專題6.24圖形的位似(知識講解)

【學習目標】

1.了解圖形的位似，明確位似變換是特殊的相似變換；

2.能利用位似的方法，將一個圖形放大或縮小；

【要點梳理】

知識點1:位似圖形概念

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這

樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.

知識點2：位似圖形的性質

(1)位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；

(2)位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；

(3)位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.

特別說明：

(1)位似圖形與相似圖形的區別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形

未

必能構成位似圖形.

(2)位似變換中對應點的坐標變化規律:在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原

點為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.

知識點3：平移、軸對稱、旋轉和位似四種變換的異同：

3.平移、軸對稱、旋轉和位似四種變換的異同：

圖形經過平移、旋轉或軸對稱的變換后，雖然對應位置改變了，但大小和形狀

沒有改變，即兩個圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的.

知識點4：作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個關鍵點，并任取一點作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關鍵點連線；

第三步：在連線上取關鍵點的對應點，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對應點.

特別說明：

位似中心可以取在多邊形外、多邊形內，或多邊形的一邊上、或頂點，下面是位似

中心不同的畫法.

A

類型一、位似圖形的識別

fl.如圖是與ABC位似的三角形的幾種畫法，其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】根據位似圖形的性質判斷即可.

解：由位似圖形的畫法可得：4個圖形都是4ABe的位似圖形.

故選：D.

【點撥】本題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關鍵.

舉一反三：

【變式】下列各選項中的兩個圖形不是位似圖形的是（）

A.B.

【答案】D

【分析】根據位似圖形的定義解答即可.

解:A,8和C中的兩個圖形都是位似圖形,

A中的位似中心是點C,

B中的位似中心是點O,

C中的位似中心是點0.

只有選項。的對應頂點的連線相不交于一點，對應邊不互相平行，故。不是位似圖像.

故選D

【點撥】本題考查的是位似變換，掌握兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線

相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形是解題的關鍵.

類型二、判斷位似中心

.如圖所示，將回ABC的三邊分別擴大一倍得到回A1B1C1,（頂點均在格點上），

它們是以P點為位似中心的位似圖形，則P點的坐標是()

A.(-4,-3)B.(-3,-3)C.(-4,-4)D.(-3,-4)

【答案】A

【分析】作直線A4/、BBj,這兩條直線的交點即為位似中心.

解：由圖中可知，點尸的坐標為(-4,-3).

故選A.

【點撥】用到的知識點為：兩對對應點連線的交點為位似中心.

舉一反三:

【變式】如圖，若AABC與的耳G是位似圖形，則位似中心的坐標是()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)

【答案】C

【分析】根據位似中心的定義，連接位似圖形的對應點，交點即為位似中心.

解：連接C1C,B1B,A1A并延長，交點P即為所求，由圖可知：位似中心的坐標是:

(0,-1),

故選：C.

【點撥】此題考查的是位似圖形及位似中心的定義，掌握位似中心的確定方法：位似圖

形的各個對應點連線的交點即為位似中心是解決此題的關鍵.

類型三、位似圖形的相關概念

.如圖，已知AABC與△￡>￡：/位似，位似中心為點。，且AABC的面積等于

4

面積的,，則A。：的值為（

C.4：9D.4：13

【答案】B

【分析】由AABC經過位似變換得到ADEF,點O是位似中心，根據位似圖形的性質得

至UAB：DO=2：3,進而得出答案.

4

解：:△ABC與ADEF位似，位似中心為點O,且AABC的面積等于ADEF面積的

.AC2

=一，AC〃DF,

"DF~3

AOAC_2

DO~^F~3

AO_2

AD-I'

故選B.

【點撥】此題考查了位似圖形的性質.注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相

似比，其對應的面積比等于相似比的平方.

舉一反三：

【變式】按如下方法，將△ABC的三邊縮小到原來的如圖，任取一點O,連結AO,

BO,CO,并取它們的中點。、E、F,得△DEF；則下列說法錯誤的是（）

A.點。為位似中心且位似比為1：2

B.△ABC與△OEF是位似圖形

C.△ABC與是相似圖形

D.△ABC與△的面積之比為4：1

【答案】A

【分析】根據位似圖形的性質，得出①4ABC與ADEF是位似圖形進而根據位似圖形

一定是相似圖形得出②AABC與ADEF是相似圖形，再根據周長比等于位似比，以及根據

面積比等于相似比的平方，即可得出答案.

解：：如圖，任取一點O,連結AO,BO,CO,并取它們的中點D、E、F,得△DEF,

；.將4ABC的三邊縮小到原來的義，此時點0為位似中心且△ABC與ADEF的位

似比為2：1,故選項A說法錯誤，符合題意；

△ABC與ADEF是位似圖形，故選項B說法正確，不合題意；

△ABC與ADEF是相似圖形，故選項C說法正確，不合題意；

△ABC與ADEF的面積之比為4：1,故選項D說法正確，不合題意；

故選：A.

【點撥】此題主要考查了位似圖形的性質，正確的記憶位似圖形性質是解決問題的關鍵.

類型四、位似圖形的相似比

它’4.如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點是點0,誓='，則

OA5

S四邊形A3CD

A

【答案】.9

解：???四邊形A5。□與四邊形印GH位似，位似中心點是點0,

.EF0E_3

"AB-0A-5?

milS四邊形MG”=(OE.=32=2

S四邊形ABCD%525

故答案為:

【點撥】本題考查的是位似變換的性質，掌握位似圖形與相似圖形的關系、相似多

邊形的性質是解題的關鍵.

舉一反三:

【變式】如圖，ABC與VA?<7是位似圖形，點O是位似中心，若OA=2A4',

S/UBC=8.則^AA'B'C=

【答案】18

【分析】由，ABC與,.A8C是位似圖形且由Q4=24V.可得兩位似圖形的位似比為

2：3,所以兩位似圖形的面積比為4：9,又由‘ABC的面積為8,得△49C'的面積

為18.

解：ABC與，是位似圖形,

.?.△ABCsAAFC,

q

.-ABC

SA'B'C

OA=2AA\

.OA_2AAr2

,^OA~2AAr+AAf~3

S^BC=8,

8

°A"B'C'

??SA'B'C'=1&

經檢驗：SA'B'C'=18符合題意.

故答案為：18.

【點撥】本題考查的是位似圖形的性質，掌握利用位似圖形的面積之比等于相似比的平

方是解題的關鍵.

類型五、畫位似圖形放大后的的位似圖形

.在平面直角坐標系中，ABC的三個頂點的坐標分別是AL3),2(4,1),以1,1).

(2)畫出.ABC以點。為位似中心，位似比為1：2的4482^.

【答案】(1)如圖所示△44G為所求；見分析；(2)如圖所示AAB2c2為所求；見

分析.

【分析】

(1)將ABC的各個點關于x軸的對稱點描出，連接即可.

(2)在二ABC同側和對側分別找到20A=OA2,2OB=OB2,20c=OC2所對應的A2,

B2,C2的坐標，連接即可.

解：(1)由題意知：..ABC的三個頂點的坐標分別是A(1,3),B(4,1),

C(1,1),

則.ABC關于x軸成軸對稱的必用。1的坐標為Ai(1,-3),Bi(4,-1),

Ci(1,-1),

連接A1C1,A1B1,B1C1

得到△ABC.

如圖所示△AB。為所求；

(2)由題意知：位似中心是原點，

則分兩種情況：

第一種，"BG和,ABC在同一側

則A2(2,6),B2(8,2),C2(2,2),

連接各點，得△&與&.

第二種，2a在‘.ABC的對側

A2(—2,—6),B?(—8,—2),C2(—2,—2),

連接各點，得△4鳥a.

【點撥】本題主要考查了位似中心、位似比和軸對稱相關知識點，正確掌握位似中心、

位似比的概念及應用是解題的關鍵.

舉一反三：

【變式】如圖是3x5的網格，網格中每個小正方形的邊長都是1,小格的頂點叫做格點,

以格點為頂點的三角形叫做格點三角形.

(1)圖1中的格點三角形ABC與格點三角形DEF相似嗎？請說明理由;

（2）請在圖2中選擇適當的位似中心畫一個格點三角形AB|G，使AaBC與，ABC位

似，且相似比不為L

AB

圖2

【答案】（1）AABCsADEF,理由見分析；（2）△AgG如圖所示（答案不唯一），

見分析.

【分析】

（1）根據題意以及利用勾股定理求出三角形各個邊長，然后進一步得出對應邊成比例

求證三角形相似即可；

（2）可選擇A點為位似中心，然后進一步按要求畫出位似圖形即可.

解：（1）AABCs公DEF,理由如下：

由題圖，可知AB=l,BC=e,AC=?DE=&EF=?,DF=5,

則絲_生_型=正

DEEFDF5

AABCs^DEF；

（2）△A4G如圖所示:

【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定與位似圖形的作圖，熟練掌握相關概念是解

題關鍵.

類型六、求位似圖形對應的坐標

.如圖，已知.ABC三個頂點的坐標是A（-5,5）,3（T1）,C（-2,3）.

（1）將一ABC繞原點。順時針旋轉90。得ABC，畫出4801，并寫出4、4、G的

坐標;

(2)..A芻Cz和.A5c關于原點0對稱，畫出482c2；

(3)以點。為位似中心，將,ABC縮小為原來的)，請直接寫出點A的對應點A3的坐

標.

55

【答案】(1)見分析，4(5,5),耳(1,4)、G(3,2)；(2)見分析；(3)&或

252

5_5

2，-2

【分析】

(1)分別作出點A、B、C繞坐標原點O順時針旋轉90。得到的對應點，再順次連接可

得;

(2)分別作出點A、B、C關于原點的對稱點，順次連接可得;

(3)分兩種情況寫出即可.

解:(1)如圖所示，△/44G為所求；4(5,5)、4(1,4)、6(3,2)

(2)如圖所示，△人鳥G為所求

【點撥】本題主要考查作圖-中心對稱變換、旋轉變換、位似變換，解題的關鍵是根據

中心對稱變換和位似變換的點的坐標特征，確定變換后的對應點.

舉一反三：

【變式】如圖，在平面直角坐標系網格中，將AABC進行位似變換得到△48/G.

(1)AA/B/G與AABC的位似比是；

(2)畫出關于y軸對稱的222c2；

(3)設點尸(a,b)為AABC內一點，則依上述兩次變換后，點尸在△A2&C2內的對應

點P2的坐標是.

【答案】⑴2；(2)作圖見分析；⑶(-2a,26).

【分析】

(1)根據位似圖形可得位似比即可；

(2)根據軸對稱圖形的畫法畫出圖形即可；

(3)根據三次變換規律得出坐標即可.

解：(1)△48/。與AABC的位似比等于=鋁=2=2；

AB2

(2)如圖所示

>A

(3)點尸(a,b)為△ABC內一點，依次經過上述兩次變換后，點尸的對應點的坐標為

(-2a,2b).

考點：(1)、作圖-位似變換；(2)、作圖-軸對稱變換

類型七、坐標系中的位似圖形

.如圖，分別以AABC的邊AC和2C為腰向外作等腰直角△D4C和等腰直角

△EBC,連接。E

(1)求證：ADAS4EBC；

(2)求AABC與△DEC的面積比.

【答案】(1)見分析；(2)1

【分析】

(1)利用等腰直角三角形的性質證明△DACS^EBC；

(2)依據ADACsaEBC所得條件，證明AABC與AOEC相似，通過面積比等于相

似比的平方得到結果.

(1)證明：?.?△班C是等腰直角三角形

；?BC=BE,ZEBC=90°

：.ZBEC=ZBCE=45°.

同理NOAC=90。，ZADC=ZACD=45°

：.ZEBC=ZDAC=90°,ZBCE=ZAC￡)=45°.

/.△DAC^AEBC.

(2)解：：在R3ACO中，AC2+AD2=CD2,

：.2AC2=CD2

.ACA/2

,?=,

CD2

ADACsAEBC

.AC_DC

''~BC~~EC'

.ECDC

"BC-AC；

ZBCE=ZACD

：.ZBCE-ZACE=ZACD-ZACE,即ZBCA=ZECD,

4ECDC

?.,在△OEC和△ABC中，——=——，ZBCA=ZECD,

BCAC

：.△DECs^ABC,

：.S^ABC:S?DEC=(—=1.

UcJ2

【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質，以及相似三角形的面積比等于相似比的

平方，解題的關鍵在于利用(1)中的相似推導出第二對相似三角形.

舉一反三：

【變式】在平面直角坐標系中，ABC的頂點坐標分別為40,2)、2(1,3)、C(2,l).

(1)在坐標系中面出_ABC關于y軸的對稱圖形△A4G;

(2)在坐標系中原點。的異側，畫出以O為位似中心與4ABe位似比為2的位似圖形

線；

(3)求出△4S2c2的面積.

【答案】(1)見分析⑵見分析(3)6

【分析】

(1)根據縱不變，橫相反，確定對稱點的坐標，依次連接各點，得到所求三角形；

(2)根據位似比，確定坐標的絕對值，結合位置，確定坐標，依次連線，得到所求三

角形；

(3)先計算SABC，利用面積之比等于相似比的平方，計算即可.

解：(1)：.ABC的頂點坐標分別為4(0,2)、2(1,3)、C(2,l),

.?.各點關于.軸的對稱點坐標依次為4(0,2),用(-1,3),Q(-2,1),

畫圖如下：

則7X44儲即為所求.

(2)???"C的頂點坐標分別為40,2)、8(1,3)、C(2,l),

二位似比為2時的位似點坐標依次為4(0,-4),邑(-2,-6),C2(-4,-2),

則即為所求.畫圖如下：

1113

(3),?*S=2x2—x2x1—x2x1—xlx1=—,位彳以比為2,

2222

39

,,SA2g2c2=3*2=6.

【點撥】本題考查了關于y軸對稱，位似作圖，位似比的性質，熟練掌握位似的性質是

解題的關鍵.

類型八、坐標系中的位似圖形

^^8.如圖，AABC的頂點坐標分別為A(1,3)、8(4,2)、C(2,1).

(1)在圖中以點。為位似中心在原點的另一側畫出AA8C放大2倍后得到的

并寫出4的坐標；

(2)請在圖中畫出AABC繞點。逆時針旋轉90。后得到的AA282c2.

(1)把每個坐標做大2倍，并去相反數；

(2)橫縱坐標對調，并且把橫坐標取相反數.

解：(1)如圖，為所作，A(-2,-6)；

舉一反三：

【變式】如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(-1,2),

B(-3,4)C(-2,6).

(1)由A(-1,2),B(-3,4)C(-2,6),可畫出△ABC