第一章整式的乘除ZYT1.5平方差公式第1課時平方差公式的認識探究新知ZYT(a+b)(a?b)=a2?b2兩數和與這兩數差的積,等于這兩數的平方差.公式變形:1.（a–b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2平方差公式探究新知ZYT平方差公式注：這里的兩數可以是兩個單項式也可以是兩個多項式等．(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2

相同為a

相反為b，-b適當交換合理加括號右邊是相同項的平方減去相反項的平方.ZYT探究新知練一練：口答下列各題：

(1)(-a+b)(a+b)=_________.

(2)(a-b)(b+a)=__________.

(3)(-a-b)(-a+b)=________.

(4)(a-b)(-a-b)=_________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2ZYT探究新知(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)填一填：

aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12(a-b)(a+b)典例精析

利用平方差公式計算：（1）(5+6x)(5-6x)；（2）(x-2y)(x+2y)；（3）(-m+n)(-m-n)例1解：（1）(5+6x)(5-6x)=52-(6x)2

（2）(x-2y)(x+2y)=x2-(2y)2

（3）(-m+n)(-m-n)=(-m)2-n2=25-36x2；=x2-4y2；=m2-n2．ZYT探究新知

方法總結應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式．鞏固練習ZYT利用平方差公式計算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．解：(1)原式=(3x)2-52=9x2-25；(2)原式=(-2a)2-b2=4a2-b2；(3)原式=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2；典例精析ZYT

利用平方差公式計算：（1）

；（2）(ab+8)(ab-8)．例2解：（1）

（2）(ab+8)(ab-8)=(ab)2-64=a2b2-64．鞏固練習ZYT

(2)(a+3)(a2+9)(a-3).計算：(2)原式=(a+3)(a-3)(a2+9)=(a2-9)(a2+9)=(a2)2-92=a4-81.解：(1)典例精析ZYT例3

先化簡，再求值：(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)，其中x=1，y=2.解：原式＝4x2-y2-(4y2-x2)原式＝5×12－5×22＝－15.＝4x2-y2-4y2+x2＝5x2-5y2.當x=1，y=2時，ZYT鞏固練習先化簡,再求值:(3-x)(3+x)+2(x+1)(x-1),其中x=2.解：(3-x)(3+x)+2(x+1)(x-1)=9-x2+2(x2-1)=9-x2+2x2-2=7+x2當x=2時，原式=7+22

=7+4=11ZYT中考真題1.（杭州）（1+y）（1﹣y）＝（

）A．1+y2

B．﹣1﹣y2

C．1﹣y2

D．﹣1+y22.（臨沂）若a+b＝1，則a2﹣b2+2b﹣2＝

．C-1ZYT課堂檢測基礎鞏固題1.下列運算中，可用平方差公式計算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C2.計算（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．4x2+1A3.兩個正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是________．10ZYT課堂檢測基礎鞏固題（1）(a+3b)(a-

3b)；=4a2-9；=4x4－y2.解：原式=(2a+3)(2a-3)=a2-9b2；=(2a)2-32解：原式=(-2x2)2－y2解：原式=(a)2-(3b)2（2）(3+2a)(-3+2a)；（3）(-2x2-y)(-2x2+y).4.利用平方差公式計算：（4）(－5+6x)(－6x－5).解：原式=(－5+6x)(－5－6x)=(－5)2－(6x)2=25－36x2.ZYT課堂檢測基礎鞏固題5.下面各式的計算對不對？如果不對，應當怎樣改正？（1）（x+2)(x－2)=x2－2;（2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4.不對改正：x2－4不對改正方法1：原式=－[(3a+2)(3a－2)]=－(9a2－4)=－9a2+4;改正方法2：原式=(－2－3a)(－2+3a)=(－2)2－(3a)2=4－9a2.ZYT課堂檢測基礎鞏固題6．用簡便方法計算，將98×102變形正確的是(

)A．98×102＝1002＋22B．98×102＝(100－2)2C．98×102＝1002－22D．98×102＝(100＋2)27.已知m＋n＝12，m－n＝2，則m2－n2＝________.24CZYT課堂檢測能力提升題先化簡，再求值：(x+1)(x-1)＋x2(1-x)+x3，其中x＝2.解：原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1.將x＝2代入上式，原式=2×22-1=7.ZYT課堂檢測探索推廣題已知x≠1，計算：(1+x)(1-x)＝1-x2，(1-x)(1+x+x2)＝1-x3，(1-x)(1+x+x2+x3)＝1-x4(1)觀察以上各式并猜想：(1-x)(1+x+x2+…+xn)＝________；(n為正整數)(2)根據你的猜想計算：①(1-2)(1+2+22+23+24+25)＝________；②2+22+23+…+2n＝________(n為正整數)；③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)＝________；1-xn+1-632n+1-2

x100-1ZYT課堂檢測探索推廣題(3)通過以上規律請你進行下面的探索：①(a-b)(a+b)＝________；②(a-b)(a2+ab+b2)＝________；③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)＝________．a2-b2

a3-b3

a4-b4

探究新知平方差公式的幾何驗證知識點1ZYT（3）比較（1）、（2）的結果，你發現了什么？邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形（1）請用代數式表示圖1陰影部分的面積（2）小穎將陰影部分沿著虛線剪下拼成了一個長方形（圖2），這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示它的面積嗎？a2-b2(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2aba-ba-ba+ba-b探究新知ZYT想一想數據的特點可運用平方差公式簡化計算(1)計算下列各組算式，并觀察它們的共同特點:(2)從以上的過程中，你發現了什么規律？(3)請用字母表示這一規律，你能說明它的正確性嗎?7×9=8×8=11×13=12×12=79×81=80×80=636414314463996400(a+b)(a?b)=a2?b2

平方差公式(a-1)(a+1)=a2–1典例精析ZYT解:

(1)

103×97=(100+3)(100-3)=1002-32=9991(2)118×122=(120-2)(120+2)=1202-22=14396(1)103×97;(2)118×122

用平方差公式進行計算：例1通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運算.鞏固練習ZYT解:

(1)102×98=1002-22=10000–4=（100＋2）(100－2)=9996；計算:(1)102×98;

(2)51×49;

(2)原式=（50＋1）(50－1)=502-12=2500–1=2499；ZYT典例精析

計算：(1)a2(a+b)(a-b)+a2

b2(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)例2解：

(1)a2(a+b)(a-b)+a2

b2

=a2(a2-b2)+a2b2

=a4-a2b2+a2b2=a4(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)=4x2-52-(4x2-6x)=4x2-25-4x2+6x=6x-25不符合平方差公式運算條件的乘法，按乘法法則進行運算.ZYT鞏固練習

計算:(1)

(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)(2)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5).解:(1)

原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)（2）原式=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.典例精析例3

對于任意的正整數n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整數倍嗎？即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍數．解：原式＝9n2-1-(9-n2)＝10n2-10.因為(10n2-10)÷10=n2-1.n為正整數，所以n2-1為整數方法總結：在探究整除性或倍數問題時，一般先將代數式化為最簡，然后根據結果的特征，判斷其是否具有整除性或倍數關系．ZYT鞏固練習如果兩個連續奇數分別是2n-1，2n+1（其中n為正整數），證明兩個連續奇數的平方差是8的倍數.證明：（2n+1）2-(2n-1)2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n因為8n是8的倍數，所以結論成立.注意：逆用了平方差公式奧！典例精析ZYT例3

王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續原價租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？解：李大媽吃虧了．理由如下：原正方形的面積為a2，改變邊長后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大媽吃虧了．ZYT中考真題（郴州）如圖1，將邊長為x的大正方形剪去一個邊長為1的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成圖2所示長方形．這兩個圖能解釋下列哪個等式（

）A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）BZYT課堂檢測基礎鞏固題1.如圖，在邊長為a的正方形中裁掉一個邊長為b的小正方形(如圖1)，將剩余部分沿虛線剪開后拼接(如圖2)，通過計算，用拼接前后兩個圖形中陰影部分的面積可以驗證等式()A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2AZYT課堂檢測基礎鞏固題2.計算a2-(a+1)(a-1)的結果是(

)A.1B.-1C.2a2+1D.2a2-1A3.計算20202-2019×2021=____.14.已知a-b=1，a+b=2021，則a2-b2的值為_____.20215.已知a=7202,b=721×719；則（）A.a=bB.a>bC.a<bD.a≤b6.97×103=()×()=().7.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______.100－3100+31002－32x=4

B

ZYT課堂檢測基礎鞏固題8.計算：

20152－

2014×2016.解：

20152

－

2014×2016=20152－

(2015－1)(2015+1)=20152－（20152－12)=20152－

20152+12=1ZYT課堂檢測基礎鞏固題9.利用平方差公式計算：(1)(y+2)(y－2)–(y－1)(y+5);(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).解：(1)原式=y2－22－(y2+4y－5)=

y2－4－y2－4y+5

=－4y

+1.(2)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)=3x2－5x－10