第九章統(tǒng)計9.2用樣本估計總體9.2.3總體集中趨勢的估計9.2.4總體離散程度的估計學(xué)習(xí)目標素養(yǎng)要求1．結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算2．結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算3．結(jié)合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律數(shù)據(jù)分析|自學(xué)導(dǎo)引|眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)．(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按大小排序后，處在________位置(或中間兩個數(shù)的__________)的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．最多中間平均數(shù)2．三種數(shù)字特征與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)眾數(shù)是_____________的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，表示樣本數(shù)據(jù)的中心值中位數(shù)(1)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積________，由此可以估計中位數(shù)的值，但是有偏差；(2)表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線平均數(shù)(1)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘_________________________之和；(2)平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心，是頻率分布直方圖的平衡點最高長方形相等小矩形底邊中點的橫坐標【預(yù)習(xí)自測】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)一個樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的． (

)(2)樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長方形的中點對應(yīng)的數(shù)據(jù)． (

)(3)若改變一組數(shù)據(jù)中一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會發(fā)生改變． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【解析】(1)一個樣本的平均數(shù)和中位數(shù)是唯一的．若數(shù)據(jù)中有兩個或兩個以上出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)次數(shù)一樣多，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)，若一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒有眾數(shù)，可見一個樣本的眾數(shù)可能唯一，可能多個，也可能沒有．(2)樣本的平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和．(3)若改變一組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定會改變，而中位數(shù)與眾數(shù)可能不變．總體離散程度的估計絕對值方差標準差特別提醒(1)標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小．標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，標準差的大小不會超過極差．(2)標準差、方差的取值范圍為[0，＋∞)．標準差、方差為0時，樣本各數(shù)據(jù)相等，說明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性．(3)因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分解程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差．【預(yù)習(xí)自測】1．判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)數(shù)據(jù)5，4，4，3，5，2的眾數(shù)為4． (

)(2)數(shù)據(jù)2，3，4，5的標準差是數(shù)據(jù)4，6，8，10的標準差的一半．

(

)(3)方差與標準差具有相同的單位． (

)(4)若一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)√【解析】(1)該數(shù)據(jù)中的眾數(shù)應(yīng)為4和5．(3)二者單位不一致．(4)平均數(shù)也應(yīng)減去該常數(shù)，方差不變．2．已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是__________．【答案】0.1|課堂互動|題型1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算及應(yīng)用

(1)(多選)某籃球隊甲、乙兩名運動員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個，命中個數(shù)如下所示：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11．則下面結(jié)論中正確的有 (

)A．甲的極差是29 B．乙的眾數(shù)是21C．甲的平均數(shù)為21.4 D．甲的中位數(shù)是24【答案】(1)ABC(2)某工廠人員及月工資構(gòu)成如下：

人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學(xué)徒合計月工資/元22000250022002000100029700人數(shù)16510123合計22000150001100020000100069000①指出這個表格中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；②這個表格中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？解：①由表格可知，眾數(shù)為2000元．把23個數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，排在中間的數(shù)應(yīng)是第12個數(shù)，其值為2200，故中位數(shù)為2200元．平均數(shù)為69000÷23＝3000(元)．②雖然平均數(shù)為3000元/月，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實地反映該工廠的工資水平．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)之間的關(guān)系(1)如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值．在實際應(yīng)用中，如果同時知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中的極端數(shù)據(jù)信息，幫助我們作出決策．(2)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者比較，平均數(shù)更能體現(xiàn)每個數(shù)據(jù)的特征，它是各個數(shù)據(jù)的重心．1．已知甲組數(shù)據(jù)：156，170＋a，165，174，162，乙組數(shù)據(jù)：159，178，160＋b，161，167，其中a，b∈{x∈N|x≤9}．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，平均數(shù)也相等，則a＋b＝

(

)A．8

B．10C．11

D．12【答案】A【解析】根據(jù)題意，甲組數(shù)據(jù)：156，170＋a，165，174，162，其中位數(shù)必為165，則乙組數(shù)據(jù)：159，178，160＋b，161，167的中位數(shù)也為165，則有160＋b＝165，解可得b＝5；又由兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則有156＋170＋a＋165＋174＋162＝159＋178＋165＋161＋167，解得a＝3，則a＋b＝3＋5＝8．故選A．題型2利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)．(2)由題干圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03×(x－70)，所以x≈73.3，即這80名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為73.3分．【例題遷移1】

[改變問法]若本例的條件不變，求數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)．【例題遷移2】

[改變問法]若本例條件不變，求80分以下的學(xué)生人數(shù)．解：分數(shù)在[40，80)內(nèi)的頻率為(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，所以80分以下的學(xué)生人數(shù)為80×0.7＝56．用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù)．(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左、右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數(shù)．(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和．2．某校為了解全校高中學(xué)生“五一”小長假參加實踐活動的情況，抽查了100名學(xué)生，統(tǒng)計他們假期參加實踐活動的時間(單位：時)，繪成的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這100名學(xué)生中參加實踐活動時間在6～10小時內(nèi)的人數(shù)；(2)估計這100名學(xué)生參加實踐活動時間的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．解：(1)100×[1－(0.04＋0.12＋0.05)×2]＝58(名)，即這100名學(xué)生中參加實踐活動時間在6～10小時內(nèi)的人數(shù)為58．(2)由頻率分布直方圖可以看出最高矩形底邊中點的橫坐標為7，故這100名學(xué)生參加實踐活動時間的眾數(shù)的估計值為7小時．設(shè)中位數(shù)為t，由(0.04＋0.12)×2＝0.32，(0.04＋0.12＋0.15)×2＝0.62，0.32＜0.5＜0.62，得中位數(shù)t滿足6＜t＜8．由0.32＋(t－6)×0.15＝0.5，得t＝7.2，即這100名學(xué)生參加實踐活動時間的中位數(shù)的估計值為7.2小時．由(0.04＋0.12＋0.15＋a＋0.05)×2＝1，解得a＝0.14，這100名學(xué)生參加實踐活動時間的平均數(shù)的估計值為0.04×2×3＋0.12×2×5＋0.15×2×7＋0.14×2×9＋0.05×2×11＝7.16(時)．題型3標準差、方差的計算及應(yīng)用甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，從中抽取6件測量數(shù)據(jù)為：甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計算說明哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．用樣本的標準差、方差估計總體的方法(1)用樣本估計總體時，樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似值．實際應(yīng)用中，需先分析平均水平，當所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等時，再計算標準差(方差)分析穩(wěn)定情況．(2)標準差、方差的取值范圍是[0，＋∞)．(3)因為標準差與原始數(shù)據(jù)的單位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差．3．樣本數(shù)為9的四組數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)都是5，條形圖如圖所示，則標準差最大的一組是

(

)A．第一組 B．第二組C．第三組 D．第四組【答案】D(方法二)從四個圖形可以直觀看出第一組數(shù)據(jù)沒有波動性，第二、三組數(shù)據(jù)的波動性都比較小，而第四組數(shù)據(jù)的波動性相對較大，利用標準差的意義可以直觀得到答案．題型4分層隨機抽樣的方差甲、乙兩支田徑隊的體檢結(jié)果：甲隊體重的平均數(shù)為60kg，方差為200，乙隊體重的平均數(shù)為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為1∶4，那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是多少？4．在了解全校學(xué)生每年平均閱讀了多少本文學(xué)經(jīng)典名著時，甲同學(xué)抽取了一個容量為10的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5，方差為9；乙同學(xué)抽取了一個容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為16．已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個容量為18的樣本，求合在一起后的樣本平均數(shù)與方差(精確到0.1)．易錯警示忽略方差的統(tǒng)計意義致誤甲、乙兩種冬小麥實驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下表所示：單位：t/km2若某村要從中引進一種冬小麥大量種植，給出你的建議．品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8易錯防范：平均數(shù)反映的是樣本的平均水平，方差和標準差則反映了樣本的波動、離散程度．對于形如“誰最適合”“誰更穩(wěn)定”的題目，除了比較數(shù)據(jù)的平均值之外，還要比較方差或標準差的大小，做出更合理的判斷．|素養(yǎng)達成|1．一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個，平均數(shù)與中位數(shù)是唯一的，求中位數(shù)時，必須先排序．2．利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征．(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點．(2)中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積應(yīng)相等．(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和．3．標準差的平方s2稱為方差，有時用方差代替標準差測量樣本數(shù)據(jù)的離散程度．方差與標準差的測量效果是一致的，在實際應(yīng)用中一般多采用標準差．(體現(xiàn)數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng))1．(題型3)一組數(shù)據(jù)的方差一定是 (

)A．正數(shù) B．負數(shù)C．任意實數(shù) D．非負數(shù)【答案】D【解析】方差可為0和正數(shù)．2．(題型1)對于數(shù)據(jù)3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，有下列結(jié)論：①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不相等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的數(shù)值相等．其中正確的結(jié)論的個數(shù)為

(

)A．1

B．2C．3

D．4【答案】A3．(題型2)(2023年上海二模)在下列統(tǒng)計量中，用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量是

(

)A．平均數(shù) B．眾數(shù)C．百分位數(shù) D．標準差【答案】D【解析】平