華師大版數學九年級上冊全冊教學課件2021年秋修訂菱形的性質1北師版九年級上冊復習導入回憶一下，什么是平行四邊形，它有哪些性質？定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。復習導入性質：邊：平行四邊形的對邊平行且相等.角：平行四邊形的對角相等，鄰角互補.對角線：平行四邊形的對角線互相平分.對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形.回憶一下，什么是平行四邊形，它有哪些性質？觀察平行四邊形圖形的變化，你有什么發現？菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

——探究新知——

下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形，觀察這些平行四邊形，你能發現它們有什么樣的共同特征？你能舉出一些生活中菱形的例子嗎？與同伴交流。動手操作，兩人一組，將課前準備好的平行四邊形剪成菱形.探索并掌握菱形的定義測量折疊重合平行四邊形一組鄰邊相等菱形（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質。你能列舉一些這樣的性質嗎？想一想菱形的對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分。（2）菱形還具有哪些特殊的性質？與同伴交流。想一想1.菱形的四條邊都相等.2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.3.菱形是軸對稱圖形做一做用菱形紙片折一折，回答下列問題：（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關系？菱形是軸對稱圖形；有兩條對稱軸；兩條對稱軸互相垂直。做一做用菱形紙片折一折，回答下列問題：（2）菱形中有哪些相等的線段？菱形的四條邊相等。類比平行四邊形的性質，從邊、角、對角線、對稱性四方面有條理的將結論進行歸納.邊角對角線對稱性四條邊都相等對邊平行對角相等對角線互相垂直對角線互相平分每一條對角線平分一組對角既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD,對角線AC與BD相交于點O.求證:（1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.證明:（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD,AD=BC（菱形的對邊相等）.又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD.已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD,對角線AC與BD相交于點O.求證:（1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.又∵四邊形ABCD是菱形,（2）∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.∴OB=OD（菱形的對角線互相平分）.在等腰三角形ABD中，∵OB=OD,∴AO⊥BD，即AC⊥BD.定理菱形的四條邊都相等.菱形的對角線互相垂直.例1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC

與BD相交于點O,∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長AB

和對角線AC的長。解：∵四邊形ABCD

是菱形，∴AB=AD（菱形的四條邊相等），AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），OB=OD=BD==3（菱形的對角線互相平分）.在等腰三角形

ABD

中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴OA=.∴AC=2OA=（菱形的對角線互相平分）1.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD

相交于點O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的長.【選自教材P4頁隨堂練習】

——達標檢測——

解：∵四邊形ABCD

是菱形，∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴BO=∵四邊形ABCD是菱形，∴BD=2BO=2×3=6（菱形的對角線互相平分）.∴BD

的長為6cm.1.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD

相交于點O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的長.【選自教材P4頁隨堂練習】

——達標檢測——

2.已知：如圖，在菱形ABCD

中，∠BAD=2∠B.求證：△ABC是等邊三角形.【選自教材P4頁習題1.1第1題】證明：∵四邊形ABCD是菱形∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°，又∵∠BAD=2∠B,∴∠B=60°，∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.3.如圖，在菱形ABCD

中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周長.【選自教材P4頁習題1.1第2題】證明：∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直）AO=OC，BO=DO（菱形的對角線互相平分）.在Rt△AOD中，AO=4，DO=3，∴AD=5.∴菱形ABCD

的周長為20.4.已知：如圖，在菱形ABCD

中，對角線AC

與BD

相交于點O.求證：AC平分∠BAD和∠BCD，BD

平分∠ABC和∠ADC.【選自教材P4頁習題1.1第3題】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD

，BO=DO，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，同理：

AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.5.如圖，在菱形ABCD

中，對角線AC

與BD

相交于點O.圖中有多少個等腰三角形和直角三角形？【選自教材P5頁習題1.1第4題】有4個等腰三角形，分別是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD.有4個直角三角形，分別是△AOB、△AOD、△BOC、△COD.

——課堂小結——

有一組鄰邊相等具有平行四邊形的所有性質特殊性質對角線邊軸對稱圖形謝謝大家菱形的判定1北師版九年級上冊菱形的定義和性質？說一說復習導入定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.邊：四條邊相等，對邊平行.角：對角相等.對角線：對角線互相垂直平分.復習導入菱形平行四邊形滿足？條件探究新知根據菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.除此之外，你認為還有什么條件可以判斷一個平行四邊形是菱形？先想一想，再與同伴交流.菱形平行四邊形滿足？條件對角線邊角探究菱形的判定條件平行四邊形的對角線滿足什么條件時，它就是菱形了？猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明嗎？已知:如圖,在□ABCD中,對角線AC與BD交于點O,AC⊥BD.求證:

□ABCD是菱形證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC又∵AC⊥BD∴BD是線段AC的垂直平分線∴BA=BC∴四邊形ABCD是菱形(菱形定義)定理對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形。已知線段AC，你能用尺規作圖的方法作一個菱形ABCD，使AC為菱形的一條對角線嗎？議一議如圖，分別以A，C

為圓心，以大于AC

為半徑作弧，兩弧交于B、D，依次連接A，B，C，D，四邊形ABCD

看上去是菱形.菱形平行四邊形滿足？條件對角線邊角探究菱形的判定條件平行四邊形的邊滿足什么條件時，它就是菱形了？猜想：四邊相等的四邊形是菱形.已知：如圖，在四邊形ABCD

中AB=BC=CD=DA,求證：四邊形ABCD

是菱形。證明：∵AB=CD，BC=DA,∴四邊形ABCD

是平行四邊形，又∵AB=BC，∴四邊形ABCD

是菱形（菱形的定義）定理四邊相等的四邊形是菱形.∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形。做一做你能用折紙等辦法得到一個菱形嗎？動手試一試！例2已知：如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD

相交于點O，AB=，OA=2，OB=1.求證：□ABCD是菱形.證明：在△AOB

中，∵AB=，OA=2，OB=1，∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴□ABCD是菱形（對角線垂直的平行四邊形是菱形）.1.畫一個菱形，使它的兩條對角線的長分別為4cm和6cm.[教材P7隨堂練習]達標檢測（1）作AC=6cm，取AC的中點O,（2）作BD⊥AC，OB=OD=2cm，（3）依次連接點A，B，C，D.2.已知：如圖，在□ABCD中，對角線AC

的垂直平分線分別與AD，AC，BC相交于點E，O，F.求證：四邊形AFCE

是菱形.[教材P7習題1.2第1題]證明：在□ABCD中，AD∥BC，即AE∥FC.又∵EF為AC的垂直平分線，∴AC⊥EF，AO=OC，即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO.∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.∴四邊形AFCE

為平行四邊形.又∵AC⊥EF，∴四邊形AFCE

是菱形.3.已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與

BD相交于點O

，點E，F，G，H

分別是OA，OB，OC，OD

的中點.求證：四邊形EFGH

是菱形.[教材P7習題1.2第2題]證明：∵四邊形ABCD

是菱形，∴AD

CB，AC⊥BD.又點E，F，G，H

分別為OA，OB，OC，OD

的中點，∴HE∥AD且

HE=AD，FG∥BC且FG=BC，∴HE

GF，即四邊形EFGH為平行四邊形.又∵AC⊥BD，∴四邊形EFGH

是菱形.∥=∥=4.如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點C′處，折痕DE交BC于點E，連接C′E.你能確定四邊形CDC′E的形狀嗎？證明你的結論.[教材P7習題1.2第3題]四邊形CDC′E

是菱形.證明：連接CC′，交DE

于點O.由題意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E.又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′，∴△COE≌△C′OD，即EC=C′D.又∵C′D=CD，∴C′D=CD=EC=C′E，∴四邊形CDC′E

是菱形.課堂小結菱形的判定定理菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.四邊相等的四邊形是菱形.謝謝大家菱形的性質與判定的綜合運用北師版九年級上冊情景導入如圖所示：在□ABCD中添加一個條件使其成為菱形：添加方式1：_________________

.添加方式2：_________________

.一組鄰邊相等AC⊥BD☆回憶：菱形有哪些判定？對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.四邊相等的四邊形是菱形.新課導入例3如圖，四邊形ABCD

是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD

長為10cm.求：(1)對角線AC

的長度；(2)菱形ABCD

的面積.解：(1)∵四邊形ABCD

是菱形，AC

與BD

相交于點E，∴∠AED=90°（菱形對角線互相垂直），DE=BD=×10=5（cm）（菱形對角線互相平分）.∴AE===12（cm）.∴AC=2AE=2×12=24（cm）（菱形的對角線互相平分）.(2)菱形ABCD

的面積=△ABD

的面積+△CBD

的面積=2×△ABD

的面積=2××BD×AE=2××10×12=120（cm2）.如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分ABCD是菱形嗎？為什么？做一做證明：∵等寬紙條對邊平行，∴AD∥BC，

AB∥CD，∴□ABCD

是平行四邊形，從A點作AM⊥DC交于點M,作AN⊥BC交于點N,∵是兩張等寬的紙，∴AM=AN.∵□ABCD是平行四邊形，∴∠ABN=∠ADM，∵AM⊥DC

，AN⊥BC，∴∠ANB=∠AMD=90°，∴△ABN≌△ADM，∴AB=AD,∴四邊形ABCD

是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）如圖你能用一張銳角三角形紙片ABC

折出一個菱形，使∠A成為菱形一個內角嗎？先沿著紅色線對折，使AB與AC重合；再沿著藍色線對折；最后沿著綠色線對折。【選自教材P9隨堂練習第1題】達標檢測1.菱形ABCD

的周長為40cm，它的一條對角線BD

長10cm.（1）求這個菱形的每一個內角的度數；（2）求這個菱形另一條對角線的長.解：（1）∵菱形ABCD

的周長為40cm，∴AB=BC=CD=DA=10（cm）,又∵BD=10（cm），∴△ABD是等邊三角形，∴∠BAD=60°，∴∠BCD=60°，∠ABC=∠CDA=120°.【選自教材P9隨堂練習第1題】1.菱形ABCD

的周長為40cm，它的一條對角線BD

長10cm.（1）求這個菱形的每一個內角的度數；（2）求這個菱形另一條對角線的長.（2）∵△AEB是直角三角形，AB=10（cm），BE=5（cm），AE===（cm）.AC=2AE=（cm）【選自教材P9隨堂練習第2題】2.已知，如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，BC

的垂直平分線分別交BC和AB

于點D、E，點F

在DE延長線上，且AF=CE,求證：四邊形ACEF

是菱形.證明：由題意知，∠BCA=90°，∠BAC=60°.又∵

DE為

BC垂直平分線，∴DF∥AC，∠ECD=∠B=30°，即∠ECA=60°，∴CA=CE=AE.又∵AF=CE，∴AF=AE.∵∠FEA=∠EAC=60°=∠F，∴EF=AF=AE，∴AF=EF=CE=CA，∴四邊形ACEF

是菱形.【選自教材P9習題1.3第1題】3.已知：如圖，在菱形

ABCD中，E、F分別是AB和BC

上的點，且BE=BF，求證：(1)△ADE≌CDF；(2)∠DEF=∠DFE.證明:(1)在菱形ABCD中,∠C=∠A,AD=DC=BC=AB.∵BE=BF,∴AE=CF,

∴△ADE≌△CDF.(2)由(1)可知,DE=DF.∴∠DEF=∠DFE.【選自教材P9習題1.3第2題】4.證明：菱形的面積等于其對角線長的乘積的一半.證明:如圖，∵四邊形ABCD為菱形.∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO.∵S菱形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOA=OA·OB+OB·OC+OC·OD+OD·OA=OB·AC+OD·AC=AC·BD，即菱形的面積等于其對角線乘積的一半.【選自教材P9習題1.3第3題】5.如圖，在菱形ABCD，對角線AC

與BD

相交于點O，且AC=16，BD=12，求菱形ABCD的高DH

.解:∵AB·DH=AC·BD，而AC=16，BD=12，AB=10，∵

DH=×16×12÷10=9.6.【選自教材P9習題1.3第4題】6.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，點E，F，G，H

分別是AB，CD，AC，BD

的中點.求證：四邊形EGFH

是菱形.證明:∵點E,F,G,H

分別是AB,CD,AC,BD

的中點,∴FG＝EH

＝AD,GE＝HF＝BC．∵AD＝BC,∴FG

＝GE＝EH

＝HF．∴四邊形

EGFH是菱形．課堂小結菱形的面積等于其對角線乘積的一半.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.四邊相等的四邊形是菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.菱形的定義定理定理面積謝謝大家矩形的性質1北師版九年級上冊創設情境，導入新課平行四邊形有哪些性質？對邊平行且相等對角相等對角線互相平分中心對稱圖形邊角對角線對稱性利用一個活動的平行四邊形教具演示,使平行四邊形的一個內角變化，請同學們注意觀察：不變：變：對邊仍保持相等，對邊仍分別平行，所以仍然是平行四邊形.角的大小.探究新知，經歷過程矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形是生活中常見的圖形，你能舉出一些生活中矩形的例子嗎？與同伴交流.矩形與四邊形、平行四邊形的關系四邊形平行四邊形兩組對邊分別平行一個角是直角矩形你能用集合表示它們之間的關系嗎？四邊形平行四邊形矩形既然矩形是平行四邊形,那么它具有平行四邊形的哪些性質？想一想性質邊角對角線對稱性矩形對邊平行且相等對角相等對角線互相平分中心對稱圖形（1）請同學們以小組為單位，測量身邊的矩形（如書本，課桌，鉛筆盒等）的四條邊長度、四個角度數和對角線的長度及夾角度數，并記錄測量結果；（2）根據測量的結果，猜想結論。當矩形的大小不斷變化時，發現的結論是否仍然成立？（3）通過測量、觀察和討論，你能得到矩形的特殊性質嗎？探索活動點擊播放幾何畫板.GSP定理矩形的四個角都是直角.矩形的對角線相等.定理你能證明這兩個定理嗎？已知：如圖，四邊形ABCD

是矩形，∠ABC=90°，對角線AC與DB相交于點O。求證（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=BD.證明：（1）∵四邊形ABCD

是矩形，∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB（矩形的對角相等），

AB∥DC（矩形的對邊平行）.∴∠ABC+∠BCD=180°.又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°.∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.已知：如圖，四邊形ABCD

是矩形，∠ABC=90°，對角線AC與DB相交于點O。求證（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=BD.（2）∵四邊形ABCD

是矩形，∴AB=DC（矩形的對邊相等），在△ABC和△DCB中，∵AB=DC,∠ABC=∠DCB，BC=CB.∴△ABC≌∠DCB.∴AC=DB.請同學們拿出準備好的矩形紙片，折一折，觀察并思考。

（1）矩形是不是中心對稱圖形？

如果是，那么對稱中心是什么？（2）矩形是不是軸對稱圖形？如果是，那么對稱軸有幾條？矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點點擊播放請同學們拿出準備好的矩形紙片，折一折，觀察并思考。

（1）矩形是不是中心對稱圖形？

如果是，那么對稱中心是什么？（2）矩形是不是軸對稱圖形？如果是，那么對稱軸有幾條？矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸。點擊播放

矩形的性質矩形的對邊平行且相等.角對角線邊矩形的對角線相等.矩形的對角線互相平分.矩形的四個角都是直角.矩形的對角相等.對稱性矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.（1）矩形的兩條對角線可以把矩形分成幾個直角三角形？（2）在直角三角形ABC中，你能找到它的一條特殊線段嗎？（3）你能發現它有什么特殊的性質嗎？（4）你能借助于矩形加以證明嗎？議一議定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.證明：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AB=DC（矩形的對邊相等），∴BE=DE=AE=CE,在Rt△ABC中，AC為斜邊，BE為斜邊上中線，∴BE=AC.例1如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點O，∠AOD=120°，AB=2.5，求這個矩形對角線的長.解：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AC=BD（矩形的對角線相等）OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OD。∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°。∴BD=2AB=2×2.5=5.1.如圖，在矩形ABCD

中，兩條對角線

AC

與BD相交于點O，AB=6，OA=4.求BD

與AD

的長.【選自教材P13隨堂練習】鞏固練習，深化提高解：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AC=BD（矩形的對角線相等），∴BD=2AO=8，在Rt△ABD

中，AD2+AB2=BD2，AD2+62=82，∴AD=.【選自教材P13習題1.4第1題】2.一個矩形的對角線長為6，對角線與一邊的夾角是45°，

求這個矩形的各邊長.解：∵四邊形ABCD

是矩形，∴∠A=90°，又∵∠ABD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB=AD，AB2+AD2=62，∴AB=AD=BC=CD=.【選自教材P13習題1.4第2題】3.一個矩形的兩條對角線的一個夾角為60°，對角線長

為15，求這個矩形較短邊的長.解：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AC=BD=15，∴OD=OC=7.5，又∵∠COD=60，∴△COD是等邊三角形，∴

CD=7.5.【選自教材P13習題1.4第3題】4.如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，D為AB的中點，AE∥CD，CE∥AB，試判斷四邊形ADCE

的形狀，并證明你的結論.解：四邊形ADCE

是菱形，證明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四邊形ADCE

為平行四邊形.又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D

為AB

中點，∴

AD=CD.∴四邊形ADCE

為菱形.【選自教材P134習題1.4第4題】5.證明：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，

那么這個三角形是直角三角形.證明：如圖，在△ABC

中，AC邊的中線BD

等于AC

的一半，則AD=BD=DC，∴∠1=∠A，∠2=∠C.又∵∠1+∠A+∠2+∠C=180°，∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC=90°，故△ABC

為直角三角形.課堂小結這節課你們都學會了哪些知識？矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形.矩形的性質：具有平行四邊形的一切特征.四個角都是直角.對角線相等且平分.直角三角形的一個性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.謝謝大家矩形的判定一北師版九年級上冊創設情境，導入新課有一個角是直角的平行四邊形.矩形的定義：平行四邊形矩形有一個角是直角性質邊角對角線矩形矩形的對邊平行且相等.矩形的兩條對角線相等且互相平分.矩形的四個角都是直角.探究新知，經歷過程探索活動如圖，是一個平行四邊形活動框架，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生變化.點擊播放幾何畫板.GSP（1）隨著∠α的變化兩條對角線的長度將發生怎樣的變化？（2）當兩條對角線的長度相等時平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個怎樣的猜想？猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？已知：如圖，在□

ABCD

中，AC，DB是它的兩條對角線，AC=DB.求證：□

ABCD

是矩形.證明：四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AB=DC，AB∥DC.又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=

90°.∴□ABCD

是矩形（矩形的定義）.定理對角線相等的平行四邊形是矩形.四邊形

ABCD是矩形□ABCDAC=BD我們知道，矩形的四個角都是直角.反過來，一個四邊形至少有幾個角是直角時，這個四邊形就是矩形呢？請證明你的結論，并與同伴交流.想一想猜想：有三個角是直角的四邊形是矩形.有三個角是直角的四邊形是矩形嗎?已知:如圖，在四邊形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.求證:四邊形ABCD是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴四邊形ABCD是矩形.有三個角是直角的四邊形是矩形.定理∠A=∠B=∠C=90°四邊形

ABCD是矩形1.如果僅僅有一根較長的繩子，你怎么判斷一個四邊形是平行四邊形呢？議一議用繩子測量四邊形的兩對邊是否相等，相等則是平行四邊形.2.如果僅僅有一根較長的繩子，你怎么判斷一個四邊形是菱形呢？議一議拿繩子測量四邊形的每一個邊長，如果四邊長度一樣，那么根據菱形的判定定理：四條邊相等的四邊形是菱形。3.如果僅僅有一根較長的繩子，你怎么判斷一個四邊形是矩形呢？議一議先用繩子測量四邊形的兩對邊是否相等，相等則是平行四邊形.再用繩子測量對角線是否相等.對角線相等的平行四邊形是矩形.例2如圖在□ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，△ABO是等邊三角形，AB=4.

求□ABCD的面積.解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD.又∵△ABO是等邊三角形，∴OA=OB=AB=4.∴OA=OB=OC=OD=4.∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴□ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.∴∠ABC=90°（矩形的四個角都是直角）.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴BC=∴S□ABCD=AB·BC=4×=.已知：如圖，在□

ABCD

中，M是AD

邊的中點，且MB=MC.求證：四邊形ABCD

是矩形.【選自教材P16隨堂練習】鞏固練習，深化提高證明：在□ABCD中，AB=CD，M是AD邊的中點，∴MA=MD，且MB=MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A=∠D.又∵∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.∴四邊形ABCD

是矩形.【選自教材P16習題1.5第1題】2.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE.（1）試判斷四邊形ABEC的形狀；（2）當△ABC

滿足什么條件時，四邊形ABEC是矩形？解:（1）四邊形ABEC

是平行四邊形．（2）當△ABC滿足∠BAC＝90°時,四邊形ABEC是矩形．【選自教材P16習題1.5第2題】3.如圖，點B在MN

上，過AB

的中點O

作MN

的平行線，

分別∠ABM

的平分線和∠ABN的平分線于點C，D.

試判斷四邊形ACBD

的形狀，并證明你的結論.證明:∵CD∥MN,BC,BD

分別為∠MBA,∠ABN

的平分線,∴∠ABD

＝∠DBN

＝∠CDB,∠ABC＝∠CBM＝∠DCB,且∠CBD

＝90°,∴OC＝OB＝OD＝OA

．∵∠AOD＝∠COB,∴△AOD≌△COB,則∠DAO＝∠OBC,AD∥BC,AD

＝BC,∴四邊形ACBD

為平行四邊形．又∵AB

＝CD,∴四邊形ACBD為矩形．4.如圖，已知菱形ABCD

，畫一個矩形，使得A，B，C，D四點分別在矩形的四條邊上，且矩形的面積為菱形

ABCD

面積的2倍.【選自教材P16習題1.5第3題】課堂小結這節課你們都學會了哪些知識？矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形.定理對角線相等的平行四邊形是矩形.有三個角是直角的四邊形是矩形.定理謝謝大家矩形的性質與判定的綜合運用1北師版九年級上冊創設情境，導入新課矩形的定義矩形判定定理矩形判定定理有三個角是直角的四邊形是矩形.有一個角是直角的平行四邊形.對角線相等的平行四邊形是矩形.如圖，矩形ABCD

的兩條對角線相交于點O，已知∠AOD=120°，AB=2.5cm，則∠DAO=______，AC=______cm，30°5

如圖，四邊形

ABCD

是平行四邊形，添加一個條件__________________，可使它成為矩形。∠ABC=90°或AC=BD探究新知，經歷過程

例3

如圖，在矩形ABCD

中，AD=6，對角線AC與BD

交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE.求AE

的長.解∵四邊形

ABCD是矩形，∴∠BAD=90°（矩形的四個都是直角），AC=BD（矩形的對角線相等）AO=CO=AC，BO=DO=BD（矩形的對角線互相平分）.∴AO=BO=DO=BD.∵ED=3BE，∴BE=OE，又∵AE⊥BD，∴AB=AO.∴AB=AO=BO，即△ABO是等邊三角形.∴∠ABO=60°.∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°.∴AE=AD=×6=3.

例4

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.求證：四邊形ADCE是矩形.證明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=∠CAM.∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=（∠BAC+∠CAM）

=×180°=90°.在△ABC中，∵AB=AC，AD為∠BAC的平分線，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°.∴四邊形ADCE為矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）.想一想在例題4中，若連接DE，交AC于點F.（1）試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結論.四邊形ABDE

是平行四邊形，證明：∵△ABC是等腰三角形且AD⊥BC，∴BD=CD,又∵ADCE是矩形，∴AE=CD，AE∥CD，∴BD=AE,BD∥AE,∴四邊形ABDE是平行四邊形.想一想在例題4中，若連接DE，交AC于點F.（2）線段DF與AB有怎樣的關系？請證明你的結論.DF∥AB，DF=AB.證明：四邊形ABDE是平行四邊形，∴AC=DE,∴DF=AC.又∵AB=AC，∴DF=AB.∴DF∥AB.∵四邊形ABDE是平行四邊形.已知：如圖，四邊形ABCD由兩個全等的等邊三角形ABD

和CBD

組成，M，N

分別是BC

和AD

的中點.求證：四邊形BMDN是矩形.【選自教材P18隨堂練習】鞏固練習，深化提高證明:∵△ABD≌△CBD,且△ABD

，△CBD

為等邊三角形，M

，N

分別為BC，AD

中點，∴MD⊥BC，BN⊥AD,∠DMB＝90°,∠DNB

＝90°,∠DBM

＝60°,∠DBN

＝30°,即∠NBM

＝90°,得證四邊形BMDN

是矩形．【選自教材P18習題1.6第1題】2.如圖，在矩形ABCD

中，對角線AC

與BD相交于點O，

∠ACB=30°，BD=4，求矩形ABCD

的面積.解:∵∠ACB＝30°,AC＝BD

＝4，∴AB＝2，BC＝．∴S矩形ABCD

＝AB·BC＝．【選自教材P19習題1.6第2題】3.如圖，在矩形ABCD

中，對角線AC

與BD相交于點O，

過點A

作BD的垂線，垂足為E.已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO

的度數.解:由題意,可得∠EAD

＝×90°＝67.5°．∵AE⊥BD，∴∠BAE＝90°－∠EAD

＝∠ADE．∴∠ADE＝∠DAO＝22.5°,則∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°．4.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為

BC的中點，四邊形ABDE

是平行四邊形.求證：四邊形ADCE

是矩形.【選自教材P19習題1.6第3題】證明:在△ABC

中,AB＝AC,D

為BC

的中點,∴∠ADC＝90°,BD

＝CD

．又∵四邊形ABDE

是平行四邊形,∴BD

AE,則CD

AE．∴四邊形ADCE

為平行四邊形．又∵∠ADC＝90°,∴四邊形ADCE為矩形．∥=∥=5.如圖，在矩形紙片ABCD

中，AB=6cm，BC=8cm，

將矩形紙片折疊，使點C

與點A

重合.請在圖中畫出

折痕的長.【選自教材P19習題1.6第4題】解:如圖,連接EC．在矩形ABCD

中,AB

＝6cm,BC＝8cm,∴AC

＝10cm,∴AO＝CO＝5cm．易證Rt△AOE≌Rt△COE,AE

＝EC．由勾股定理,得ED2＋DC2＝EC2＝AE2,得EC＝cm．∴OE＝cm,折痕長EF＝2OE＝7.5cm．6.如圖，在矩形紙片ABCD

中，AB=3，AD=4，P

是AD

上不與A

與D

重合的一個動點，過點P分別作AC

和BD

的垂線，垂足為E，F.求PE+PF

的值.【選自教材P19習題1.6第5題】解:如圖,連接PO．在矩形ABCD中,AB＝3,AD

＝4,∴AC＝BD

＝5,OA

＝OD

＝．又∵S△AOD

＝S△APO＋S△DPO

＝S矩形ABCD

,即OA·PE

＋OD·PF＝AB·AD,∴PE＋PF＝．課堂小結這節課你們都學會了哪些知識？矩形的定義矩形判定定理矩形判定定理有三個角是直角的四邊形是矩形.有一個角是直角的平行四邊形.對角線相等的平行四邊形是矩形.謝謝大家正方形的性質1北師版九年級上冊創設情境，導入新課生活中的正方形好好學習天天向上像矩形十年樹木百年樹人像菱形矩形變正方形一組鄰邊相等點擊播放幾何畫板.GSP菱形變正方形點擊播放幾何畫板.GSP一個角是90°探究新知，經歷過程圖中的四邊形都是特殊的平行四邊形.觀察這些特殊的平行四邊形，你能發現它們有什么樣的共同特征？你能總結出正方形的定義嗎？正方形定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.議一議（1）正方形是矩形嗎？是菱形嗎？（2）你認為正方形具有哪些性質？與同伴交流.正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質.你能利用下圖理清下面四個特殊的四邊形之間的關系嗎？有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角相關圖形性質的關系平行四邊形的性質對邊平行且相等對角相等對角線互相平分菱形的性質四條邊相等對角線互相垂直四個角都是直角對角線相等矩形的性質正方形的性質正方形的性質定理：正方形的四個角都是直角，四條邊相等.定理：正方形的對角線相等并且互相垂直平分.AB=BC=CD=DA∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°AO=BO=CO=DO，AC⊥BD想一想正方形有幾條對稱軸？正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.正方形有4條對稱軸.

例1如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一點，F為BC邊延長線上一點，且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）.∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.

例1如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一點，F為BC邊延長線上一點，且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由.（2）延長BE交DF于點M.∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.議一議平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有么關系？你能用一個你喜歡的方式直觀地示它們之間的關系嗎？與同伴交流.平行四邊形矩形菱形正方形如圖，在正方形ABCD

中，對角線AC

與BD

相交于點O，圖中有多少個等腰三角形？【選自教材P21隨堂練習】鞏固練習，深化提高解：圖中共有8個等腰三角形.△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB2.如圖，在正方形ABCD

中，點F為對角線AC

上一點，

連接BF,DF。你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其

中一對進行證明.解：圖中的全等三角形共有3對，分別是△ADC

與△ABC,△FCD與△FCB,△FAD與△FAB．【選自教材P21隨堂練習】2.如圖，在正方形ABCD

中，點F為對角線AC

上一點，

連接BF,DF。你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其

中一對進行證明.選擇△FAD≌△FAB證明，過程如下：∵正方形ABCD,∴AD=AB,∠DAF=∠BAF,又∵AF=AF，∴△FAD≌△FAB.【選自教材P21隨堂練習】【選自教材P22習題1.7第1題】3.對角線長為2cm的正方形，邊長是多少？解：∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°△ABC是等腰直角三角形，AB2+BC2=AC2=4，∴AB=【選自教材P22習題1.7第2題】4.如圖，四邊形ABCD

是正方形，△CBE是等邊三角形，

求∠AEB

的度數.證明:∵△BEC是等邊三角形，∴BE=EC=BC=AB，∴△ABE

是等腰三角形，∴∠ABE=90°-60°=30°∴∠AEB==75°【選自教材P22習題1.7第3題】5.如圖，A，B，C，D

四家工廠分別坐落在正方形城鎮的四

個角上.倉庫P

和Q

分別位于AD和DC

上，且PD=QC.

證明兩條直路BP=AQ且BP⊥AQ.證明:如圖,AQ

與BP

交于點O．在正方形ABCD

中,∵PD

＝QC,∴DQ＝AP．又∵AB＝AD,∠D

＝∠PAB＝90°,∴△ABP≌△DAQ．∴BP

＝AQ,∠DAQ＝∠ABP

．∵∠ABP＋∠APB＝90°＝∠DAQ＋∠APB．∴∠AOP

＝90°．∴BP

＝AQ且BP⊥AQ．6.在一個正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條

直的小路將花壇分成大小、形狀完全相同的四部分（不考慮道路的寬度）.你有幾種方法？【選自教材P22習題1.7第4題】課堂小結這節課你們都學會了哪些知識？正方形的定義正方形的性質正方形的對角線相等并且互相垂直平分.有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形，叫做正方形.正方形的四個角都是直角，四條邊相等.謝謝大家正方形的判定1北師版九年級上冊創設情境，導入新課正方形的定義正方形的性質正方形的對角線相等并且互相垂直平分.有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形，叫做正方形.正方形的四個角都是直角，四條邊相等.將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開.怎樣剪才能剪出一個正方形？探究新知，經歷過程提示：剪口線與折痕成45°角即可。有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角對角線相等對角線垂直如何判定一個四邊形是正方形，一般思考方法是什么？判斷四邊形是正方形有哪些方法？1.先說明它是平行四邊形，再說明有一組鄰邊相等，有一個角是直角.（定義法）2.先說明它是矩形，再說明這個矩形有一組鄰邊相等.3.先說明它是菱形，再說明這個菱形有一個角是直角.定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.已知：ABCD

是矩形，且AB=BC，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理：對角線互相垂直的矩形是正方形.已知：ABCD

是矩形，AC

⊥

BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥

BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理：有一個角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD

是菱形，∠A=90°，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理：對角線相等的菱形是正方形.已知：ABCD

是菱形，AC=BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形對角線互相垂直）又∵AC=BD

，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定義）.

例2

已知：如圖，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF

是正方形.證明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四邊形BECF

是平行四邊形.∵四邊形ABCD

是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF

是菱形（菱形的定義）.在△EBC

中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF

是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.

例2

已知：如圖，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF

是正方形.三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．如圖，在△ABC中，EF為△ABC的中位線，①若∠BEF=30°，則∠A=______.②若EF=8cm,則AC=______.你還記得三角形的中位線定理嗎？30°16cm一般四邊形的中點四邊形如圖，任意畫一個四邊形，以四邊的中點為頂點組成一個新四邊形，這個新四邊形的形狀有什么特征？任意四邊形的中點四邊形

是平行四邊形.幾何畫板.GSP

如果四邊形

ABCD

變為特殊的四邊形，中點四邊形

EFGH會有怎樣的變化呢？原四邊形中點四邊形一般四邊形平行四邊形平行四邊形？矩形？菱形？正方形？平行四邊形的中點四邊形平行四邊形的中點四邊形會是什么形狀？平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形.你能試著證明這個結論嗎？（提示：連接AC、BD）幾何畫板.GSP矩形的中點四邊形矩形的中點四邊形會是什么形狀？矩形的中點四邊形是菱形.你能試著證明這個結論嗎？幾何畫板.GSP已知：如圖，點E，F，G，H

分別是矩形ABCD

各邊的中點.求證：四邊形EFGH

為菱形.證明：連接AC，BD，∵E，F分別是AB

和BC邊中點，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.∴四邊形EFGH為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是矩形∴AC=BD（矩形的對角線相等），∴EF=EH∴四邊形EFGH是菱形（菱形的定義）菱形的中點四邊形菱形的中點四邊形會是什么形狀？菱形的中點四邊形是矩形.幾何畫板.GSP你能試著證明這個結論嗎？已知：如圖，點E，F，G，H

分別是菱形ABCD

各邊的中點.求證：四邊形EFGH

為矩形.證明：連接AC，BD，∵E，F分別是AB

和BC邊中點，∴EF∥AC，同理可證HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形EFGH，PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是菱形∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四邊形EFGH是矩形（矩形的定義）正方形的中點四邊形正方形的中點四邊形會是什么形狀？幾何畫板.GSP原四邊形中點四邊形一般四邊形平行四邊形平行四邊形平行四邊形矩形菱形菱形矩形正方形？先猜一猜，再證明.已知：如圖，點E，F，G，H

分別是正方形ABCD

各邊的中點.求證：四邊形EFGH

為正方形.證明：連接AC，BD，∵E，F分別是AB

和BC邊中點，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.∴四邊形PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是正方形，∴AC=BD（正方形的對角線相等）

AC⊥BD（正方形的對角線互相垂直），∴EF=FG=HG=EH，∠1=90°.∴四邊形EFGH是菱形（四邊相等的四邊形是菱形），∠2=90°.∴四邊形EFGH

為正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.已知：如圖，點E，F，G，H

分別是正方形ABCD

各邊的中點.求證：四邊形EFGH

為正方形.思考：決定中點四邊形形狀的關鍵因素是什么？對角線不垂直，不相等平行四邊形對角線不垂直，不相等平行四邊形對角線相等菱形對角線垂直矩形對角線相等且垂直正方形歸納

決定中點四邊形

EFGH

的形狀的主要因素是原四邊形

ABCD的對角線的長度和位置關系。原四邊形對角線關系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中點四邊形形狀平行四邊形菱形矩形正方形已知：如圖，E，F

是正方形ABCD

的對角線BD

上的兩點，且BE=DF.求證：四邊形AECF

是菱形.【選自教材P25習題1.8第2題】鞏固練習，深化提高證明:在正方形ABCD

中,BE

＝DF,易證△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD,即CE

＝AE

＝AF

＝FC,∴四邊形AECF是菱形．2.如圖，在正方形ABCD

中，E，F，G，H

分別在它的

四條邊上，且AE=BF=CG=DH.四邊形EFGH是

什么特殊四邊形？你是如何判斷的？解：四邊形EFGH

是正方形.∵在正方形ABCD

中，AE=BF=CG=DH，易證△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,即EH

＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH

．∵∠DGH

＋∠DHG＝90°,∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°,∴四邊形EFGH

是正方形【選自教材P25習題1.8第3題】3.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，正方形A′B′C′O

與正方形

ABCD的邊長相等.在正方形A′B′C′O繞點O旋轉

的過程中，兩個正方形重疊的部分與正方形ABCD的面積

有什么關系？請證明你的結論.【選自教材P25習題1.8第4題】S重疊部分=S正方形ABCD幾何畫板.GSP證明:如圖,正方形OA′B′C′分別交AB、BC于點E、F．∵OC

＝OB,∠C′OA′＝∠COB＝90°,∠OCB

＝∠OBA＝45°,∴∠COF＝∠BOE,則△OFC≌△OEB．∴S重疊部分＝S△OEB+S△OBF=S△OFC+S△OBF=S△OBC=S正方形ABCD.EF課堂小結這節課你們都學會了哪些知識？定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.定理：對角線互相垂直的矩形是正方形.定理：有一個角是直角的菱形是正方形.定理：對角線相等的菱形是正方形.

決定中點四邊形

EFGH

的形狀的主要因素是原四邊形

ABCD的對角線的長度和位置關系。原四邊形對角線關系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中點四邊形形狀平行四邊形菱形矩形正方形謝謝大家回顧與思考1北師版九年級上冊復習回顧特殊四邊形的關系平行四邊形矩形菱形正方形有一個角是直角有一個角是直角且鄰邊相等鄰邊相等鄰邊相等有一個角是直角幾種特殊四邊形的性質：邊角對角線對稱性矩形菱形正方形平行且相等四個角都是直角互相平分且相等中心對稱圖形軸對稱圖形平行且四邊相等平行且四邊相等對角相等鄰角互補四個角都是直角互相垂直平分互相垂直平分且相等