2023-2024學年福建省福州十九中八年級（上）開門考數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下面四個圖形分別是節能、節水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形

的是（）

2.下列實數中，無理數是（）

A.屋B.V27C.0.213D.y

3.將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則N1的度數為（）

C.75°D.85°

4.下列說法正確的是（）

A.從全校1500名學生中抽取100名調查了解寒假閱讀情況，抽取的樣本容量為1500

B.了解北京冬奧會的收視率適合用抽樣調查

C.調查某批次汽車的抗撞擊能力適合用全面調查

D.旅客乘坐飛機前的安檢適合用抽樣調查

5.如圖，將三角形ABC沿著PQ方向平移得到三角形AB'C',則下列結論錯誤的是（）

A.AB//A'B'.B.AA'=BB'C.AA'//BB'D.AA'=AB

6.如果zn>n,則下列結論中正確的是（）

A.y<B.m—3<n—3C.m+c>n+cD.-2m>—2n

7.如果一個多邊形的內角和與外角和相等，那么這個多邊形的邊數是（）

A.3B.4C.5D.6

8.能說明命題“對于任何實數a,|a|=a",是假命題的一個反例可以是（）

A.a=0B.a=V2023C.a=2023D.a=-2023

9.我國古代數學著作仇章算術》卷七“盈不足”中有這樣一個問題：“今有共買物，人出

八，盈三；人出七，不足四，問人數、物價各幾何？”意思是：幾個人合伙買一件物品，每

人出8元，則余3元：若每人出7元，則少4元，問兒人合買？這件物品多少錢？若設有x人合

買，這件物品y元，則根據題意列出的二元一次方程組為（）

（7x=y+4（7%=y—3（4%=y—7（7x=y-4

10.如圖，NC=90。，點M是BC的中點，DM平分乙4DC,且CB=8,貝1J叭----->C

點M到線段的最小距離為（）/\

：：M

D.5

二、填空題（本大題共6小題，共24分）

11.9的算術平方根是.

12.如圖，BD是AABC的中線，AB=8cm,BC=6cm,那么AAB。的A

13.若點。（6—3。,。+1）在、軸上，則。=

14.如圖，已知B(2,0),C(0,l),AC1BC,且AC=BC,則點A的

坐標是.

15.已知實數a,b,c,滿足a+b=8,c-a=10.若a＞-2b,則a+b+c的最大值為

16.如圖，在△ABC中，乙4=60。（乙4BC＞乙4）,角平分線BD、CEA

交于點0,OFLAB于點凡下列結論：/\

②4EOF=44BC-44

③BE+CD=BC;

④S四邊膨BEDC=2SXBOC+SAED。,

其中正確結論是

三、計算題（本大題共1小題，共8分）

（1）解二元一次方程組耕獷二今

（2）若上述方程組的解是關于％,y的二元一次方程ax+by=2的一組解，求代數式d6b二4a

的值.

四、解答題（本大題共8小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

18.（本小題8.0分）

計算：＜15-V27+|2-V-5|.

19.（本小題8.0分）

解不等式：^-l＜x,并將解集在數軸上表示出來.

20.（本小題8.0分）

如圖，AB//CD,AB=CD,點E、F在線段BC上，且BE=CF,連接力八DE.

求證：Z.A=Z.D.

21.（本小題8.0分）

如圖，在△ABC中，乙ACB＞乙B.

(1)尺規作圖，在4B上求作一點0,使4BCD=NB.(不要求寫作法，保留作圖痕跡)；請你根

據所學的三角形全等的有關知識，作圖依據是.(提示：SSS、SAS.ASA.44S)

(2)若(1)中乙4=65。，/.ACB=75°,求乙40c的度數.

22.(本小題10.0分)

某校組織2000名學生參加“展示我美麗祖國”慶國慶的自拍照片的評比活動，隨機取一些學

生在評比中的成績制成的統計圖表如下：

頻數分布表

分數段頻數百分比

80<%<85a20%

85<x<9080b

90<x<956030%

95<x<10020C

根據以上圖表提供的信息，解答下列問題：

(1)該調查的樣本容量是.

(2)a=，b-,c—；補全頻數分布直方圖;

頻數分布直方圖

(3)如果評比成績在90分及以上(含90分)的可以獲獎，試估計該校參加此次活動獲獎的人數.

23.（本小題10.0分）

“綠水青山就是金山銀山”，為保護生態環境，4,B兩村準備各自清理所屬區域養魚網箱和

捕魚網箱，每村參加清理人數及總開支如下表：

村莊清理養魚網箱人數/人清理捕魚網箱人數/人總支出/元

A15957000

B101668000

（1）若兩村清理同類漁具的人均支出費用一樣，求清理養魚網箱和捕魚網箱的人均支出費用各

是多少元；

（2）在人均支出費用不變的情況下，為節約開支，兩村準備抽調40人共同清理養魚網箱和捕魚

網箱，要使總支出不超過102000元，且清理養魚網箱人數小于清理捕魚網箱人數，則有哪幾

種分配清理人員方案？

24.（本小題12.0分）

（一）閱讀材料

若關于x,y的二元一次方程ax+by-c有一組整數解｛：_；則方程ax+by-c的全體整

數解可表示為￡5+（t為整數）.

—%—ut

例題：求關于X,y的二元一次方程5x+lly=136的所有正整數解.

小明參考閱讀材料，解決該例題如下：

解：V5x+lly=136,x=（136-lly）+5=27-3y+（1+4y）+5,

%,y要取整數，二當y=1時，x=25,

該方程一組整數解為f其全體整數解為后125_+llt?為整數）

（25+lit>025,,」1

??,tl-5t>0五<”才

t為整數，.?.t=-2、-1或0.

二該方程的正整數解為［江仁薩和后誓

（二）解決問題

⑴關于x,y的二元一次方程3x+5y=14的全體整數解表示為（t為整數），則a=

（2）請參考閱讀材料，直接寫出關于，y的二元一次方程19x-7y=155的一組整數解和它對

應的全體整數解；

(3)請你參考小明的解題方法，求關于x,y的二元一次方程3x+2y=23的全體正整數解.

25.(本小題14.0分)

已知：平面直角坐標系中，如圖1,點4(a,b),ABlx軸于點B,并且滿足J2a+6+6+(a—

b+12尸=0.

(1)試判斷△4。8的形狀并說明理由.

(2)如圖2,若點C為線段48的中點，連OC并作OD1OC,且OD=OC,連4。交x軸于點E,

試求點E的坐標.

(3)如圖3,若點M為點B的左邊x軸負半軸上一動點，以AM為一邊作NMAN=45。交y軸負半

軸于點N,連MN,在點M運動過程中，試猜想式子OM+MN-ON的值是否發生變化？若不

變，求這個不變的值；若發生變化，試求它變化的范圍.

BO

答案和解析

1.【答案】B

解：選項A、C、。的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，所以不是軸對稱圖形.

選項B的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，

所以是軸對稱圖形.

故選：B.

根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

2.【答案】A

解：4、，石是無理數；

B、舊=3是有理數；

C、0.213為有理數；

D、:是有理數；

故選：A.

無理數就是無限不循環小數.理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數

與分數的統稱.即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數.由此即可判

定選擇項.

此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：7T,2兀等；開方開不盡的數；

以及像0.1010010001等有這樣規律的數.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是平行線性質和平角定義的有關知識，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

首先根據平角的定義求得N2的度數，再利用平行線的性質即可求得N1的度數.

【解答】

解：如圖：

VZ.BCA=60°,LDCE=45°,

42=180°-60°-45°=75°,

vHF//BC,

：.Z1=Z2=75°,

故選C.

4【答案】B

解：4從全校1500名學生中抽取100名調查了解寒假閱讀情況，抽取的樣本容量為100,故原說法

錯誤，不符合題意；

8.了解北京冬奧會的收視率，工作量非常大，適合用抽樣調查，正確，符合題意；

C.調查某批次汽車的抗撞擊能力，具有破壞性，適合用抽樣調查，故原說法錯誤，不符合題意；

D.旅客乘坐飛機前的安檢非常重要，適合用全面調查，故原說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

根據普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果

比較近似判斷即可.

本題考查了抽樣調查和全面調查的定義，為了特定的目的對全部考查對象進行的全面調查叫做普

查；從全部考查對象中抽取部分個體，通過對這一部分個體的調查估計考查對象的總體情況，這

種調查叫做抽樣調查.

5.【答案】D

解：由平移的性質可知，AB//A'B',AA'=BB',AA'//BB',因此選項A、選項8、選項C不符合

題意；

而A4'與4B不一定相等，因此選項。符合題意；

故選：D.

根據平移的性質逐項進行判斷即可.

本題考查平移的性質，理解平移的定義，掌握平移的性質是正確解答的前提.

6.【答案】C

【解析】【解答】

解：A."m>n,

???￡>全原變形錯誤，故此選項不符合題意；

B."m>n,

.-.m-3>n-3,原變形錯誤，故此選項不符合題意；

C."m>n,

m+c>n+c,原變形正確，故此選項符合題意；

D."m>n,

-2m<-2n,原變形錯誤，故此選項不符合題意.

故選：C.

【分析】

根據不等式的性質逐一判斷即可.

本題考查不等式的性質，解題關鍵是熟知不等式的性質：1.不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個

數（或式子），不等號的方向不變；2.不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；

3.不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

7.【答案】B

解：設多邊形的邊數為n,根據題意

（n-2）-180°=360°,

解得n=4.

故選：B.

利用多邊形的內角和與外角和公式列出方程，然后解方程即可.

本題考查了多邊形的內角和公式與多邊形的外角和定理，需要注意，多邊形的外角和與邊數無關，

任何多邊形的外角和都是360。.

8.【答案】D

解：|-2023|=2023,即此時不滿足|-2023|=-2023,

二能說明命題“對于任何實數a,|a|=a"是假命題的一個反例可以是a=-2023,

故選：D.

根據“對于任何實數a，|a|=a"成立的條件是a>0即可得出答案.

本題考查了命題與定理有關知識，反例就是符合己知條件但不滿足結論的例子，可據此判斷出正

確的選項.

9.【答案】D

解：由題意可得:｛建匯;，

故選：D.

根據題意可以找出題目中的等量關系，列出相應的方程組，從而可以解答本題.

本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組.

10.【答案】C

解：如圖所示，過點M作ME_L4D于E,

乙MED="=90°,

vDM平分N40C,

乙MDE=Z.MDC,

又：MD=MD,

2MDEW4MDC(AAS),

：.ME=MC,

???點M是8c的中點，CB=8,

ME=MC=^BC=4,

.??點M到線段AD的最小距離為4,

故選：C.

如圖所示，過點M作ME14。于E,證明AMDE三△MDC,得到ME=MC,再根據線段中點的定

義得到ME=MC=\BC=4,根據垂線段最短可知點M到線段4。的最小距離為4.

本題主要考查了全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，垂線段最短等等，正確作出輔助線

構造全等三角形是解題的關鍵.

11.【答案】3

解：32=9,

???9的算術平方根是3,

故答案為：3.

根據算術平方根的定義計算即可.

本題考查了算術平方根的定義，如果一個正數x的平方等于a,即/=a,那么這個正數x叫做a的

算術平方根.

12.【答案】2

解：???BD是A/IBC的中線，

:.AD—DC,

力BD的周長一△CBD的周長

=(AB+AD+BD)-(BC+DC+BD)

=AB-BC

=8—6

=2(cm),

4B0的周長比^CBD的周長多2cm,

故答案為：2.

根據三角形的中線的概念得到4。=DC,根據三角形的周長公式計算，得到答案.

本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.

13.【答案】2

解：；點P(6—3a,a+l)在y軸上,

???6-3a=0?

解得a=2.

故答案為：2.

直接利用y軸上點的坐標特點得出a-1=0,進而得出答案.

此題主要考查了點的坐標，熟知y軸上的點的橫坐標為零是解題關鍵.

14.【答案】(T-1)

解：過點4(乍AD1y軸于點D,則N4DC=90°,

貝此4CD+ACAD=90°,

y

",

/\o^^Bx

A^D

???B(2,0),C(O,1),

.?.OB=2,OC=1,

??,AC1BC,

???Z.ACB=90°,

???乙4CD+LOCB=90°,

Z.OCB=Z-CAD,

???Z.BOC=Z.CDA=90°,AC=BC,

??.△BOC=L4c。力(44S),

?，AD=OC=1,CD=BO=2,

??,OD=CD-OC=1,

二點a的坐標是(-1,-1).

故答案為：(―i,-1)-

過點4作4。_Ly軸于點。，貝IJ乙4DC=90。，證明△BOC三△4CZMQ4AS),則4。=OC=1,CD=

BO=2,得到。。=CD-OC=1,即可得到點4的坐標.

此題考查了坐標與圖形、全等三角形的判定和性質等知識，證明^BOC三△NCD4Q44S)是解題的

關鍵.

15.【答案】34

解：由c—a=10得c=a+10,

由a+b=8得a+b+c=a+18,

,■a+b=8及a>—2b,

???a<16,

a的最大值為16,

：.a+b+c的最大值=18+16=34.

故答案為：34.

由c-a=l(^^c=a+10,與a+b=8相加得a+b+c=a+18,由a+b=8及a2-2b,可

得a的最大值為16,從而得出a+b+c的最大值.

本題考查了不等式的性質運用.關鍵是由已知等式得出a+b+c的表達式，再求最大值.

16.【答案】①③④

解：如圖1過。作。H1BC于H,

OF=OH,

-RC-OHDr

:?S〉BOC：SLBOE=1=故①正確；

v乙4=60°,

A￡.ABC4-Z-ACB=120°,

?：BD、分別平分4ABC、"CB,且BD、CE相交于點。，

Z.OBC=/.OBA=^Z.ABC,Z.OCB=/.OCA=*CB,

Z.OBC+Z.OCB=；(/.ABC+4ACB)=60°,

???乙EOB=ZOBC+乙OCB=60°,

乙EOF=乙BOE-Z.BOF,

■■■AOBF=^AABC,

乙BOF=90°-*BC,

乙EOF=60°-(90°-*4BC)=*BC-30°=RNABC-60°)=:QABC-"),故②錯誤;

在8c上截取BM=BE,連接OM,

8C

圖2

在△BOE和△BOM中，

BE=BM

乙OBE=乙OBM,

OB=OB

???△80Ewzk80M(S4S),

???OE=OM,乙EOB=乙BOM=60°,

???乙COD=乙EOB=60°,

:./-COM=180°-乙BOM-Z,COD=60°,

:.Z.COD=乙COM,

在△C。。和△COM中，

/-COD=4COM

OC=OC,

/-OCD=Z.OCM

???△COD三2COM{ASA),

/.CD=CM,

??.BE+CD=BC,故③正確；

BOE=LBOM,△COD=ACOM,

S^BOE=S"OM?S^COD=S^COM，

*'?S&BOE+S〉COD=S^BOM+SACOM，=S&BOC，

S四邊形BEDC=S&BOC+S&BOE+S^COD+S〉EDO=2s.OC+S^EDO,

故④正確，

故答案為：①③④.

如圖1過。作OH1BC于H,根據角平分線的性質得到。尸=OH,根據三角形的面積公式得到S.OC：

-BCOHRC1

ShB0E=I-----------=器,故①正確；根據角平分線的定義得到ZOBC=40酎=〃4BC，Z.OCB=

^BEOFBEJ72

11

/.OCA=^ACB,求得乙EOF=4BOE—乙BOF,于是得至UZLEOF=60°—(90°—/々ABC)=

|AABC-30°=(zXfiC-60°)=j^ABC-Z.A),故②錯誤；在BC上截取BM=BE,連接OM,

根據全等三角形的性質得到OE=OM,乙EOB=乙BOM=60°,CD=CM,于是得到BE+CD=BC,

故③正確；根據全等二角形的性質得到SABOE=SABOM，SACOD=SACOM，于是得到S四龍形BEDC=

S^BOC+S〉BOE+S&COD+S&EDO=2s&BOC+S〉EDO,故④正確?

此題考查全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、三角形內角和定理及其推論等知識，解題

的關鍵是正確地作出所需要的輔助線，構造全等三角形，再利用全等三角形的判定與性質解決問

題.

17?【答案】解:⑴］：：?二%

②—①，得：y=3,

把y=3代入①，得：%+3=1,

解得：x=-2,

???方程組的解為｛:z-2；

(2)由題意將二12代入a%+by=2中，得：

―2a+3b=2,

:，6b-4a=4,

:.V6b—4a=V-4=2,

76b—4a的值為2.

【解析】(1)利用加減消元法解二元一次方程組；

(2)將方程組的解代入方程中，然后利用整體代入思想及算術平方根的概念求解.

本題考查方程的解及解二元一次方程組，理解方程的解的概念，掌握消元法解二元一次方程組的

步驟，準確計算是解題關鍵.

18.【答案】解：原式=5-3+一一2

=7-5.

【解析】直接利用二次根式的性質以及立方根的性質、絕對值的性質分別化簡，進而合并得出答

案.

此題主要考查了實數的運算，正確化簡各數是解題關鍵.

19.【答案】解：去分母：x-1-2<2x,

移項，合并同類項：x>-3,

把解集在數軸上表示出來

-5-4-3-2-I0I23456

【解析】按照解一元一次不等式的步驟：去分母，移項，合并同類項，系數化為1,進行計算.

本題考查解一元一次不等式，熟記解題步驟是解題關鍵：去分母，移項，合并同類項，系數化為1.

20.【答案】證明：??,BE=CF,

???BF=CE,

-AB//CD,

:.(B=zC,

在△ABF和△〃￡1,

AB=CD

乙B—Z-C>

BF=CE

ABF=^DCE，

，Z-A—Z.D.

【解析】欲證明乙4=4。，只要證明△ABF三△DCE即可；

本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形全

等的條件，屬于中考常考題型.

21.【答案】SSS

解：(1)如圖，點。為所作：

(2)v44=65°,/.ACB=75°,

4B=180°-44一Z.ACB=40°,

乙BCD=40°,

???^ADC=NB+乙BCD=400+40°=80°.

(1)利用基本作圖，作一個角等于已知角實際上是作三邊對應相等的兩個三角形，然后根據全等三

角形的性質得到對應角相等；

(2)先根據三角形內角和計算出48=40°,則4BCD=40°,然后根據三角形外角性質計算乙4DC的

度數.

本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的

基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了全等三角形的判定與性質.

22.【答案】2004040%10%

解：⑴???抽查的學生總數為：60+30%=200(人),

二樣本容量為200,

故答案為:200；

(2)a=200-80-60-20=40,b=黑x100%=40%,c=照x100%=10%,

補全頻數分布直方圖如下:

頻數分布直方圖

(3)估計該校參加此次活動獲獎的人數為2000x(30%+10%)=800(人).

(1)首先求得抽取的樣本總數，據此可得樣本容量；

(2)用樣本容量減去其他小組的人數即可求得a值，用80除以樣本容量即可求得b值，用20除以樣

本容量即可求得c的值，根據以上求得的數據補全統計圖即可；

(3)用總人數乘以評比成績在90分及以上(含90分)的人數所占百分比即可.

本題考查了頻數分布直方圖、頻數分布表的有關知識，讀圖時要全面細致，要充分運用數形結合

思想來解決由統計圖形式給出的數學實際問題.

23.【答案】解：(1)設清理養魚網箱的人均費用為x元，清理捕魚網箱的人均費用為y元,

15%+9y=57000

根據題意,

10x+16y=68000'

(x=2000

解得:

ly=3000'

答：清理養魚網箱的人均費用為2000元，清理捕魚網箱的人均費用為3000元;

(2)設m人清理養魚網箱，則(40-m)人清理捕魚網箱,

根據題意，得：｛黑明：%。（40-何，。2。0。，

解得：18Wm<20,

zn為整數，

:，m=18或m=19,

則分配清理人員方案有兩種：

方案一：18人清理養魚網箱，22人清理捕魚網箱；

方案二：19人清理養魚網箱，21人清理捕魚網箱.

【解析】（1）設清理養魚網箱的人均費用為％元，清理捕魚網箱的人均費用為y元，根據4、B兩村

莊總支出列出關于x、y的方程組，解之可得；

（2）設m人清理養魚網箱，則（40-爪）人清理捕魚網箱，根據“總支出不超過102000元，且清理養

魚網箱人數小于清理捕魚網箱人數”列不等式組求解可得.

本題主要考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是理解題意，找到題目蘊

含的相等關系或不等關系，并據此列出方程或不等式組.

24.【答案】3

解：（l）a=3.理由如下：

???當％=3時，y=1,

.??方程3x+5y=14的一組整數解為：C二；，

它的全部整數解二：當：（t為整數），

???方程3x+5y=14的全部整數解表示為：仁?為整數），

**,6Z—3.

故答案為：3；

%=10累，;*為整數）.理由如下:

(2)y=5

v19%—7y=155,

?,?19%=7y+155,

7y+155_7y+3

???x=+8,

1919

,??》,y為整數，

???y=l、2、3、4、5,分別代入驗算，得:當y=5時，x=10.

???原方程的一組整數解為C

???原方程的全部整數解：C=:(t為整數)；

(3)v3%+2y=23,

???3x=23—2y,

…竽=8-竽，

,:x,y為整數，

???當y=1時，%=7,

???原方程的一組整數解為仁z

???原方程的全部整數解C二\t為整數)，

v%>0,y>0,

.[7+2t>0

_1

:.-3.5VC<?,

???t為整數，

**?t=-3、—2、—1或0,

鳴”-3、--。時,對應得：流弋學，憂:，仁;

.??方程3x+2y=23的全部正整數解為：g：JQ,;；仁和仁;.

(1)利用題干中的方法，求得方程3x+5y=14的一組整數解即可得出結論；

(2)利用題干中的方法，將原方程適當變形后，求得它的一組整數解，再利用為