取到最小值一2行.

箕題感信

1.【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】已知非零向量“，力滿足|“|二2仍|,且（“一份」b,則“與力的夾角

為

7171

A.B.-

63

2兀5兀

CD——

3.6

【答案】B

【解析】因?yàn)椋ā耙环荨筨,所以（“一力）力二“力一加二o,所以“2二嚴(yán)，所以

15

a.b|&|217i

cos6==萬(wàn)寸E=不，所以。與。的夾角為a，故選B.

2.【2019年高考全國(guó)n卷理數(shù)】已知/「居(2,3),A^C=(3,t),則

A.-3B.-2

C.2D.3

【答案】C

【解析】由(1,t-3)后八|=*+(r—3)2=1,得/=3，則)T=(1,0),「的一七2.故

選C.

3.【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線，則“與A^C的夾角為銳角”是，：|>|B

的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

■———————————————————————

【解析】X又與萬(wàn)的夾角為銳角，所以|AB|2+|AC|2+2AB.AC>\ABi1+|AC|2—2AB.AC,

即

■■■■■■■■■■■■■————————————-―

\AB+AC\l>\AC-AB|2,因?yàn)锳C-AB=BC，所以+AC|>|8C|；

■■■■——■■■■■■■■■■

當(dāng)L42+Aa>IBd成立時(shí),IAfi+AC\2>\AB-AC\2AB'-AC>0,又因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C不共線，所

以X:與〒的夾角為銳角.故“1片與〒的夾角為銳角”是“11七+77'1>13一「'的充分必要條件，故選C.

4.【2019年高考全國(guó)HI卷理數(shù)】已知明)為單位向量，且°力=0,若c=2a一不力，貝U

cos!a,c\=.

【答案】j

【解析】因?yàn)閏=,a.b=0,

所以a.c=2解一；國(guó)力=2,

22

IeI=4|a|7"'、a.A+5|bF=9,所以lcl=3,

16

/、a.c_2_2

所以cos〈a，c)=而=.=不

5.【2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形ABCD中，AD//BCAB=2-RAD=5Z杳1=30°,

點(diǎn)E在線段C3的延長(zhǎng)線上，且AE=BE,則5,，，.A，=

【答案】-1

【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，ZDAB^30°,AB=2V3,AD=5,則3(2/0)，0(5'$

因?yàn)锳D〃3C,經(jīng)班￡>=300,所以經(jīng)4BE=300,

因?yàn)锳E-BE,所以經(jīng)BAE=300,

所以直線BE的斜率為g,其方程為＞=F&-2.用)，

直線AE的斜率為―父，其方程為丫=一組「

33

y=—(X-2-x/s),

由k

得x=?，y=-1，

I道

『二一3、

所以—

所以8h=(y-,1).(JI,-D="I-

6.【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,當(dāng)每個(gè)人(，=1,2,3,4,5,6)取遍土1.時(shí),

+48：+人。|+4。1+兒61|的最小值是；最大值是.

【答案】0；2n

17

【解析】以AB,A。分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.

。(0.D

,4(00)3(10)

則拔=(1,0),沅=(0,1),CD=(-1,0),714=(0,-1),AC=(1,1),而=(-1,1),

令

y=|/\]Ali+A-,B+A3C1)+A4D1+/5Af+/6Ri=(/\j-/3+/5-/6)"+(人-人+人+人)~>0.

又因?yàn)?a=1,2,3,4,5,6)可取遍士,1

所以當(dāng)A=A3=A4=A5=A6=I,A=T時(shí)，有最小值Win=o.

因?yàn)?/\「人+人)和優(yōu)/+4)的取值不相關(guān)，*6=1或*6=-1-

所以當(dāng)“一人+人)和(4“4+4)分別取得最大值時(shí)，y有最大值，

所以當(dāng)4=4=4=4=1,4=4=t時(shí)，有最大值%=TFTF=向=2求.

故答案為0；2；尺.

1.(2018年浙江卷)已知a,b,e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為'，向量》

3

滿足廬-4eS+3=0,則的最小值是

A.、展1B.#+1C.2D.2-\5

【答案】A

【解析】設(shè)a=(xy),e=(1,0),b=(m,n),則由(a?=：得「e=Ia|?|e|cos；,x=；與.二y=土/x，

由b2-48b；=0>m2+n2-4m+：

因此|a-H的最小值為圓心到直線的距離型=吊咸去半徑1,為選A.

2.(2018年天津卷)如圖，在平面四邊形A8CD中，,,

18

若點(diǎn)E為邊。上的動(dòng)點(diǎn)，則通?曲的最小值為

【答案】A

點(diǎn)E在CD上，則C0=.W1),設(shè)E(X.Y),則:

整理可得：疝,^4Z：-2X+2X（）Z1）.

4

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)入=一時(shí)，，近?能取得最小值”.

416

19

本題選擇A選項(xiàng).

3.(2018年全國(guó)I卷理數(shù))設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為凡過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為尹直線與C交于

M,N兩點(diǎn)，貝葉=

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

2

【解析】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為2的直線方程為y=%x+2)，與拋物線方程聯(lián)立=+,

33(V2-4x

消元整理得：0,解得M(1,2),N(4,4),又F(1,0),所以FM=(0,2),N=(3,4),從而可以求得

FM,N=0x3+2x4=8,故選D

4.(2018年全國(guó)I卷理數(shù))在^;中，為BC邊上的中線，為的中點(diǎn)，則

3-1-1-3-

A.ABA1B.\BA1

4444

3-1-1-3-

C.AB??\<'D.AIJ1A('

4444

【答案】A

【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

二I?JI?1??1-1-I-3-I-

2222124444

-3-1-

所以EB=ABAC，故選A.

44

5.(2018年全國(guó)H卷理數(shù))已知向量，「滿足,,貝!I

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【解析］因?yàn)閍?(2a—6)=Z^-a,b=2a產(chǎn)一(-1)=2+1=3.

所以選B.

6.(2018年江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5,0),以A3

20

為直徑的圓C與直線/交于另一點(diǎn)D.若Ab-cb=O，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.

【答案】3

a+5

【解析】設(shè)A(a,2a)(a>0),則由圓心C為AB中點(diǎn)得C(——,a),易得。C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0，與聯(lián)

2

立解得點(diǎn)。的橫坐標(biāo)所以,2).所以疝=(5a,2a),CD=(l*',2a),

a+5,

由A?CD=0得(5ax1+(-2aX2-a)=O.a12a3=0,a=3或,

因?yàn)椋?/p>

7.(2018年全國(guó)in卷理數(shù))已知向量，bU1),.若，則入-

【答案】?

一

【解析】由題可得2&+5=(4.2)

,??25?b).c(I.X)

A4X-2-OJPX!

故答案為-

2

1.【2017課標(biāo)3,理12］在矩形ABC。中，AB=\,AD=2,動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)C為圓心且與5D相切的圓上.

若A擊入Ait+MAn,則入+|J的最大值為

%.3/2萬(wàn)5斤D.2

【答案】A

【解析】如圖.所示，建立平面直角坐標(biāo)系

設(shè)A（0,l）,3（0,0）,D（2,l）,P（x,y）

2即圓的方程是(x-2)2+/=1

根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是

21

AP-(x,y-l),Afl=(0,-1),A/)=(2,0),若滿=小豆+一

Ix—2〃xxxx

即(/J=A=1-y,所以4+〃=-y+1,設(shè)2=。-丁+1,即0-y+l-z=0,

[y--A2222

點(diǎn)p(x,y)在圓(x-2)2+y2=±上，所以圓心到直線的距離d<r,即

J5解得1<2<3,

所以z的最大值是3,即R+〃的最大值是3,故選Ao

2.12017北京，理6】設(shè)加，〃為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)人使得m=4〃”是“7"<0”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件