第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積專題四內(nèi)容索引0102必備知識?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識?精要梳理1.空間幾何體的表面積與體積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積①棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和.②棱柱、棱錐、棱臺的體積V棱柱=Sh(S為底面面積,h為高),(2)圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積①圓柱、圓錐、圓臺的表面積S圓柱=2πr(r+l)(r為底面半徑,l為母線長),S圓錐=πr(r+l)(r為底面半徑,l為母線長),S圓臺=π(r'2+r2+r'l+rl)(r',r分別為上、下底面半徑,l為母線長).②圓柱、圓錐、圓臺的體積V圓柱=πr2h(r為底面半徑,h為高),(3)球的表面積與體積①球的表面積S球=4πR2(R為半徑).②球的體積溫馨提示求幾何體體積常用的方法有:公式法,等積法,割補(bǔ)法.2.幾個常用結(jié)論(1)若長方體從一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為a,b,c,則其體對角線(即外接球的直徑)為(2)正四面體(棱長都為a)的幾個結(jié)論:易錯警示正四面體一定是正三棱錐,但正三棱錐不一定是正四面體.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征答案B

[例1-2]如圖,有一圓柱形的開口容器(下底面密封),其軸截面是邊長為2的正方形,P是BC的中點(diǎn),現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處,內(nèi)壁P處有一米粒,則這只螞蟻取得米粒所需經(jīng)過的最短路程為

.

名師點(diǎn)析幾何體的表面展開及其應(yīng)用(1)圓錐、圓柱的側(cè)面展開圖分別為扇形和矩形,圓錐、圓柱的底面周長分別為扇形的弧長、矩形的一邊長,據(jù)此建立圓錐、圓柱基本量的聯(lián)系解決問題.(2)解決多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上與長度有關(guān)的最值問題時,一般采用轉(zhuǎn)化法,即將表面展開化為平面圖形,通過“化折為直”或“化曲為直”來解決,注意展開前后哪些幾何量發(fā)生變化,哪些不變.對點(diǎn)練1(1)021·山東淄博二模)已知圓臺的上、下底面面積分別為4,16,則過該圓臺的母線的中點(diǎn),且平行于底面的平面截該圓臺,所得截面的面積為(

)A.10 B.8 C.9 D.8答案

C

(2)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M為棱DD1上的一點(diǎn),當(dāng)A1M+MC取最小值時,B1M的長為(

)答案D

突破點(diǎn)二空間幾何體的表面積[例2-1]國家游泳中心(水立方/冰立方)的設(shè)計(jì)靈感來源于威爾-弗蘭泡沫,威爾-弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn),開爾文胞體是一種多面體,它由正六邊形和正方形圍成(其中每個頂點(diǎn)處有1個正方形和2個正六邊形),已知該多面體共有24個頂點(diǎn),且棱長為1,則該多面體的表面積是(

)答案C

[例2-2](2021·全國甲,文14)已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30π,則該圓錐的側(cè)面積為

.

答案

39π解析

設(shè)圓錐的高為h,母線長為l,方法總結(jié)求幾何體表面積的方法(1)對于簡單幾何體,常根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征求表面積,有公式的可直接利用公式求解.(2)對于組合體,先弄清組合體中各簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及組成形式,再求組合體的表面積.對點(diǎn)練2(1)現(xiàn)有一個橡皮泥制作的圓柱,其底面半徑、高均為2,將它重新制作成一個體積與高不變的圓錐,則該圓錐的側(cè)面積為(

)答案

B(2)芻甍是中國古代數(shù)學(xué)中的一種幾何體.一芻甍的直觀圖如圖所示,其中前后兩個面為全等的等腰梯形,底面為矩形,則其側(cè)面積為(

)答案B

突破點(diǎn)三空間幾何體的體積答案A

解析

設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,高為h,因?yàn)閳A錐的軸截面是等腰直

[例3-2](2022·新高考Ⅰ,4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時,相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時,相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時,增加的水量約為A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3答案C

解析

由題意可得,此棱臺的高h(yuǎn)=157.5-148.5=9(m).設(shè)水庫水位為海拔148.5

m時,相應(yīng)水面的面積為S1,水庫水位為海拔157.5

m時,相應(yīng)水面的面積為S2,則S1=140.0

km2=1.4×108

m2,S2=180.0

km2=1.8×108

m2,故該棱臺的體積≈1.4×109(m3),即增加的水量約為1.4×109

m3.故選C.方法總結(jié)求幾何體體積的基本方法(1)直接法:對于規(guī)則的幾何體,可利用相關(guān)公式直接計(jì)算求解.(2)割補(bǔ)法:對于不規(guī)則的幾何體,可將其分割成規(guī)則的幾何體,進(jìn)行體積計(jì)算;也可把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體,進(jìn)行體積計(jì)算.(3)轉(zhuǎn)換法:主要用于求三棱錐(四面體)的體積,將三棱錐的頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)換,使其底面的面積可求(或容易求),高可求(或容易求),從而代入公式求得體積.對點(diǎn)練3(1)陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一.傳統(tǒng)陀螺大部分是木制或鐵制的,玩法是用鞭子抽.如圖,一個倒置的木制陀螺可看成由圓錐和圓柱組成,上面為圓錐,下面為同底圓柱,其總高度為8cm,圓柱部分高度為6cm,已知該陀螺由密度為0.7g/cm3的木質(zhì)材料做成,其總質(zhì)量為70g,則此陀螺圓柱底面半徑的長度約為(

)A.2.2cm B.2.4cmC.2.6cm D.2.8cm(2)(2023·新高考Ⅰ,14)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,則該棱臺的體積為

.

答案(1)A

(2)

(2)

方法一(直接法):如圖所示,正四棱臺中四邊形AA1C1C為等腰梯形.連接AC,A1C1,過點(diǎn)A1作A1G⊥AC,交AC于點(diǎn)G,則A1G為棱臺的高.在正四棱臺中,方法二(補(bǔ)形法):如圖,延長各側(cè)棱交于點(diǎn)O,連接AC,A1C1,過O作OG⊥AC,交AC于點(diǎn)G,交平面A1B1C1D1于點(diǎn)H,且點(diǎn)H恰為A1C1的中點(diǎn),突破點(diǎn)四與球有關(guān)的接切問題[例4-1]已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AD=1,AB=2,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且直線PB與CD所成角的余弦值為,則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為

.

答案

6π

方法總結(jié)解決幾何體外接球問題的基本方法(1)由球的定義確定球心.①正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點(diǎn).②正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的連線的中點(diǎn).③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的連線的中點(diǎn).④正棱錐的外接球的球心在其高上,具體位置可通過構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求得.(2)構(gòu)造正方體或長方體確定球心.①可構(gòu)造正方體的情況:正四面體,其棱長對應(yīng)正方體的面對角線長;三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐,其底面邊長對應(yīng)正方體的面對角線長,側(cè)棱長對應(yīng)正方體的棱長.②可構(gòu)造長方體的情況:某一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直的四面體;四個面都是直角三角形的三棱錐;相對的棱相等的三棱錐.(3)利用性質(zhì)確定球心.對點(diǎn)練4A.100π

B.128π C.144π

D.192π答案A

解析

設(shè)外接球的半徑為R,由題意得,上底面所在平面截球所得圓的半徑是3,下底面所在平面截球所得圓的半徑是4,在軸截面中,設(shè)球心到上下底面因此球的表面積是S=4πR2=4π·25=100π.故選A.命題角度2幾何體的內(nèi)切球問題[例4-2]若在母線長為5,高為4的圓錐中挖去一個小球,則剩余部分的體積的最小值為

.名師點(diǎn)析求幾何體內(nèi)切球的半徑的常用方法(1)將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,通過構(gòu)造直角