【課時(shí)訓(xùn)練】第65節(jié)直接證明與間接證明一、選擇題1．(2018濱州模擬)若a，b∈R，則下面四個(gè)式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)>0 B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1)C．a(chǎn)2＋3ab>2b2 D．eq\f(a,b)<eq\f(a＋1,b＋1)【答案】B【解析】在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．2．(2018山東濟(jì)南模擬)用反證法證明命題：“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)()A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B．三個(gè)內(nèi)角都大于60°C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°【答案】B【解析】應(yīng)假設(shè)“三個(gè)內(nèi)角都大于60°”，故選B.3．(2018咸陽(yáng)模擬)已知m>1，a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)，則以下結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)，b大小不定【答案】B【解析】∵a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)＝eq\f(1,\r(m＋1)＋\r(m))，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)＝eq\f(1,\r(m)＋\r(m－1)).而eq\r(m＋1)＋eq\r(m)>eq\r(m)＋eq\r(m－1)＞0(m＞1)，∴eq\f(1,\r(m＋1)＋\r(m))<eq\f(1,\r(m)＋\r(m－1))，即a<b.4．(2018廣東七校聯(lián)考)①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對(duì)值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.以下正確的是()A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B．①與②的假設(shè)都正確C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確【答案】D【解析】反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論，對(duì)于①，其結(jié)論的反面是p＋q＞2，所以①不正確；對(duì)于②，其假設(shè)正確．5．(2018天津河西模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b是正實(shí)數(shù)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A，B，C的大小關(guān)系為()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A【答案】A【解析】∵eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是減函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b))).6．(2018長(zhǎng)沙一模)設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一個(gè)不大于2 D．至少有一個(gè)不小于2【答案】D【解析】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一個(gè)不小于2.二、填空題7．(2018吉林九校聯(lián)考)eq\r(6)＋eq\r(7)與2eq\r(2)＋eq\r(5)的大小關(guān)系為_(kāi)_______．【答案】eq\r(6)＋eq\r(7)>2eq\r(2)＋eq\r(5)【解析】要比較eq\r(6)＋eq\r(7)與2eq\r(2)＋eq\r(5)的大小，只需比較(eq\r(6)＋eq\r(7))2與(2eq\r(2)＋eq\r(5))2的大小，即比較6＋7＋2eq\r(42)與8＋5＋4eq\r(10)的大小，只需比較eq\r(42)與2eq\r(10)的大小，只需比較42與40的大小，∵42>40，∴eq\r(6)＋eq\r(7)>2eq\r(2)＋eq\r(5).8．(2018貴州貴陽(yáng)二模)用反證法證明命題“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”，那么假設(shè)的內(nèi)容是_______________________________________________________________________________________________________________________.【答案】a，b都不能被5整除9．(2018九江調(diào)研)下列條件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的條件的序號(hào)是________．【答案】①③④【解析】要使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，只需eq\f(b,a)>0成立，即a，b不為0且同號(hào)即可，故①③④能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立．10．(2018山東日照質(zhì)檢)如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，則a，b應(yīng)滿足的條件是________．【答案】a≥0，b≥0且a≠b【解析】∵aeq\r(a)＋beq\r(b)－(aeq\r(b)＋beq\r(a))＝eq\r(a)(a－b)＋eq\r(b)(b－a)＝(eq\r(a)－eq\r(b))(a－b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))．∴當(dāng)a≥0，b≥0且a≠b時(shí)，(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))>0.∴aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)成立的條件是a≥0，b≥0且a≠b.三、解答題11．(2018吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc.【證明】∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)＞0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)＞0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)＞0.又上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立．∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)＞abc成立．上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(c＋a,2)))＞lg(abc)，∴l(xiāng)geq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(c＋a,2)＞lga＋lgb＋lgc.12．(2018河南師大附中期末)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．(1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？(1)【證明】假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，則Seq\o\al(2,2)＝S1S3，即aeq\o\al(2,1)(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因?yàn)閍1≠0，所以(1＋