統(tǒng)計(jì)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析考

情

探

究考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅰ，9；2023新課標(biāo)Ⅱ，19抽樣方法與總體分布的估計(jì)樣本的數(shù)字特征、頻率分布直方圖及其應(yīng)用運(yùn)算求解邏輯思維應(yīng)用性數(shù)學(xué)運(yùn)算2021新高考Ⅰ，9抽樣方法與總體分布的估計(jì)中位數(shù)、平均數(shù)、極差、標(biāo)準(zhǔn)差的理解與判斷運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運(yùn)算【命題規(guī)律與備考策略】本章內(nèi)容主要在選擇題、填空題中考查抽樣方法、統(tǒng)計(jì)圖表、樣本的數(shù)字特征(如眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)等)、線性回歸方程及獨(dú)立性檢驗(yàn)．解答題常考線性回歸分析或?qū)ⅹ?dú)立性檢驗(yàn)與隨機(jī)變量分布列綜合的問題．備考時(shí)要準(zhǔn)確理解統(tǒng)計(jì)的基本概念，精準(zhǔn)計(jì)算．注意材料的閱讀理解，掌握線性回歸分析及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．第一講隨機(jī)抽樣用樣本估計(jì)總體知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理普查——對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查的方法．抽樣調(diào)查——根據(jù)一定目的，從總體中__________________進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法．調(diào)查對(duì)象的________稱為總體，組成總體的__________________稱為個(gè)體．從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為樣本，____________________稱為樣本容量，簡(jiǎn)稱樣本量．抽取一部分個(gè)體全體每一個(gè)調(diào)查對(duì)象樣本中包含的個(gè)體數(shù)知識(shí)點(diǎn)一簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣1．定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中________抽取n(1≤n<N)個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽取是________的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率__________，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；如果抽取是____________，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率__________，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為________________.逐個(gè)放回都相等不放回的都相等簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣2．常用方法：__________和____________.注：本章所稱的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣指不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．抽簽法隨機(jī)數(shù)法知識(shí)點(diǎn)二分層隨機(jī)抽樣1．定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為________________，每一個(gè)子總體稱為______.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為____________.2．分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層隨機(jī)抽樣．分層隨機(jī)抽樣

層比例分配知識(shí)點(diǎn)三總體取值規(guī)律的估計(jì)頻率分布表與頻率分布直方圖頻率分布表和頻率分布直方圖，是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據(jù)分布規(guī)律，從中可以看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況．求極差最大值最小值決定組距與組數(shù)組數(shù)組數(shù)將數(shù)據(jù)分組列頻率分布表畫頻率分布直方圖知識(shí)點(diǎn)四總體百分位數(shù)的估計(jì)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：第1步，按從小到大的順序排列原始數(shù)據(jù)；第2步，計(jì)算i＝n×p%；第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均值．(2)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)都是唯一的．眾數(shù)不唯一，也可以有多個(gè)．(3)眾數(shù)一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)，平均數(shù)和中位數(shù)都不一定是原始數(shù)據(jù)中的數(shù).

歸

納

拓

展1．兩種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣①抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等；②每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣.從總體中直接隨機(jī)抽取，是一種等可能抽樣.最基本的抽樣方法．常用方法抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.總體個(gè)數(shù)不多，且希望被抽取的個(gè)體帶有隨機(jī)性，無固定間隔.分層抽樣將總體分成互不交叉的層，分層進(jìn)行抽取，是一種等比例抽樣.各層抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．

總體由差異明顯的幾部分組成.雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)抽簽法中，先抽的人抽中的可能性大．(

)(2)分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．(

)(3)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．(

)××√(4)在頻率分布直方圖中，最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．(

)(5)1,2,2,3,5的80%分位數(shù)是3.(

)(6)對(duì)單峰頻率直方圖，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長(zhǎng)尾巴”那邊．(

)×√√題組二走進(jìn)教材2．(必修2P184T3改編)高二年級(jí)有男生490人，女生510人，男生、女生進(jìn)行分層，通過分層隨機(jī)抽樣的方法，得到男生、女生的平均身高分別為170.2cm和160.8cm.各層中按比例分配樣本，總樣本量為100，那么在男生中應(yīng)抽取了________名，在這種情況下，估計(jì)高二年級(jí)全體學(xué)生的平均身高為____________cm.49165.4

3．(必修2P197T1改編)從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50～350kW·h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，則直方圖中x＝_________，在被調(diào)查的用戶中，用電量的平均值為_______kW·h，用電量落在區(qū)間[100,250)內(nèi)的戶數(shù)為________.0.0044

18670[解析]

(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)×50＝1，計(jì)算得x＝0.0044.50×(75×0.0024＋125×0.0036＋175×0.006＋225×0.0044＋275×0.0024＋325×0.0012)＝186.(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50×100＝70.題組三走向高考4．(2021·全國(guó)甲卷)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是(

)A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間C[解析]

因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率．樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為0.02＋0.04＝0.06＝6%，故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為0.04＋0.02×3＝0.10＝10%，故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計(jì)值為0.10＋0.14＋0.20×2＝0.64＝64%>50%，故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(萬元)，超過6.5萬元，故C錯(cuò)誤．故選C．5．(多選題)(2021·新高考Ⅰ)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c為非零常數(shù)，則(

)A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同CD[解析]

兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c，故A錯(cuò)誤；兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是c，故B錯(cuò)誤；∵標(biāo)準(zhǔn)差D(yi)＝D(xi＋c)＝D(xi)，∴兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故C正確；∵yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c為非零常數(shù)，x的極差為xmax－xmin，y的極差為(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，∴兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故D正確．故選CD．考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究抽樣方法——自主練透1.(多選題)某班級(jí)有男生20人，女生30人，從中抽取10人作為樣本，其中一次抽樣結(jié)果是：抽到了4名男生、6名女生，則下列命題正確的是(

)A．這次抽樣可能采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B．這次抽樣可能是分層抽樣C．這次抽樣中每個(gè)女生被抽到的概率大于每個(gè)男生被抽到的概率D．這次抽樣中每個(gè)女生被抽到的概率小于每個(gè)男生被抽到的概率AB[解析]

本題看似一道分層抽樣的題，實(shí)際上每種抽樣方法都可能出現(xiàn)這個(gè)結(jié)果，故A，B正確．根據(jù)抽樣的等概率性知C，D不正確．2．(2023·江西景德鎮(zhèn)質(zhì)檢)某公司利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的900支新冠疫苗進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將疫苗按000,001，…，899進(jìn)行編號(hào)，從中抽取90個(gè)樣本，若選定從第4行第4列的數(shù)開始向右讀數(shù)(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表中的第3行至第5行)，根據(jù)下表，讀出的第6個(gè)數(shù)的編號(hào)是(

)1676622766

5650267107

3290797853

1355385859

88975414101256859926

9682731099

1696729315

5712101421

88264981765559563564

3854824622

3162430990

0618443253

2383013030A．827 B．315C．696 D．729B[解析]

從685開始向右數(shù)，即685,992,696,827,310,991,696,729,315，跳過992,991,696重復(fù)，跳過，所以第6個(gè)數(shù)字為315.故選B．3．(多選題)(2024·山西忻州名校聯(lián)考)航海模型項(xiàng)目在我國(guó)已開展四十余年，深受青少年的喜愛，該項(xiàng)目融合國(guó)防、科技、工程、藝術(shù)、物理、數(shù)學(xué)等知識(shí)，主要通過讓參賽選手制作、遙控各類船只、艦艇等模型航行，普及船艇知識(shí)，探究海洋奧秘，助力培養(yǎng)未來海洋強(qiáng)國(guó)的建設(shè)者．某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)航海模型項(xiàng)目的喜愛程度，用分層隨機(jī)抽樣法從某校高一、高二、高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查，已知該學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級(jí)學(xué)生有32人，則下列說法正確的是(

)A．該校高一學(xué)生人數(shù)是2000B．樣本中高二學(xué)生人數(shù)是28C．樣本中高三學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多12D．該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是8000BC[解析]

由圖可知高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的40%，抽取的樣本中高三年級(jí)學(xué)生有32人，則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為32÷40%＝80，則樣本中高一學(xué)生人數(shù)為80×(1－40%－35%)＝20.樣本中高二學(xué)生人數(shù)為80×35%＝28，從而樣本中高三學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多32－20＝12.因?yàn)閺脑撔Ｋ袑W(xué)生中抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是80，但抽取的比例不知道，所以該校高一學(xué)生人數(shù)和該校學(xué)生總?cè)藬?shù)求不出來，故選BC．【變式訓(xùn)練】1．(2024·山西臨汾模擬)現(xiàn)從某學(xué)校450名同學(xué)中用隨機(jī)數(shù)表法隨機(jī)抽取30人參加一項(xiàng)活動(dòng)．將這450名同學(xué)編號(hào)為001,002，…，449,450，要求從下表第2行第5列的數(shù)字開始向右讀，則第5個(gè)被抽到的編號(hào)為__________.162277943949544354821737932378873520964384263491648442175331572455068877047447672176335025839212067663016378591695556719981050717512867358074439523879447[解析]

根據(jù)隨機(jī)數(shù)表的讀取方法，依次抽取到的編號(hào)分別為：175,331,068,047,447，…，故第5個(gè)被抽到的編號(hào)為447.2．某中學(xué)高一年級(jí)共有學(xué)生2400人，為了解他們的身體狀況，按性別用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高一年級(jí)共有女生(

)A．1260 B．1230C．1200 D．1140D頻率分布直方圖——師生共研(多選題)(2024·廣東摸底聯(lián)考)在某市高二年級(jí)舉行的一次體育統(tǒng)考中，共有10000名考生參加考試．為了解考生的成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了n名考生的成績(jī)，其成績(jī)均在區(qū)間[50,100]，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分組作出如圖所示的頻率分布直方圖．若在樣本中，成績(jī)落在區(qū)間[50,60)的人數(shù)為32，則()A．n＝100B．考生成績(jī)的中位數(shù)為71C．考生成績(jī)的第70百分位數(shù)為75D．估計(jì)該市考生成績(jī)的平均分為70.6(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)BD[引申]這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是

______.

75【變式訓(xùn)練】(2024·陜西西安鐵一中質(zhì)檢)某校舉行知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法不正確的是(

)A．圖中的x值為0.020B．得分在[80,100]的人數(shù)為400C．這組數(shù)據(jù)的極差為50D．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為77C[解析]

由(0.005＋x＋0.035＋0.030＋0.010)×10＝1，可解得x＝0.020，故A正確；得分在80分及以上的人數(shù)的頻率為(0.030＋0.010)×10＝0.4，故人數(shù)為1000×0.4＝400，故B正確；頻率分布直方圖無法看出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故C不正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝77，故D正確.總體集中趨勢(shì)、離散程度的估計(jì)——多維探究

角度1已知樣本數(shù)據(jù)的總體集中趨勢(shì)、離散程度的估計(jì)(多選題)(2024·廣西南寧、玉林摸底)為深入學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校開展了“奮進(jìn)新征程，強(qiáng)國(guó)伴我行”二十大主題知識(shí)競(jìng)賽，其中高一年級(jí)選派了10名同學(xué)參賽，且該10名同學(xué)的成績(jī)依次是：70,85,86,88,90,90,92,94,95,100.則下列說法正確的有()A．中位數(shù)為90，平均數(shù)為89B．70%分位數(shù)為93C．極差為30，標(biāo)準(zhǔn)差為58D．去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，平均數(shù)變大，方差變小ABDABDBDACBD3．(角度3)(2024·重慶檢測(cè))四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果、可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是(

)A．平均數(shù)為2，方差為3.1B．中位數(shù)為3，方差為1.6C．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2D．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2A名師講壇·素養(yǎng)提升幾種常見的統(tǒng)計(jì)圖形一、扇形圖(餅狀圖)——用一個(gè)圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個(gè)扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為扇形圖．(多選題)(2024·南京師大附中階段測(cè)試)某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)史知識(shí)的積累情況，隨機(jī)抽取150名同學(xué)參加數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試，測(cè)試題共5道，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)得0分，得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測(cè)試成績(jī)百分比分布圖如圖所示，則(

)A．該次數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試及格率超過90%B．該次數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試得滿分的同學(xué)有15名C．該次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)大于測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)D．若該校共有1500名學(xué)生，則數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試成績(jī)能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有720名AC[解析]

由圖知，及格率為1－8%＝92%>90%，故A正確；該測(cè)試滿分同學(xué)的百分比為1－8%－32%－48%＝12%，即有12%×150＝18名，故B錯(cuò)誤；由圖知，中位數(shù)為80分，平均數(shù)為40×8%＋60×32%＋80×48%＋100×12%＝72.8分，故C正確；由題意，1500名學(xué)生成績(jī)能得優(yōu)秀的同學(xué)有1500×(48%＋12%)＝900，故D錯(cuò)誤．故選AC．二、條形圖(柱狀圖)——建立直角坐標(biāo)系，用橫軸(橫軸上的數(shù)字)表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個(gè)樣本(或某個(gè)范圍內(nèi)的樣本)的數(shù)量多少畫出長(zhǎng)短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為條形圖．(2023·安徽蚌埠質(zhì)檢)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)如圖甲所示，為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視情況，衛(wèi)生部門根據(jù)當(dāng)?shù)刂行W(xué)生人數(shù)，用分層抽樣的方法抽取了10%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如圖乙所示，則估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)生的平均近視率為(

)A．50%

B．32%C．30%

D．27%D三、折線圖——建立直角坐標(biāo)系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為折線圖．折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)．(多選題)(2024·湖湘名校聯(lián)合體聯(lián)考)某學(xué)校校醫(yī)對(duì)生病的甲、乙兩名同學(xué)一周的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如圖所示，則下列說法正確的有()A．甲同學(xué)的體溫的平均值為36.4℃B．甲同