第五講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算1．根式(1)根式的概念xn＝a正數(shù)負(fù)數(shù)兩個(gè)相反數(shù)aa－aa3．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)ar·as＝_______(a＞0，r、s∈Q)；(2)(ar)s＝________(a＞0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝_______(a＞0，b＞0，r∈Q)．a(chǎn)r＋sarsarbr知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)定義函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指數(shù)函數(shù)底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0，＋∞)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，恒有y>1；當(dāng)x<0時(shí)，恒有0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，恒有0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，恒有y>1函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)×××√××題組二走進(jìn)教材2．(必修1P109T1改編)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是(

)BDA6．(2023·天津，3,5分)設(shè)a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>b>c D．b>a>c[解析]

∵f(x)＝1.01x單調(diào)遞增，∴f(0.5)<f(0.6)，即a<b.∵g(x)＝x0.5單調(diào)遞增，∴g(1.01)>g(0.6)，即a>c，∴b>a>c，故選D.D考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算——自主練透－452．設(shè)α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的兩個(gè)根，則2α·2β＝____，(2α)β＝______.名師點(diǎn)撥：指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則1．有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算．2．先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．3．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．4．若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答．5．運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)考向1指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用——師生共研1.已知函數(shù)y＝ax－b(a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則以下結(jié)論不正確的是(

)A．a(chǎn)b>1

B．ln(a＋b)>0C．2b－a<1 D．ba>1D[解析]

根據(jù)函數(shù)y＝ax－b(a>0，a≠1)的圖象知，函數(shù)y＝ax－b是單調(diào)增函數(shù)，所以a>1，又x＝0時(shí)，y＝1－b，所以0<1－b<1，解得0<b<1.所以y＝ax是單調(diào)增函數(shù)，ab>a0＝1，選項(xiàng)A正確；由a＋b>1，得ln(a＋b)>0，選項(xiàng)B正確；由b－a<0，得2b－a<20＝1，選項(xiàng)C正確；y＝bx是單調(diào)減函數(shù)，ba<b0＝1，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選D.2．(多選題)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2024a＝2025b，下列等式可以成立的是(

)A．a(chǎn)＝b＝0 B．a(chǎn)<b<0C．0<a<b D．0<b<a[解析]

如圖，觀察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故選ABD.ABD3．已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是(

)A．a(chǎn)<0，b<0，c<0 B．a(chǎn)<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2[解析]

作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖，D∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，結(jié)合圖象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故選D.[引申](1)f(x)＝a1－x＋3的圖象過(guò)定點(diǎn)_________.(2)若將本例3改為“y＝|2x－1|”，且與直線y＝b有兩個(gè)公共點(diǎn)，b的取值范圍是_________.(3)若將本例3改為：函數(shù)y＝|2x－1|在(－∞，k]上單調(diào)遞減，則k的取值范圍是_________.(1,4)(0,1)(－∞，0][解析]

(1)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，因此函數(shù)y＝a1－x＋3過(guò)定點(diǎn)(1,4)．(2)曲線y＝|2x－1|與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(0,1)．(3)因?yàn)楹瘮?shù)y＝|2x－1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范圍為(－∞，0]．【變式訓(xùn)練】1．(2023·長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是(

)[解析]

由圖象可知，b<－1,0<a<1，所以函數(shù)g(x)＝ax＋b是減函數(shù)，g(0)＝1＋b<0，所以選項(xiàng)A符合．ACD3．若方程3|x|－1＝m有兩個(gè)不同實(shí)根，則m的取值范圍為_(kāi)_______.[解析]

作出函數(shù)y＝3|x|－1與y＝m的圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得m>0.(0，＋∞)考向2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用——多維探究

角度1比較指數(shù)冪的大小(2024·福建質(zhì)量檢測(cè))已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，則(

)A．a(chǎn)>b>c

B．a(chǎn)>c>bC．b>c>a

D．c>b>aD2．(2022·邯鄲一模)不等式10x－6x－3x≥1的解集為_(kāi)__________.[1，＋∞)[－2，＋∞)0名師點(diǎn)撥：1．解指數(shù)方程的方法(1)同底法：把方程化為af(x)＝ag(x)的情形，然后得出f(x)＝g(x)．(2)化為ax＝b，利用對(duì)數(shù)定義求解x＝logab.(3)把方程化為f(ax)＝0的情形，然后換元，即設(shè)ax＝t，然后解方程f(t)＝0，注意只要t>0的解．2．解指數(shù)不等式的方法同底法：把方程化為af(x)>ag(x)的情形，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性建立f(x)和g(x)的不等式，需對(duì)a進(jìn)行討論．3．求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問(wèn)題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題加以解決．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)下列各式比較大小不正確的是(

)A．1.72.5<1.73 B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1<1.250.2 D．1.70.3<0.93.1[解析]

對(duì)于A、B顯然正確；對(duì)于C,0.8－0.1＝1.250.1，顯然正確；對(duì)于D,1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴D不正確，故選D.DAC－3名師講壇·素養(yǎng)提升指數(shù)函數(shù)中的分類與整合思想名師點(diǎn)撥：分類與整合就是所給變量不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，要分類研究，再整合得到的結(jié)論．指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的取值有關(guān)，