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文檔簡(jiǎn)介
[知識(shí)能否憶起]1.對(duì)數(shù)1.對(duì)數(shù)的定義:如果ab=N(a>0且a≠1),那么數(shù)b叫作以a為底N的對(duì)數(shù),記作
,其中
叫作對(duì)數(shù)的底數(shù),
叫作真數(shù).a(chǎn)Nb=logaN
2.幾種常見對(duì)數(shù):10e如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)loga(M·N)=
;(3)logaMn=
(n∈R);logaM-logaN
nlogaMlogaM+logaN二、對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則1.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則:2.對(duì)數(shù)的性質(zhì):N
N
3.對(duì)數(shù)的重要公式:三、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)[動(dòng)漫演示更形象,見配套課件](0,+∞)(1,0)(-∞,0)(0,+∞)(0,+∞)(-∞,0)增函數(shù)減函數(shù)
四、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)互為
,它們的圖像關(guān)于直線
對(duì)稱.y=x反函數(shù)[小題能否全取]答案:C1.(教材習(xí)題改編)2log510+log50.25=(
)A.0
B.1C.2 D.4
解析:2log510+log50.25=log5100+log50.25=
log525=2.2.(2012·白鷺洲模擬)若函數(shù)f(x)=loga(x-1)(a>0,
a≠1)的圖像恒過定點(diǎn),則定點(diǎn)的坐標(biāo)為(
)A.(1,0) B.(2,0)C.(1,1) D.(2,1)
解析:由于loga1=0,∴x=2時(shí)f(2)=loga1=0,
∴圖像過點(diǎn)(2,0).答案:B3.函數(shù)y=lg|x| (
)A.是偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增
B.是偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減
C.是奇函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減
D.是奇函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增
解析:y=lg|x|是偶函數(shù),由圖象知在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.答案:B5.(2012·北京高考)已知函數(shù)f(x)=lgx,若f(ab)=1,則f(a2)+f(b2)=________.解析:由f(ab)=1得ab=10,于是f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2(lga+lgb)=2lg(ab)=2lg10=2.答案:21.在運(yùn)用性質(zhì)logaMn=nlogaM時(shí),要特別注意條件,在無M>0的條件下應(yīng)為logaMn=nloga|M|(n∈N*,且n為偶數(shù)).2.對(duì)數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律:當(dāng)a>1且b>1,或0<a<1且0<b<1時(shí),logab>0;當(dāng)a>1且0<b<1,或0<a<1且b>1時(shí),logab<0.3.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性:在對(duì)數(shù)式中,真數(shù)必須大于0,所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的定義域應(yīng)為{x|x>0}.對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和a的值有關(guān),因而,在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí),要按0<a<1和a>1進(jìn)行分類討論.[例1]
求解下列各題.對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的常用思路(1)先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡(jiǎn),然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算,然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.1.化簡(jiǎn):
[例2]
(1)(2013·煙臺(tái)調(diào)研)函數(shù)y=ln(1-x)的圖象大致為 (
)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[自主解答]
(1)由1-x>0,知x<1,排除選項(xiàng)A、B;設(shè)t=1-x(x<1),因?yàn)閠=1-x為減函數(shù),而y=lnt為增函數(shù),所以y=ln(1-x)為減函數(shù),可排除D選C.[答案]
(1)C
(2)B1.對(duì)一些可通過平移、對(duì)稱變換能作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí),常利用數(shù)形結(jié)合求解.2.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題的求解,常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.答案:B[例3]
已知函數(shù)f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(x)定義域?yàn)镽,求a的取值范圍;(2)若f(1)=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值為0?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(2)因?yàn)閒(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,這時(shí)f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0得-1<x<3,即函數(shù)定義域?yàn)?-1,3).令g(x)=-x2+2x+3.則g(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減.又y=log4x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).
研究復(fù)合函數(shù)y=logaf(x)的單調(diào)性(最值)時(shí),應(yīng)先研究其定義域,分析復(fù)合的特點(diǎn),結(jié)合函數(shù)u=f(x)及y=logau的單調(diào)性(最值)情況確定函數(shù)y=logaf(x)的單調(diào)性(最值)(其中a>0,且a≠1).3.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1).(1)求f(x)的定義域;(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解:(1)由ax-1>0得ax>1,當(dāng)a>1時(shí),x>0;當(dāng)0<a<1時(shí),x<0.∴當(dāng)a>1時(shí),f(x)的定義域?yàn)?0,+∞);當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)的定義域?yàn)?-∞,0).(2)當(dāng)a>1時(shí),設(shè)0<x1<x2,則1<ax1<ax2,故0<ax1-1<ax2-1,∴l(xiāng)oga(ax1-1)<loga(ax2-1).∴f(x1)<f(x2).故當(dāng)a>1時(shí),f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).類似地,當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù).A.x<y<z
B.z<x<yC.z<y<x D.y<z<x
本題在比較三個(gè)數(shù)的大小時(shí)利用中間值,進(jìn)行第一次比較時(shí),中間值常選用的有0,1,由指數(shù)、對(duì)數(shù)式可知x>1,0<y<1,0<z<1,再進(jìn)一步比較y、z的大小,其中對(duì)數(shù)logaN的符號(hào)判定可簡(jiǎn)記為“同正異負(fù)”,即a與N同時(shí)大于1或同時(shí)大于0小于1,則logaN>0;反之,logaN<0.A.a(chǎn)<b<c
B.a(chǎn)<c<bC.c<a<b D.b<a<c教師備選題(給有能力的學(xué)生加餐)A.-4 B.4C.-6 D.6答案:A解題訓(xùn)練要高效見“課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十一)”2.函數(shù)f(x)=ln(4+3x-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是(
)
答案:D
3.已知函數(shù)f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),則2a+b
的取值范圍是(
)答案:B
答案:C
6.(2012·上海徐匯二模)已知函數(shù)f(x
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