2022-2023學(xué)年上海市普陀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）

1.已知拋物線卜=9-1）/的開口向上，那么。的取值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.2

2.如圖，點(diǎn)C、。分別在二AQB的邊80、AO的延長線上，AB//CD,AO:DO=\:2,那么下列結(jié)論中,

一定成立的是（）

X

C乙----------------------

A.BO-.BCA,2B.CO:BC=2:3C.AB\CD=\:3D.AD:8c=1:2

3.如圖，AC與8。相交于點(diǎn)0，ZB=NC,如果OC:QB=2:3,那么下列說法中錯誤的是（）

A

A,變二B,烏二C.2:Jq0

.S"3

OA3AB3CMOB3

4.已知向量a、b、d為非零向量，下列條件中，不能判定a〃。的是（）

A.同=3"B.a=2c,b=cC.a//c,b//c

D.。=-5b

5.如果拋物線的對稱軸是直線x=2,與x軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是（6,0）,那么它與x軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是

（）

A.（-6,0）B.（-4,0）C.（-2,0）D.（4,0）

6.下列說法中，不一定成立是（）

A.所有等邊三角形都相似

B.有一個鈍角相等的兩個等腰三角形相似

C.腰和底邊對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似

D.兩邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似

二.填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

x2x+y

7.已知一，則-______.

y3y

8.已知點(diǎn)尸是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP,如果AP=J？-1,那么AB=—.

9.如圖，已知a〃人〃c,它們依次交直線相、”于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)。、E、F,如果AB=1,AC=4,OE=J5,

那么￡F=.

10.若向量值與單位向量6的方向相反，且忖=2,則4=.（用g表示）

11.拋物線y=—2（x—Ip—1的對稱軸是直線.

12.已知二次函數(shù)丁=r+3%+m—4的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，那么山=.

13.已知點(diǎn)A（%,y）,8（々,必）在拋物線〉=一/上，如果玉<々<°，那么M一乂.（填“>”、或

14.如圖，在等邊AABC中，AB=12,P、。分別是邊BC、4c上的點(diǎn)，且/4PQ=60。，PC=8,則。C的長是

15.已知直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12,那么這個直角三角形的重心到直角頂點(diǎn)的距離是

16.如圖,將等邊AABC分割成9個全等小等邊三角形，點(diǎn)。是其中一個小等邊三角形的頂點(diǎn)，設(shè)A8=a,BC=8，

那么向量80=.（用向量。、人表示）

17.如圖，在中，AB=6,AC=8,。是邊AB上一點(diǎn)，且A￡>=2，如果點(diǎn)E在邊AC上，且VADE

與.ABC相似，那么AE=.

A

D

18.如圖，在Rt.ABC中，ZC=90°,AB=6,AC=V15CD是斜邊A3的中線，將一A5C繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),

5

點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F,如果點(diǎn)尸在射線CD上，那么不"=

三.解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.如圖，已知兩個不平行的向量a、b■先化簡，再求作：2（a-；“-g（2a+4b）.（不要求寫作法，但要指出

圖中表示結(jié)論的向量）

20.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（—1,1）、8（1,3）和。（0,1）,求這個二次函數(shù)的解析式，并指出這個二次函數(shù)

圖象的對稱軸.

21.已知拋物線、=以2—4x+a經(jīng)過點(diǎn)（-3,2）.

（1）求〃的值，并將拋物線的表達(dá)式寫成y=a（x+，〃y+上的形式；

（2）將（1）中的拋物線先向右平移〃個單位，再向下平移”個單位.

①平移后新的拋物線的表達(dá)式為；（用含字母〃的式子表示）

②如果新的拋物線的頂點(diǎn)在第四象限，求〃的取值范圍.

22.如圖.在二ABC和..AD￡中，NBAC=NZME=90°,AB=35AO=百，BC=6,DE=2.

(1)求證：RUABCSRJADE；

(2)求一的值.

23.己知：如圖，在/玷。和VADE中，AO是角平分線，ZADE=ZB，邊OE與AC相交于點(diǎn)F.

(1)求證：AFBD=ADDF■,

(2)如果A七〃BC,求證：ABAF=DFDE.

24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，拋物線的頂點(diǎn)是41,-5),且經(jīng)過點(diǎn)8(—1,一1),過點(diǎn)B作軸,

交拋物線的對稱軸于點(diǎn)C.

(1)求拋物線表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)連接A3,如果點(diǎn)。是該拋物線上一點(diǎn)，且位于第一象限，當(dāng)ZD6C=N84C時，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

25.在矩形ABC。中，AB=6,AD=8,點(diǎn)尸是線段8。上的一動點(diǎn)(不與點(diǎn)8、。重合)，過點(diǎn)P作交

射線。C于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)BE.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，求3P的長;

(2)當(dāng)直線BE與直線交于點(diǎn)尸時，設(shè)BP=x,AF=y；

①如圖2,點(diǎn)尸在線段D4的延長線上，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域;

②如果△BPE與ABAF相似，求BP的長.

2022-2023學(xué)年上海市普陀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）

1.已知拋物線卜=9-1）/的開口向上，那么。的取值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D

【分析】利用二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系得到a—1>0,然后解不等式即可.

【詳解】解：拋物線y=（a—l）/開口向上,

a—1>0>

：.a>\,

那么。的取值可以是2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ar2+>x+c（aH0）,二次項(xiàng)系數(shù)。決定拋物線

的開口方向.當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)。<0時，拋物線向下開口.

2.如圖，點(diǎn)C、。分別在,A08的邊80、AO的延長線上，AB//CD,AO:DO=1:2,那么下列結(jié)論中，

一定成立的是（）

A.BO-.BCA,2B.CO:BC=2:3C.AB:CD=\:3D.AD:BC=1:2

【答案】B

【分析】根據(jù)AB〃C￡>,證明△AOBS/KDOC,得到A6：CD=BO：CO=AO：">=1：2,即可解決問題.

【詳解】AB//CD,

AZA=ZD，ZB=ZC,

△AOB^ZxDOC,

AB:CD=BO:CO=AO:DO=l:2,故C選項(xiàng)錯誤；

A、"O:CO=1:2,

3O:8C=3O:（3O+OC）=1:（1+2）=1:3,故A選項(xiàng)錯誤；

B、,/BO:CO=1:2,

：.CO:BO=2A,

CO:8C=CO:（CO+3O）=2:（2+1）=2:3,故B選項(xiàng)正確;

D、由AB:CD=5O:CO=AO:OO=1:2不能得出AZ):BC=1:2,故D選項(xiàng)錯誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)和比例式的變形，熟練運(yùn)用比例的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

3.如圖，AC與3。相交于點(diǎn)O，NB=NC,如果OC:O3=2:3,那么下列說法中錯誤的是（）

CD2「GDOC_2

A.B.------—亡

0A3AB3,Q^；"3D,=5

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得NC=NB,N￡>OC=NAOB,從而可以得到二。OCAOB,然后即可得到兩個三角形

的相似比，從而可以得到它們的面積比，然后即可判斷各個選項(xiàng)是否符合題意.

【詳解】解：°：4C=4B,4DOC=4AOB,OC.OB=2:3,

.DOCAOB,

0DCDOCC\n()c2

====故選項(xiàng)A、B、c正確，不符合題意,

0ABAOBCMOB3

‘空、24

=2,故選項(xiàng)D錯誤，符合題意;

JOB,9

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答.

4.已知向量。、b、c為非零向量，下列條件中，不能判定a〃人的是（)

A.同=3忖B.a=2c，b=cC.aHc,b//cD.。=—5b

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：???|。|=3]4，不能確定兩個向量的方向,

???無法判斷a〃方，選項(xiàng)A符合題意;

?：a=2c,b=c，

a=2b，

:,a//b、選項(xiàng)B不符合題意;

a//c，b//c>

?-a//b'選項(xiàng)C，不符合題意；

a=-5b，

:.aHb，選項(xiàng)D，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的性質(zhì)，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如果拋物線的對稱軸是直線x=2,與x軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是(6,0),那么它與x軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是

()

A.(-6,0)B.(-4,0)C.(-2,0)D.(4,0)

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的對稱性解答即可.

【詳解】解：拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),對稱軸為直線x=2,

拋物線與無軸另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2x2—6=—2,

???拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確理解拋物線的對稱性是解題的關(guān)鍵.

6.下列說法中，不一定成立的是()

A.所有的等邊三角形都相似

B.有一個鈍角相等的兩個等腰三角形相似

C,腰和底邊對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似

D.兩邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判定即可.

【詳解】解：A、所有的等邊三角形都相似一定成立，不符合題意；

B、有一個鈍角相等的兩個等腰三角形相似一定成立，不符合題意；

C、腰和底邊對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似一定成立，不符合題意；

D、兩邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似不一定成立，符合題意；

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題，判斷命題的真假關(guān)鍵

是要熟悉課本中的性質(zhì)定理，本題的解題關(guān)鍵需要掌握相似三角形的判定定理.

二.填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

x2x+y

7.已知一則一.

y3y

【答案】|

3

x222x+y

【分析】根據(jù)一=彳可得到工=一>,將》=一丫代入一求解即可得到答案.

>33-3y

x2

【詳解】解：一=彳，

y3

2

x=-V,

3

2x+y

將x=：7y代入一^得

3'y

25

x+y=3._3=5,

yyy3

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，根據(jù)條件用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)代入求值是解決問題的關(guān)鍵.

8.己知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP,如果4尸=6—1,那么A8=—.

【答案】2

【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得AP=@二IAB，進(jìn)而即可求解.

2

【詳解】解：???點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且4P>BP,

???AP=^^-AB，

2

?.”=君一1,

：.AB=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查黃金分割的定義，掌握黃金分割點(diǎn)與黃金比的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知a〃人〃c,它們依次交直線機(jī)、〃于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)力、E、F,如果AB=1,AC=4,￡）E=血,

那么EF=.

【答案】3亞

【分析】根據(jù)三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例列出比例式解答即可.

【詳解】解：???4〃〃〃，?，

.ABDE

??一,

ACDF

'：AB=l,AC=4,DE=42,

.1=&

"4-5F'

解得DF=40，

?*-EF=O歹一。E=40—貶=3近―

故答案為：372.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例是

解題的關(guān)鍵.

10.若向量&與單位向量e的方向相反，且忖=2,則。=.（用g表示）

【答案】-2e

【分析】根據(jù)向量的表示方法可直接進(jìn)行解答.

【詳解】解：???向量&與單位向量e的方向相反，且忖=2,

a--2e?

故答案為：—2e.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平面向量的知識，即長度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長度及方向，而長度等于1

個單位長度的向量叫做單位向量，注意單位向量只規(guī)定大小沒規(guī)定方向.

11.拋物線y=—2（x—l）2—l的對稱軸是直線.

【答案】x=l

【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式，可以直接寫出拋物線的對稱軸.

【詳解】解：...y二―2（x—

...該拋物線的對稱軸是直線x=l,

故答案為：x=\.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，由頂點(diǎn)式可以直接寫出對稱軸.

12.已知二次函數(shù)y=x2+3x+加—4的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，那么.

【答案】4

【分析】將（0,0）代入解析式求解.

【詳解】解：將（0,0）代入y=￡+3尤+加一4得0=/n-4,

解得加=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系.

13.己知點(diǎn)A（%,y）,3（々,必）在拋物線〉=-/上，如果玉<々<°，那么為一乂.（填“>”、或

【答案】<

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=-f的開口向下，對稱軸為了軸，則在對稱軸左側(cè)，y隨X的增大而增

大，所以玉。2<0時，X<%

【詳解】解：=

...拋物線開口向下，對稱軸為y軸，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，

<.<%<x2<0,

???M<%，

故答案為：<

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟知其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在等邊AABC中，48=12,P、。分別是邊BC、AC上的點(diǎn)，且/APQ=60。，PC=8,則QC的長是

【分析】通過證明△ABPS^PCQ,可得孱不=不，可求解.

【詳解】解：???△ABC是等邊三角形，

AZABC=ZACB=60°,AB=BC=\2f

?:PC=8,

???8P=4,

,?ZAPC=ZB+ZBAP=ZAPQ+ZCPQ,

：./BAP=NCPQ,

又???NB=NC=60。，

???XkBPsNCQ,

.ABBP

??正一詼’

124

"'~8=QC，

8

???℃=],

Q

故答案為：-.

3

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理.

15.己知直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12,那么這個直角三角形的重心到直角頂點(diǎn)的距離是.

131

【答案】—##4-

33

【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長度，再利用重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1求解可得

答案.

【詳解】解：???直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12,

斜邊的長度為752+122=13>

1713

...這個直角三角形的重心到直角頂點(diǎn)的距離是一xl3x—=」.

233

13

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的重心和勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離

之比為2：1及勾股定理.

16.如圖，將等邊△ABC分割成9個全等的小等邊三角形，點(diǎn)。是其中一個小等邊三角形的頂點(diǎn)，設(shè)A8=”，3C=人，

那么向量.（用向量。、〃表示）

A

【分析】根據(jù)3O=8C+C。，求解即可.

2

【詳解】解：,??C4=C3+A4=-b-a,CD=-AC9

2

*#*CD=—(-b-a),

.2?、21,

??BD=BC+CD=bz<-b-a)=--a+-b,

21-

故答案為：—dH—b.

33

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，三角形法則，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則解決問題，

屬于中考常考題型.

17.如圖，在A8C中，AB=6,AC=8,。是邊A5上一點(diǎn)，且AT>=2，如果點(diǎn)E在邊AC上，且VA0E

與相似，那么AE=.

o3

【答案】；或

32

AfiArAfiAT

【分析】分兩種情況：ABC一AOE或VABC:NAED,得到一=一上或一=——，分別代入數(shù)值求解

ADAEAEAD

即可.

【詳解】解：與_A8C相似，

：..ABCADEABC:NAED,

ABAC_ABAC

—=——，或——=——，

ADAEAEAD

.68-68

2AEAE2

o3

解得：AE=2或AE=-,

32

Q3

故答案為：「或7.

32

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

18.如圖，在Rt_ABC中，ZC=90°,AB=6,AC=J/，CD是斜邊A3的中線，將一A8C繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),

點(diǎn)8、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F,如果點(diǎn)F在射線CO上，那么當(dāng)"=.

【答案】I

【分析】過點(diǎn)A作A”LCD于點(diǎn)“，設(shè)。F=x,利用勾股定理列出x的方程求得x,進(jìn)而求得三角形的面積便

可求得比值.

【詳解】解：過點(diǎn)A作A//LCD于點(diǎn)”，

VZACB=90°,CD是斜邊AB的中線，AB=6,

:.CD=AD=BD=3,

設(shè)OE=x,則CF=x+3,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，AC=AE=岳,

x+3

:.CH=FH=——，

2

:.DH=FH-DF=,

2

由勾股定理得AC2-CH2=AH2=AD2-DH2，

.?.（歷尸_（?）2=32_（=f,

22

解得x=2,

:?DF=2,A/7=J15-（拳>=:卮，

：.SADF=gDF.AH=g后,

VSxEF=S^BC=；義屈義后,

.SMDF_J_

SMEF3

故答案為：—

3

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角

形，利用勾股定理列出方程求得。尸.

三.解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.如圖，已知兩個不平行的向量a、b-先化簡，再求作：2^-1/7j-1（2?+4&）.（不要求寫作法，但要指出

圖中表示結(jié)論的向量）

\彳

【答案】a-3b，圖見解析

【分析】首先利用平面向量的運(yùn)算法則，化簡原式，再利用三角形法則畫出向量.

【詳解】解：原式=2a-6-2。

=a—3b■

如圖：AR=a.AC=3b>

則Q3即為所求.

【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的運(yùn)算.注意掌握三角形法則是解此題的關(guān)鍵.

20.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4（-1,1）、3（1,3）和C（0,l）,求這個二次函數(shù)的解析式，并指出這個二次函數(shù)

圖象的對稱軸.

【答案】這個二次函數(shù)的解析式是^=/+%+1,二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-g

【分析】設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為把A（—l,1）、3（1,3）和C（0,l）代入，列出三元一次方程組

a-b+c=1

■a+Z?+c=3,解方程組得到a=l,b=l,c=l,得到二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=f+%+1,利用對稱軸公式

c=l

b1

x=——即可求得對稱軸為直線龍=一一.

2a2

【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ox2+》x+c,

?.?二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-l，1）、8（1,3）和。（0,1）,

a-b+c=l

.??4Q+〃+C=3,

c=1

a-\

解得卜=1,

c=1

???這個二次函數(shù)的解析式是丁=/+工+1,

h1

x=---=——,

2a2

...二次函數(shù)的對稱軸為直線x=--.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，對稱軸公式，是解題的關(guān)鍵.

21.已知拋物線丁=加—4x+a經(jīng)過點(diǎn)（―3,2）.

（1）求〃值，并將拋物線的表達(dá)式寫成y=a（x+機(jī)p+Z的形式；

（2）將（1）中的拋物線先向右平移〃個單位，再向下平移〃個單位.

①平移后新的拋物線的表達(dá)式為；（用含字母w的式子表示）

②如果新的拋物線的頂點(diǎn)在第四象限，求〃的取值范圍.

【答案】（1）-1,y=—（x+2）?+3

⑵①y=-（x+2—n）-+3—“；②〃>3

【分析】（1）把點(diǎn)（一3,2）代入拋物線丫=以2—4%+。，求出〃的值，再轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可；

（2）①根據(jù)平移的規(guī)律解答；②求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意列出不等式解答.

【小問1詳解】

解：?.?拋物線>=奴2_4%+。經(jīng)過點(diǎn)（-3,2）,

二2=-(-3)2xa-4x(-3)+a,

解得a=-\.

二拋物線表達(dá)式為y=—f一4%—1

寫成y=a(x+〃?)~+%的形式為：y=-(x+2y+3.

【小問2詳解】

解：①根據(jù)平移規(guī)律y=-(x+2-ny+3—

②由①得，新拋物線得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(〃一2,3-〃)，

又頂點(diǎn)在第四象限，

pi-2>0

3-〃<0

二〃的取值范圍為〃>3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象變換，掌握平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，即

“左加右減，上加下減”.

22.如圖.在4ABe和七中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=3g,A。=6，BC=6,DE=2.

(1)求證：RfABCsRt.ADE；

(2)求處的值.

CE

【答案】(1)見解析(2)6

AQA[)

【分析】(1)由勾股定理求得AC=3,AE=JDE?_AD2=1，則=6,即可根據(jù)“兩邊成比例且

ACAE

夾角相等的兩個三角形相似”證明配ABCsRtADE；

ARAnADBD

⑵由一=——，變形為——=——，而NB4O=NC4E=90°—NC4D,即可證明AABDs^ACE,得——

ACAEADAECE

AB廣

【小問i詳解】

證明：；ZBAC=NZME=90°,AB=3g,AD=C，BC=6,DE=2.

22

?"-AC=4BC-AB=而-(3后=3，AE=4DE?-AD?=&一(⑨2=1,

ABAD廣

——=——=yJ3，

ACAE

:.RtABC^Rt..ADE.

【小問2詳解】

解:由⑴得笫=筆

AB_AC

~AD~~AE

,/ABAD=Z.CAE=90°-ACAD,

/.Z\ABDS4ACE,

BDAB廣

?.?zr益=5

:?的值是6-

CE

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)勾股定理求得AC=3,AE=\,進(jìn)而求

ADAn

得—=曰是解題的關(guān)鍵.

ACAE

A￡＞是_ABC的角平分線，ZADE=ZB，邊。E與AC相交于點(diǎn)區(qū)

(1)求證：AFBD=ADDF；

(2)如果AE〃8C,求證：ABAF=DFDE.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）由ND4E=ZBAD,NA0E=ZB,根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明

AZ7DF

ADFABD，得K=所以AF?BD=AD-DF；

ADBD

(2)先由AE〃BC,得NC=NEAC,則ZAZ>3=NC4D+NC=NC4D+ZE4C=NE4D,而ZAZ)E=ZB，

E3ABBDAFDF……DFBDABDF,

則iADB,EDA，得――=,由——=變形得=,則nl——=,所rr以iAB-AF=DF-DE-

DEADADBDAFADDEAF

【小問1詳解】

證明：是_ABC的角平分線,

ZDAF^ZBAD,

ZADE=ZB，

/.ADFABD，

.AFDF

??茄一茄’

，AFBD=ADDF.

【小問2詳解】

證明：,/AE//BC,

:.ZC^ZEAC,

:.ZCAD+ZC=ZCAD+AEAC，

'：ZADB=ZCAD+ZC,ZEAD=ZCAD+ZEAC,

/?ZADB=ZEAD，

,/ZADE^ZB，

；?ADBEDA，

.ABBD

''~DE~~AD'

?,、gAEDF

由（1）得——=——，

ADBD

.DFBD

??___一__，

AFAD

.ABDF

??=9

DEAF

/.ABAF=DFDE.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查三角形的角平分線的定義、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、相似三角

形的判定與性質(zhì)等知識，正確地找到相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明，ADW-.AB□及,..406.，.功月是

解題的關(guān)鍵.

24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，拋物線的頂點(diǎn)是A(l,-5),且經(jīng)過點(diǎn)3(—1,一1),過點(diǎn)B作軸,

交拋物線的對稱軸于點(diǎn)C.

(1)求拋物線表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)連接A3,如果點(diǎn)。是該拋物線上一點(diǎn)，且位于第一象限，當(dāng)NDBC=ZBAC時，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為y=(x-l)2-5,C(l,-1)

(2)D

【分析】(1)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)是A(l,-5),可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x—1)2—53h0),將點(diǎn)8(—1,一1)的

坐標(biāo)代入表達(dá)式，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)。(加,〃2-2m—4)(加＞0)過點(diǎn)。作。"_LBC，垂足為點(diǎn)”，所以￡＞”=加2一2〃?一3，BH=m+l,

根據(jù)題意可證明△BHDS^ACB，所以DH:3C=3":AC,即(〃，一2加一3):2=(根+1):5,解之即可.

【小問1詳解】

解：由拋物線的頂點(diǎn)是41,-5),

可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-l)2-5(a*0),

?.?拋物線經(jīng)過點(diǎn)8(-1,一1),

-1=a(—1—I)?—5=4a—5,解得a=l,

...拋物線的表達(dá)式為y=(x-l)2-5,

；軸，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)C,

【小問2詳解】

解：：拋物線的一般式y(tǒng)=》2—2x—4

...設(shè)￡)(，〃,1一2m-4)(機(jī)＞0)

如圖，連接BA,過點(diǎn)。作垂足為點(diǎn)H,連接BO，

DH-in2-2m-3-BH=m+\

在，/HD與△ACB中，

ZDHB=NBCA=90。，NDBC=NBAC，

，DH:BC=BH:AC,

?：BC=2,AC=4,

/.(m2-2m-3):2=(m+1):4,

:.4(/—2m-3)=2(m+1),

?*.2w2-5m-7=0-

/.(2m-7)(m+1)=0,

7

解得加=—或m=-1(舍)，

2

7