核心素養測評二十五

正弦定理和余弦定理

鞏固提升練（3。分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1.在4ABC中，a=2、3,b=2、,，2B=45°,則A為（）

A.60°或120°B.60°

C.30°或150°D.30°

【解析】選A.在4ABC中，

由正弦定理得.二"，

^fnAcfnR

所以SinA二竺㈣二連迎竺二二亙.

b2<Z?

又a>b,所以A>B,

所以A=60°或A=120°.

2.AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a\5c=2,cosA=,則b等于

A.42B.\，3C.2D.3

【解析】選D.在4ABC中，由余弦定理得a2=b2+C2-2bccosA,即5%+4-嗎

-1-

解得6=3或6=▲（舍去）.

3

3.在4ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,若a=2bcosC,則此三角形一定是

（）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【解析】選C.在4ABC中，因為cos所以a=2bcosC=2b?宀，屮,

Tab2ab

所以a2=az+bz-C2,所以b=c,

所以此三角形一定是等腰三角形.

4.在aABC中，ZA=60°,a=v6>b、2則aABC解的情況是（）

A.無解B.有唯一解

C.有兩解D.不能確定

【解析】選B.因為在4ABC中，

NA=60,a-yj6，b=J2，

所以根據正弦定理

夕日?n^bsinA2>—_1

付sInB---------------2.--,

n7

因為NA=60°，得NB+NC=120°,

所以由sinB」,得NB=30°，從而得到NC=90°,

-2-

因此，滿足條件的4ABC有且只有一個.

【變式備選】

已知在4ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.a=x,b=2,B=30°,若三角

形有兩個解，則x的取值范圍是（）

A.（2,+8）B.（2,2、⑨

C.（2,4）D.（2,2、③

【解析】選C.因為三角形有兩個解，

所以xsinB<b<x，得2<x<4,即x的取值范圍是（2,4）.

5.（2020?鄭州模擬）在4ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c.若2cos慳-

2

cos2C=1,4sinB=3sinA,a-b=l,則c的值為（）

A.v13B.C.V'37D.6

【解析】選A.由2cos超二電-cos2c=1得

2

2cos為竺T-cos2c=0,即cos2C+cosC-0,即2coszC+cosC-1=0,解得cosC--

或cosC=-1（舍），由4sinB=3sinA得4b=3a,

又a-b=1，聯立得a=4,b=3,

所以C2=a2+b2-2abcosC-16+9-12=13,c=J13,

二、填空題（每小題5分，共15分）

6.（2017?全國卷HD^ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,

b=vE，c=3,則A=.

-3-

【解析】由題意："-°，即sinB3叫=11工^，結合b〈c可得B=45°

shiRdrjCc39

則A=180°-B-C=75°.

答案:75°

7.在AABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若丄bcosA=sinB,且

a=2\?,b+c=6,則4ABC的面積為.口

【解析】由題意可得:丄abcosA=asinB,

所以丄asinBcosA=sinAsinB,

7

所以tanA」a=\，3，

所以A三.

利用余弦定理有

ccc~ci2-(b+c-a2-2bc-i.

COSn-------------------------——,

?hr9br7

結合a=2\g,b+c=6可得：bc=8,

貝IS」bcsinA』X8X蟲=20耳.

△ABC279

答案：2q5

【變式備選】

-4-

在△ABC中，三個內角NA,NB,NC所對的邊分別是a,b,c,若(b+2sinC)*cosA

=-2sinAcosC,且a=2\，5則AABC面積的最大值是一

【解析】因為(b+2sinC)cosA

=-2sinAcosC,

所以bcosA=-2(sinCeosA+sinAcos0)=~2sin(A+C)=-2sinB,

則2-二二結合正弦定理得一2二0二交三,即tanA;-亮,ZA=-n,

smBcnqArn^AsinA^inA3

由余弦定理得cosAT'LF-二丄,化簡得b2+c2=12-bc?2bc,故bcW4,

2bc7

Sdbesin.

△ABC?y■?

答案：u3

8.已知4ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinA+bsinB+

?2bsinA=csinC,a=2,b=2、2則sinB=.

【解析】因為asinA+bsinB+J2bsinA=csinC,

所以az+bz+^.,^ab-cs.

由余弦定理得cos

2ab0

又0<C<TT,所以C①.

C2=a2+b2-2abcosC=2z+(2。2-2X2X272X(—丄)=20,所以c=2\/^.

-5-

由正弦定理得‘二"，即二=巫，

^fnCshiR衛dvR

2

解得sinB=".

S

答案史

三、解答題(每小題10分,共20分)

9.(2020?柳州模擬)在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

且(az+b2-C2)(2sinA-sinB)=(a2+c2-b2)sinB.

⑴求角C;

(2)若c=2,:2,AABC的中線CD=2,求AABC的面積.

【解析】(1)因為(a2+b2-C2)(2sinA-sinB)=(32+02-62)sinB.

所以2abeosC(2sinA-sinB)=2accosBsinB.

所以2sinAcosC=sin(B+C)=sinA,

又在aABC中，sinA于0,所以cosC=-,

2

又(KC<n,所以CW.

3

,,ICA+CBl

⑵由I而I二一2一得,

az+bz+ab=16,①

由余弦定理得C2=az+b2-2abeosC=az+bz-ab二8,②

由①②兩式得ab=4,

所以AABC的面積S二absinC二區ab=、？.

74.

-6-

10.（2020?清華附中模擬）在4ABC中，3sinA=2sinB,tanC=v%.

⑴求cos2C.

（2）若AC-BC=1,求4ABC的周長.

【解析】（1）因為tanC='35,所以cosC=-,

V￡

2

所以cos2c=2XU「7=-

kfi/18

⑵設AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

由3sinA=2sinB及正弦定理得3a=2b,

又因為AC-BC=b-a=1,所以a=2,b=3.

由余弦定理得C2=a2+b2-2abcosC-13_2=11,

所以c'五，AABC的周長為5+v'TT.

綜合運用練（15分鐘35分）

1.（5分）在4ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若——上業——=出，

+cinB+cfnC.4

A=：b=l,則4ABC的面積為（）

3

A.@B.qC.-D.l

74.2a

【解析】選B.由正弦定理得，———fc———二出，又卜￡b=l,則

TinA<7fnR^inA+cfnR+vfnC13

a=l,BA所以AABC是邊長為1的正三角形，所以AABC的面積為丄XLX立=宜.

32?4.

-7-

2.（5分）（2020?揭陽模擬）已知4ABC中，AB=AC=3,sinZABC=2sinA,延長AB

到D使得BD=AB,連接CD,則CD的長為（）

A*B亠

22

c.任D.3跖

【解析】選C.因為sinZABC=2sinA,所以AC=2BC,即BC=-,

?

因為BD=AB,

所以值+5LYC定標+%2VD2p.+（藥/y+（丁了1,CD2=54（CD=^.

"B'BC2BD-BC2x3x1'

3.（5分）（2020?長沙模擬）在銳角4ABC中,D為BC的中點,滿足NBAD+NC=

90°,則NB,ZC的大小關系是.

【解析】由NBAD+NC=90°,得NCAD+NB=90°,由正弦定理得竺—二

RD

螞史二'EC匹,又D為BC的中點，所以BD=DC,所以獨史?二史￡,化簡得

cosCCDsinziCADcosBcosCcosB

sinBcosB二sinCeosC,即sin2B=sin2C,又△ABC為銳角三角形，所以NB二

ZC.

答案：NB=NC

4.（10分）已知菱形ABCD的邊長為2,NDAB=60°.E是邊BC上一點，線段DE交

AC于點F.

-8-

⑴若4CDE的面積為里求DE的長.

⑵若%/7CF=4DF,求sinZDFC.

【解析】(1)由已知，NBCD二NDAB=60°.

因為aCDE的面積S工CD?CE?sinZBCD=1^,

所以丄X2CE?必苴2,解得CE=1.

在4CDE中，由余弦定理得

2

DE=Jm+CE-2CD-CEcos/LBCD

=l22+l2-2x2x1x-\>r3-

⑵連接BD,由已知NACD=30°,ZBDC=60°,

設NCDE=。，則0°<9<60°.

在ACDF中，由正弦定理得耳=_—,

sirnBsin^ACD

因為、，戸CF=4DF,所以sin9=—^4,

萬

所以cos。=；所以sinZDFC=sin(30°+9)=1x12+12

#7?\/12\l714.

【一題多解】由已知NACD=30°,NBDC=60°，設NCDE=0,則0°<0<60°,

設CF=4x,因為J7CF=4DF,則DF=^x,

在aCDF中，由余弦定理，得DF2=CD2+CF2-2CD?CFcosZACD,

即7x2=4+16x2-8、；3x,

-9-

解得x3三,或X二4三又因為CFW丄AC=所以X所以X=2所以DF=^1.

9124.99

在aCDF中由正弦定理得_￡^—=—-,所以sinNDFC=受空

^17)/0PCKin/ACD2-2114.

g

5.(10分)(2020?大連模擬)已知4ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿

足cos2B-cos20sin2A=sinAsinB.

⑴求角C.

(2)若c=2、&,AABC的中線CD=2,求4ABC的面積S的值.

【解析】(1)由已知sirvA+sirvB-sin2c

--sinAsinB,由正弦定理得a2+b2-C2=-ab,

由余弦定理得cosCH**=亠.

7ah2

因為O〈C<TT,所以Ct

⑵延長CD到M,使CD=DM,連接AM,易證^BCD纟aAMD,所以BC=AM二a,NCBD二

NMAD,所以/CAM生.

3

由余弦定理得F+〃+ab=24,

a2+b2-ab—16,

所以ab=4,S=absinZACB=1X4X色、，？

【拓廣探索練】

1.我國南宋著名數學家秦九韶發現了由三角形三邊長求三角形面積的“三斜求

積”公式:設4ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則AABC的面積