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文檔簡介

[知識能否憶起]1.對數1.對數的定義:如果ab=N(a>0且a≠1),那么數b叫作以a為底N的對數,記作

,其中

叫作對數的底數,

叫作真數.aNb=logaN

2.幾種常見對數:10e如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)loga(M·N)=

;(3)logaMn=

(n∈R);logaM-logaN

nlogaMlogaM+logaN二、對數的性質與運算法則1.對數的運算法則:2.對數的性質:N

N

3.對數的重要公式:三、對數函數的定義、圖像與性質[動漫演示更形象,見配套課件](0,+∞)(1,0)(-∞,0)(0,+∞)(0,+∞)(-∞,0)增函數減函數

四、指數函數與對數函數指數函數y=ax(a>0且a≠1)與對數函數y=logax(a>0且a≠1)互為

,它們的圖像關于直線

對稱.y=x反函數[小題能否全取]答案:C1.(教材習題改編)2log510+log50.25=(

)A.0

B.1C.2 D.4

解析:2log510+log50.25=log5100+log50.25=

log525=2.2.(2012·白鷺洲模擬)若函數f(x)=loga(x-1)(a>0,

a≠1)的圖像恒過定點,則定點的坐標為(

)A.(1,0) B.(2,0)C.(1,1) D.(2,1)

解析:由于loga1=0,∴x=2時f(2)=loga1=0,

∴圖像過點(2,0).答案:B3.函數y=lg|x| (

)A.是偶函數,在區間(-∞,0)上單調遞增

B.是偶函數,在區間(-∞,0)上單調遞減

C.是奇函數,在區間(0,+∞)上單調遞減

D.是奇函數,在區間(0,+∞)上單調遞增

解析:y=lg|x|是偶函數,由圖象知在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.答案:B5.(2012·北京高考)已知函數f(x)=lgx,若f(ab)=1,則f(a2)+f(b2)=________.解析:由f(ab)=1得ab=10,于是f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2(lga+lgb)=2lg(ab)=2lg10=2.答案:21.在運用性質logaMn=nlogaM時,要特別注意條件,在無M>0的條件下應為logaMn=nloga|M|(n∈N*,且n為偶數).2.對數值取正、負值的規律:當a>1且b>1,或0<a<1且0<b<1時,logab>0;當a>1且0<b<1,或0<a<1且b>1時,logab<0.3.對數函數的定義域及單調性:在對數式中,真數必須大于0,所以對數函數y=logax的定義域應為{x|x>0}.對數函數的單調性和a的值有關,因而,在研究對數函數的單調性時,要按0<a<1和a>1進行分類討論.[例1]

求解下列各題.對數式的化簡與求值對數式的化簡與求值的常用思路(1)先利用冪的運算把底數或真數進行變形,化成分數指數冪的形式,使冪的底數最簡,然后正用對數運算法則化簡合并.(2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算,然后逆用對數的運算法則,轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.1.化簡:

[例2]

(1)(2013·煙臺調研)函數y=ln(1-x)的圖象大致為 (

)對數函數的圖象及應用[自主解答]

(1)由1-x>0,知x<1,排除選項A、B;設t=1-x(x<1),因為t=1-x為減函數,而y=lnt為增函數,所以y=ln(1-x)為減函數,可排除D選C.[答案]

(1)C

(2)B1.對一些可通過平移、對稱變換能作出其圖象的對數型函數,在求解其單調性(單調區間)、值域(最值)、零點時,常利用數形結合求解.2.一些對數型方程、不等式問題的求解,常轉化為相應函數圖象問題,利用數形結合法求解.答案:B[例3]

已知函數f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(x)定義域為R,求a的取值范圍;(2)若f(1)=1,求f(x)的單調區間;(3)是否存在實數a,使f(x)的最小值為0?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.對數函數的性質及應用(2)因為f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,這時f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0得-1<x<3,即函數定義域為(-1,3).令g(x)=-x2+2x+3.則g(x)在(-1,1)上單調遞增,在(1,3)上單調遞減.又y=log4x在(0,+∞)上單調遞增,所以f(x)的單調遞增區間是(-1,1),單調遞減區間是(1,3).

研究復合函數y=logaf(x)的單調性(最值)時,應先研究其定義域,分析復合的特點,結合函數u=f(x)及y=logau的單調性(最值)情況確定函數y=logaf(x)的單調性(最值)(其中a>0,且a≠1).3.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1).(1)求f(x)的定義域;(2)判斷函數f(x)的單調性.解:(1)由ax-1>0得ax>1,當a>1時,x>0;當0<a<1時,x<0.∴當a>1時,f(x)的定義域為(0,+∞);當0<a<1時,f(x)的定義域為(-∞,0).(2)當a>1時,設0<x1<x2,則1<ax1<ax2,故0<ax1-1<ax2-1,∴loga(ax1-1)<loga(ax2-1).∴f(x1)<f(x2).故當a>1時,f(x)在(0,+∞)上是增函數.類似地,當0<a<1時,f(x)在(-∞,0)上為增函數.A.x<y<z

B.z<x<yC.z<y<x D.y<z<x

本題在比較三個數的大小時利用中間值,進行第一次比較時,中間值常選用的有0,1,由指數、對數式可知x>1,0<y<1,0<z<1,再進一步比較y、z的大小,其中對數logaN的符號判定可簡記為“同正異負”,即a與N同時大于1或同時大于0小于1,則logaN>0;反之,logaN<0.A.a<b<c

B.a<c<bC.c<a<b D.b<a<c教師備選題(給有能力的學生加餐)A.-4 B.4C.-6 D.6答案:A解題訓練要高效見“課時跟蹤檢測(十一)”2.函數f(x)=ln(4+3x-x2)的單調遞減區間是(

)

答案:D

3.已知函數f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),則2a+b

的取值范圍是(

)答案:B

答案:C

6.(2012·上海徐匯二模)已知函數f(x

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