2019年河北省中考數學試卷

一、選擇題（本大題有16個小題，共42分，1-10小題各3分，11-16小題各2分，在每小

題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.（3分）（2019?河北）下列圖形為正多邊形的是（）

AUB口coC

2.（3分）（2019?河北）規定:（-2）表示向右移動2記作+2,則（-3）表示向左移動3

記作（）

A.+3B.-3C.■—D.+工

33

3.（3分）（2019?河北）如圖，從點C觀測點。的仰角是（）

C嚴二;上…E

A水平地面B

ZDABB.ZDCEC.4DCAD.ZADC

4.（3分）（2019?河北）語句的上與x的和不超過5”可以表示為（）

8

A.三+xW5B._l+x25C.一3.W5D.—+x=5

88x+58

5.（3分）（2019?河北）如圖，菱形ABC。中，/。=150°,則/1=（）

D

a

B

A.30°B.25°C.20°D.15°

6.（3分）（2019?河北）小明總結了以下結論：

①a（b+c）=ab+ac；

②aCb-c）=ab-ac\

③（。-c）-i~a=b-ira-c-i~a（aHO）；

④（b+c）（aWO）

其中一定成立的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

7.（3分）（2019?河北）下面是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內容

已知：如圖，zBEC=zB-zC.

求證：ABIICD.

證明：延長BE交派于點E

則NBEC=_^_+NC（三角形的外角等于與它不相鄰兩個內角之

和）.

又NBEC=NB+NC.得NB=▲.

故ABllCIX@相等,兩直線平行）.

則回答正確的是（）

A.◎代表NFECB.@代表同位角

C.▲代表NEFCD.※代表AB

8.（3分）（2019?河北）一次抽獎活動特等獎的中獎率為=把」用科學記數法

5000050000

表示為（）

A.5X104B.5X10-5c.2X10-4D.2X10-5

9.（3分）（2019?河北）如圖，在小正三角形組成的網格中，已有6個小正三角形涂黑，還

需涂黑n個小正三角形，使它們與原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸,

則〃的最小值為（）

10.（3分）（2019?河北）根據圓規作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（）

C.D.X

11.（2分）（2019?河北）某同學要統計本校圖書館最受學生歡迎的圖書種類，以下是排亂

的統計步驟：

①從扇形圖中分析出最受學生歡迎的種類

②去圖書館收集學生借閱圖書的記錄

③繪制扇形圖來表示各個種類所占的百分比

④整理借閱圖書記錄并繪制頻數分布表

正確統計步驟的順序是（）

A.②f③一①f④B.③f④一①一②C.①一②一④一③D.②f④一③f①

工（x〉0）,

12.（2分）（2019?河北）如圖，函數y=<'的圖象所在坐標系的原點是（）

■x〈0）

_M1

MN

A,點MB?點NC.點PD.點0

2

13.（2分）（2019?河北）如圖，若x為正整數，則表示工邛）_-_1_的值的點落在（）

2

X+4X+4X+1

，①.，②一③

-0.20.411.62.2

A.段①B.段②C.段③D.段④

14.（2分）（2019?河北）圖2是圖1中長方體的三視圖，若用S表示面積，S龍=7+2%,S

左=工+x,wys俯=（）

主視圖左視圖

［二口X

s——

正面俯視圖

圖1圖2

A.j?+3x+2B./+23.X2+2X+1D.2x^+3x

15.（2分）（2019?河北）小剛在解關于x的方程辦（a#0）時，只抄對了

b=4,解出其中一個根是x=-1.他核對時發現所抄的c比原方程的c值小2.則原方

程的根的情況是（）

A.不存在實數根B.有兩個不相等的實數根

C.有一個根是x=-lD.有兩個相等的實數根

16.（2分）（2019?河北）對于題目：“如圖1,平面上，正方形內有一長為12、寬為6的矩

形，它可以在正方形的內部及邊界通過移轉（即平移或旋轉）的方式，自由地從橫放移

轉到豎放，求正方形邊長的最小整數九”甲、乙、丙作了自認為邊長最小的正方形，先

求出該邊長x,再取最小整數〃.

甲：如圖2,思路是當x為矩形對角線長時就可移轉過去；結果取“=13.

乙：如圖3,思路是當x為矩形外接圓直徑長時就可移轉過去；結果取〃=14.

丙：如圖4,思路是當x為矩形的長與寬之和的返倍時就可移轉過去；結果取“=13.

2

下列正確的是（）

B.乙的思路和他的〃值都對

C.甲和丙的〃值都對

D.甲、乙的思路都錯，而丙的思路對

二、填空題（本大題有3個小題，共11分，17小題3分：18?19小題各有2個空，每空2

分，把答案寫在題中橫線上）

17.（3分）（2019?河北）若7-2X7“X7°=7。，則p的值為.

18.（4分）（2019?河北）如圖，約定：上方相鄰兩數之和等于這兩數下方箭頭共同指向的

數.

示例：即4+3=7

則（1）用含x的式子表示，〃=

（2）當），=-2時，"的值為.

X2x)(3

（m）（n）

w

19.（4分）（2019?河北）勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系，并標示了A,B,C三

地的坐標，數據如圖（單位：km）.筆直鐵路經過A,8兩地.

（1）4,8間的距離為km；

（2）計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路/,并在/上建一個維修站。，使。到A,C

的距離相等，則C,。間的距離為km.

三、解答題（本大題有7個小題，共67分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

20.（8分）（2019?河北）有個填寫運算符號的游戲：在“1口2口6口9”中的每個口內，填

入+,X,土中的某一個（可重復使用），然后計算結果.

（1）計算:1+2-6-9；

（2）若1+2*6口9=-6,請推算口內的符號；

（3）在“1口2口6-9”的口內填入符號后，使計算所得數最小，直接寫出這個最小數.

22

21.（9分）（2019?河北）已知：整式A=（層-1）+（2?）,整式8>0.

嘗試化簡整式4

發現A=B2,求整式8.

聯想由上可知，解=（“27）2+（2〃）2,當〃>i時，?2.b2”，8為直角三角形的

三邊長，如圖.填寫下表中B的值：

直角三角形三邊n2-1InB

勾股數組I/8

勾股數組H35/

22.（9分）（2019?河北）某球室有三種品牌的4個乒乓球，價格是7,8,9（單位：元）三

種.從中隨機拿出一個球，已知P（一次拿到8元球）=1.

2

（1）求這4個球價格的眾數;

（2）若甲組已拿走一個7元球訓練，乙組準備從剩余3個球中隨機拿一個訓練.

①所剩的3個球價格的中位數與原來4個球價格的中位數是否相同？并簡要說明理由;

②乙組先隨機拿出一個球后放回，之后又隨機拿一個，用列表法（如圖）求乙組兩次都

拿到8元球的概率.

又拿

先拿

23.（9分）（2019?河北）如圖，△ABC和△4￡）￡：中，AB=AD=6,BC=DE,NB=ND=

30°,邊與邊8c交于點P（不與點B,C重合），點8,E在AO異側，/為△APC

的內心.

（1）求證：ZBAD=ZCAE；

（2）設請用含x的式子表示PD,并求PO的最大值：

（3）當AB_LAC時，ZAIC的取值范圍為in<ZAIC<n,分別直接寫出m,n的

24.（10分）（2019?河北）長為300〃?的春游隊伍，以v（而s）的速度向東行進，如圖1和

圖2,當隊伍排尾行進到位置。時，在排尾處的甲有一物品要送到排頭，送到后立即返

回排尾，甲的往返速度均為2v（相/s）,當甲返回排尾后，他及隊伍均停止行進.設排尾

從位置。開始行進的時間為f（s）,排頭與。的距離為S頭（機）.

以尾）頭T東o尾賣＞東

????

甲一.甲

圖1圖2

（1）當丫=2時，解答：

①求S頭與f的函數關系式（不寫r的取值范圍）；

②當甲趕到排頭位置時，求S頭的值；在甲從排頭返回到排尾過程中，設甲與位置。的

距離為S甲（沉），求5甲與/的函數關系式（不寫，的取值范圍）

（2）設甲這次往返隊伍的總時間為T（s）,求T與v的函數關系式（不寫v的取值范圍）,

并寫出隊伍在此過程中行進的路程.

25.（10分）（2019?河北）如圖1和2,口48。。中，AB=3,BC=15,tanZDAB=A.點、p

3

為AB延長線上一點，過點A作。。切CP于點P,設BP=x.

（1）如圖1,x為何值時，圓心。落在AP上？若此時O。交AO于點E,直接指出PE

與BC的位置關系；

（2）當x=4時，如圖2,。。與AC交于點。，求/CAP的度數，并通過計算比較弦

AP與劣弧PQ長度的大小；

（3）當。。與線段AD只有一個公共點時，直接寫出x的取值范圍.

26.(12分)(2019?河北)如圖，若匕是正數，直線/：)，=%與)，軸交于點A；直線a：y=x

-6與y軸交于點B；拋物線L：y=-/+云的頂點為C,且L與x軸右交點為D.

(1)若AB=8,求6的值，并求此時L的對稱軸與a的交點坐標；

(2)當點C在/下方時，求點C與/距離的最大值；

(3)設xo#O,點(刈，yi),(xo-y2),(xo,”)分別在/1a和心上，且”是yi,yi

的平均數，求點(刈，0)與點。間的距離；

(4)在L和。所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數的點稱為“美點”，

分別直接寫出6=2019和0=2019.5時“美點”的個數.

2019年河北省中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題有16個小題，共42分，L10小題各3分，11-16小題各2分，在每小

題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

I.（3分）（2019?河北）下列圖形為正多邊形的是（）

PB口coD.o

【考點】多邊形.

【分析】根據正多邊形的定義；各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形可

得答案.

【解答】解：正五邊形五個角相等，五條邊都相等，

故選：D.

2.（3分）（2019?河北）規定：（-2）表示向右移動2記作+2,則（-3）表示向左移動3

記作（）

A.+3B.-3C.」D.+工

33

【考點】正數和負數.

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示.“正”

和“負”相對，所以，如果（-2）表示向右移動2記作+2,則（-3）表示向左移動3

記作-3.

【解答】解：“正”和“負”相對，所以，如果（-2）表示向右移動2記作+2,則（-3）

表示向左移動3記作-3.

故選：B.

3.（3分）（2019?河北）如圖，從點C觀測點。的仰角是（）

。產二;/二…E

水平地面B

A.ADABB.ZDCEC.ZDCAD.ZADC

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【分析】根據仰角的定義進行解答便可.

【解答】解：?.?從點C觀測點。的視線是C。，水平線是CE,

從點C觀測點D的仰角是NQCE,

故選:B.

4.（3分）（2019?河北）語句“x的2與x的和不超過5”可以表示為（）

8

A.三+xW5B.3+x>5C.-^W5D.3+x=5

88x+58

【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式.

【分析】x的2即L,不超過5是小于或等于5的數，按語言敘述列出式子即可.

88

【解答】解："x的工與x的和不超過5”用不等式表示為L+XW5.

88

故選：A.

5.（3分）（2019?河北）如圖，菱形A3CD中，ZD=150°,則Nl=（）

A.30°B.25°C.20°D.15°

【考點】菱形的性質.

【分析】由菱形的性質得出A8〃C。，NBAD=2N1,求出N8AO=30°,即可得出/I

=15°.

【解答】解：???四邊形A3C。是菱形，ZD=150°,

：.AB//CD,NBAO=2N1,

AZBAD+ZD=180°,

：.ZBAD=]S00-150°=30°,

AZI=15°；

故選：D.

6.（3分）（2019?河北）小明總結了以下結論：

①a（b+c）=ab+ac；

②a(b-c)=ab-ac；

③(.b-c)+a=b+a-c+a(aWO)；

④(b+c)—a-rb+a-rc(aWO)

其中一定成立的個數是()

A.IB.2C.3D.4

【考點】單項式乘多項式.

【分析】直接利用單項式乘以多項式以及多項式除以單項式運算法則計算得出答案.

【解答】解：①a(8+c)=ab+ac,正確；

②a(b-c)=ab-ac,正確；

③Ch-c)Jra=bJra-c-i-a(aWO),正確；

④(b+c)—a-irb+a-irc(aWO),錯誤，無法分解計算.

故選：C.

7.(3分)(2019?河北)下面是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內容

已知：如圖，zBEC=zB-zC.

求證：ABIICD.

證明：延長BE交派于點E

則NBEC=_^_+NC(三角形的外角等于與它不相鄰兩個內角之

和).

又NBEC=NB+NC.得NB=▲.

故ABHCD(@相等,兩直線平行).

則回答正確的是()

A.◎代表NFECB.@代表同位角

C.▲代表NE/CD.※代表A8

【考點】平行線的判定.

【分析】根據圖形可知※代表C。,即可判斷。;根據三角形外角的性質可得◎代表NEFC,

即可判斷4；利用等量代換得出▲代表/EPC,即可判斷C；根據圖形已經內錯角定義可

知@代表內錯角.

【解答】證明：延長BE交CQ于點凡

則/BEC=NEFC+NC(三角形的外角等于與它不相鄰兩個內角之和).

又/BEC=NB+NC,得NB=NEFC.

故AB〃C。(內錯角相等，兩直線平行).

故選：C.

8.（3分）（2019?河北）一次抽獎活動特等獎的中獎率為」—，把」—用科學記數法

5000050000

表示為（）

A.5X10-4B.5X10-5c.2X10-4D.2X10-5

【考點】科學記數法一表示較小的數.

【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為aX10”,與較大

數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數累，指數由原數左邊起第一個不為零的數

字前面的。的個數所決定.

【解答】解：一—=0.00002=2X10-5.

50000

故選：D.

9.（3分）（2019?河北）如圖，在小正三角形組成的網格中，已有6個小正三角形涂黑，還

需涂黑〃個小正三角形，使它們與原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸，

則〃的最小值為（）

A.10B.6C.3D.2

【考點】利用軸對稱設計圖案.

【分析】由等邊三角形有三條對稱軸可得答案.

【解答】解：如圖所示，〃的最小值為3,

故選：C.

10.（3分）（2019?河北）根據圓規作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（）

O\

A50

A.B.

'010

/"^

C.ID.X

【考點】三角形的外接圓與外心；作圖一基本作圖.

【分析】根據三角形外心的定義，三角形外心為三邊的垂直平分線的交點，然后利用基

本作圖格選項進行判斷.

【解答】解：三角形外心為三邊的垂直平分線的交點，由基本作圖得到c選項作了兩邊

的垂直平分線，從而可用直尺成功找到三角形外心.

故選：C.

11.（2分）（2019?河北）某同學要統計本校圖書館最受學生歡迎的圖書種類，以下是排亂

的統計步驟：

①從扇形圖中分析出最受學生歡迎的種類

②去圖書館收集學生借閱圖書的記錄

③繪制扇形圖來表示各個種類所占的百分比

④整理借閱圖書記錄并繪制頻數分布表

正確統計步驟的順序是（）

A.②一③一①一④B.③f④一①一②C.①f②一④f③D.②—④/③/①

【考點】調查收集數據的過程與方法；頻數（率）分布表；扇形統計圖.

【分析】根據題意和頻數分布表、扇形統計圖制作的步驟，可以解答本題.

【解答】解：由題意可得，

正確統計步驟的順序是：②去圖書館收集學生借閱圖書的記錄一④整理借閱圖書記錄并

繪制頻數分布表一③繪制扇形圖來表示各個種類所占的百分比一①從扇形圖中分析出

最受學生歡迎的種類，

故選：D.

工（x>0）,

12.（2分）（2019?河北）如圖，函數*的圖象所在坐標系的原點是（）

▲x<0）

X

C.點PD.點0

【考點】反比例函數的圖象.

【分析】由函數解析式可知函數關于y軸對稱，即可求解;

L（x>o）,

【解答】解：由已知可知函數x關于〉軸對稱,

-i（x<0）

x

所以點M是原點;

故選：A.

2

13.（2分）（2019?河北）如圖，若x為正整數，則表示3±2）.一的值的點落在（）

x2+4x+4x+1

，①..②..，③..?

~^02041L6~

A.段①B.段②C.段③D.段④

【考點】分式的加減法.

【分析】將所給分式的分母配方化簡，再利用分式加減法化簡，根據x為正整數，從所

給圖中可得正確答案.

【解答】解.（x=2）2.--J^=.（.x+2）2__1_工.

X2+4X+4X+1（X+2）2X+1X+1X+1

又為正整數，

2

2

故表示.（警■）.-」_的值的點落在②

x+4x+4x+1

故選：B.

14.（2分）（2019?河北）圖2是圖1中長方體的三視圖，若用S表示面積，S主=/+2x,S

&=x^+x)則S?=)

主視圖左視圖

A./+3x+2B./+2C.x2+Zr+lD.2x2+3x

【考點】幾何體的表面積；由三視圖判斷兒何體.

【分析】由主視圖和左視圖的寬為x,結合兩者的面積得出俯視圖的長和寬，從而得出答

案.

【解答】解：V5^=X2+2X=X(X+2),S左=/+X=X(X+1),

俯視圖的長為x+2,寬為x+1,

則俯視圖的面積5俯=(x+2)(x+1)=/+3x+2,

故選：A.

15.(2分)(2019?河北)小剛在解關于x的方程0?+法+。=0(aWO)時，只抄對了a=l,

b=4,解出其中一個根是x=-1.他核對時發現所抄的c比原方程的c值小2.則原方

程的根的情況是()

A.不存在實數根B.有兩個不相等的實數根

C.有一個根是x=-lD.有兩個相等的實數根

【考點】解一元二次方程-公式法；根的判別式.

【分析】直接把已知數據代入進而得出c的值，再解方程求出答案.

【解答】解：???小剛在解關于尤的方程/+版+c=0(。#0)時，只抄對了。=1,b=4,

解出其中一個根是尤=-1,

(-1)2-4+c=0,

解得：c=3,

故原方程中c=5,

則*-4ac=16-4XlX5=-4<0,

則原方程的根的情況是不存在實數根.

故選：A.

16.(2分)(2019?河北)對于題目：“如圖1,平面上，正方形內有一長為12、寬為6的矩

形，它可以在正方形的內部及邊界通過移轉（即平移或旋轉）的方式，自由地從橫放移

轉到豎放，求正方形邊長的最小整數九”甲、乙、丙作了自認為邊長最小的正方形，先

求出該邊長X,再取最小整數〃.

甲：如圖2,思路是當尤為矩形對角線長時就可移轉過去；結果取“=13.

乙：如圖3,思路是當x為矩形外接圓直徑長時就可移轉過去；結果取“=14.

丙：如圖4,思路是當x為矩形的長與寬之和的返倍時就可移轉過去；結果取“=13.

下列正確的是（）

x

圖4

C.甲和丙的"值都對

D.甲、乙的思路都錯，而丙的思路對

【考點】矩形的性質；正方形的性質；平移的性質；旋轉的性質.

【分析】平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂

直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2

條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點.

【解答】解：甲的思路正確，長方形對角線最長，只要對角線能通過就可以，但是計算

錯誤，應為“=14；

乙的思路與計算都正確；

丙的思路與計算都錯誤，圖示情況不是最長；

故選：B.

二、填空題（本大題有3個小題，共11分，17小題3分：18?19小題各有2個空，每空2

分，把答案寫在題中橫線上）

17.（3分）（2019?河北）若7-2x7“X7°=7。，則D的值為-3.

【考點】零指數基；負整數指數基.

【分析】直接利用同底數塞的乘法運算法則進而得出答案.

【解答】解:".?7-2X71X70=7/>,

A-2-1+0=/?,

解得：p=-3.

故答案為：-3.

18.（4分）（2019?河北）如圖，約定：上方相鄰兩數之和等于這兩數下方箭頭共同指向的

數.

則（1）用含x的式子表示m—3x；

（2）當y=-2時，〃的值為1.

【考點】列代數式；代數式求值.

【分析】（1）根據約定的方法即可求出〃?:

（2）根據約定的方法即可求出n.

【解答】解：（1）根據約定的方法可得：

m=x+2x=3x^

故答案為：3%；

（2）根據約定的方法即可求出”

x+2x+2x+3=m+n=y.

當、=-2時，5x+3=-2.

解得X--1.

n—2x+3--2+3=1.

故答案為：1.

19.（4分）（2019?河北）勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系，并標示了A,B,C三

地的坐標，數據如圖（單位：km）.筆直鐵路經過A,8兩地.

（1）A,8間的距離為20km；

（2）計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路/,并在/上建一個維修站。，使。到4,C

的距離相等，則C,。間的距離為13km.

Aau)

於8,1)

?CQ-17)

【考點】勾股定理的應用.

【分析】（1）由垂線段最短以及根據兩點的縱坐標相同即可求出4B的長度；

（2）根據A、B、C三點的坐標可求出CE與AE的長度，設C￡?=x,根據勾股定理即可

求出x的值.

【解答】解：（1）由4、8兩點的縱坐標相同可知：A8〃x軸，

；.4B=12-（-8）=20；

（2）過點C作LAB于點E,連接AC,作AC的垂直平分線交直線/于點力，

由（1）可知：CE=\-（-17）=18,

AE=12,

設CD=x,

：.AD=CD=x,

由勾股定理可知:f=（18-x）2+122,

解得：x=13,

.*.00=13,

故答案為：（1）20；（2）13；

三、解答題（本大題有7個小題，共67分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

20.（8分）（2019?河北）有個填寫運算符號的游戲：在“1口2口6口9”中的每個口內，填

入+,X,土中的某一個（可重復使用），然后計算結果.

（1）計算：1+2-6-9；

（2）若1+2義6口9=-6,請推算口內的符號；

（3）在“1口2口6-9”的口內填入符號后，使計算所得數最小，直接寫出這個最小數.

【考點】有理數的混合運算.

【分析】（1）根據有理數的加減法可以解答本題；

（2）根據題目中式子的結果，可以得到口內的符號；

（3）先寫出結果，然后說明理由即可.

【解答】解：（1）1+2-6-9

=3-6-9

=-3-9

=-12；

（2）W2X6D9=-6,

，1X1X6D9=-6,

2

；.3口9=-6,

口內的符號是“-

（3）這個最小數是-20,

理由：?.,在“1口2口6-9”的口內填入符號后，使計算所得數最小，

.?.1口2口6的結果是負數即可，

.,.1D2D6的最小值是1-2X6=-11,

**.1口2口6-9的最小值是-11-9=-20,

這個最小數是-20.

21.（9分）（2019?河北）己知：整式A=（n2-1）2+（2n）2,整式B>0.

嘗試化簡整式4

發現A=B2,求整式艮

聯想由上可知，亦=（J-1）2+（2〃）2,當〃>i時，"2_],2〃，B為直角三角形的

三邊長，如圖.填寫下表中8的值：

直角三角形三邊n2-12nB

勾股數組I/817

勾股數組n35/37

5

In

if-l

【考點】幕的乘方與積的乘方；勾股數.

【分析】先根據整式的混合運算法則求出A,進而求出B,再把〃的值代入即可解答.

【解答】解：A=("2-1)2+(2/7)2=〃4-2"2+1+4"2=〃4+2〃2+]=(/+])2,

?：A=B2,B>0,

.'.B—n2+l,

當2”=8時，n=4,.,.n2+l=42+1=17；

當〃2-1=35時，/J2+1=37.

故答案為：17；37

22.(9分)(2019?河北)某球室有三種品牌的4個乒乓球，價格是7,8,9(單位：元)三

種.從中隨機拿出一個球，已知P(一次拿到8元球)=1.

(1)求這4個球價格的眾數；

(2)若甲組已拿走一個7元球訓練，乙組準備從剩余3個球中隨機拿一個訓練.

①所剩的3個球價格的中位數與原來4個球價格的中位數是否相同？并簡要說明理由；

②乙組先隨機拿出一個球后放回，之后又隨機拿一個，用列表法(如圖)求乙組兩次都

拿到8元球的概率.

又拿

先拿

甲組乙組

【考點】分式方程的應用；中位數；眾數；概率公式；列表法與樹狀圖法.

【分析】（1）由概率公式求出8元球的個數，由眾數的定義即可得出答案；

（2）①由中位數的定義即可得出答案：

②用列表法得出所有結果，乙組兩次都拿到8元球的結果有4個，由概率公式即可得出

答案.

【解答】解：⑴???尸（一次拿到8元球）=1,

2

???8元球的個數為4X2=2（個），按照從小到大的順序排列為7,8,8,9,

2

.?.這4個球價格的眾數為8元；

（2）①所剩的3個球價格的中位數與原來4個球價格的中位數相同；理由如下：

原來4個球的價格按照從小到大的順序排列為7,8,8,9,

原來4個球價格的中位數為及曳=8（元），

2

所剩的3個球價格為8,8,9,

所剩的3個球價格的中位數為8元，

???所剩的3個球價格的中位數與原來4個球價格的中位數相同；

②列表如圖所示：共有9個等可能的結果，乙組兩次都拿到8元球的結果有4個，

...乙組兩次都拿到8元球的概率為9.

9

889

S8,SS,88,9

88,88,88,9

99,89,89,9

23.（9分）（2019?河北）如圖，△42C和△AOE中，AB=AD=6,BC=DE,NB=ND=

30°,邊AZ）與邊2c交于點尸（不與點B,C重合），點B,E在AD異側，/為

的內心.

（1）求證：NBAD=NCAE；

（2）設AP=x,請用含x的式子表示尸￡）,并求PD的最大值；

（3）當ABA.AC時，ZAIC的取值范圍為m0<ZAIC<n°,分別直接寫出m,n的

【考點】圓的綜合題.

【分析】(1)由條件易證△ABC絲△?!￡)￡得/B4C=/D4E,：.ZBAD^ZCAE.

(2)PD=AD-AP=6-x,?點P在線段BC上且不與B、C重合，；.AP的最小值即

APJ_8c時AP的長度，此時PD可得最大值.

(3)/為△APC的內心，即/為△APC角平分線的交點，應用''三角形內角和等于180°

“及角平分線定義即可表示出/A/C,從而得到切，〃的值.

【解答】解：(1)在△ABC和△4￡)￡中，(如圖1)

'AB=AD

<ZB=ZD

BC=DE

/.AABC^AADE(SAS)

.'.ZBAC=ZDAE

即NBAD+/DAC=ZDAC+ZCAE

:.NBAD=NCAE.

(2)：AO=6,AP=x,

：.PD=6-x

當AD_L3C時，AP=L18=3最小，即PO=6-3=3為尸。的最大值.

2

(3)如圖2,設/BAP=a,則NAPC=a+30°,

\'AB±AC

：.ZBAC=90°,/PC4=60°,ZPAC=90°-a,

；/為△APC的內心

：.AI.C7分別平分NB4C,ZPCA,

：.ZIAC=^ZPAC,ZICA^l.ZPCA

22

.?./A/C=180°-(ZIAC+ZICA)

=180°」(NB4C+NPC4)

2

=180°-L(90°-a+60°)

2

=^-a+105°

2

V0<a<90°,

A105°<^a+105°<150°,即105°<ZA/C<150°,

2

.\m=105,n=150.

24.（10分）（2019?河北）長為300m的春游隊伍，以y（mk）的速度向東行進，如圖1和

圖2,當隊伍排尾行進到位置。時，在排尾處的甲有一物品要送到排頭，送到后立即返

回排尾，甲的往返速度均為2v（加/s）,當甲返回排尾后，他及隊伍均停止行進.設排尾

從位置。開始行進的時間為t（.v）,排頭與。的距離為S頭（〃?）.

（X尾）頭T東O尾莢東

??--------------------?--------------------------?-----

甲一》e甲

圖1圖2

（1）當丫=2時，解答：

①求S頭與f的函數關系式（不寫f的取值范圍）；

②當甲趕到排頭位置時，求S頭的值；在甲從排頭返回到排尾過程中，設甲與位置。的

距離為S甲（山），求S中與，的函數關系式（不寫,的取值范圍）

（2）設甲這次往返隊伍的總時間為T（s）,求T與v的函數關系式（不寫v的取值范圍）,

并寫出隊伍在此過程中行進的路程.

【考點】反比例函數的應用.

【分析】（1）①排頭與。的距離為S頭（機）.等于排頭行走的路程+隊伍的長300,而排

頭行進的時間也是r（s）,速度是2,〃/s,可以求出S頭與，的函數關系式；

②甲趕到排頭位置的時間可以根據追及問題的數量關系得出，代入求S即可；在甲從排

頭返回到排尾過程中，設甲與位置O的距離為S甲（，〃）是在S的基礎上減少甲返回的路

程，而甲返回的時間（總時間，減去甲從排尾趕到排頭的時間），于是可以求S甲與，的函

數關系式；

(2)甲這次往返隊伍的總時間為T(s),是甲從排尾追到排頭用的時間與從排頭返回排

尾用時的和，可以根據追及問題和相遇問題的數量關系得出結果；在甲這次往返隊伍的

過程中隊伍行進的路程=隊伍速度X返回時間.

【解答】解：(1)①排尾從位置。開始行進的時間為f(s),則排頭也離開原排頭f(s),

頭=2什300

②甲從排尾趕到排頭的時間為300+(2u-v)=300+片300+2=150s,此時S頭=2/+300

=600m

甲返回時間為：-150)s

.?.5甲=5頭-5甲回=2乂150+300-4(/-150)=-4/+1200；

因此，S頭與，的函數關系式為S頭=2/+300,當甲趕到排頭位置時，求S的值為600〃?，

在甲從排頭返回到排尾過程中，S甲與r的函數關系式為S“,=-4f+1200.

(2)T—t迫及+/返回=J00_+J00=400(

2v-v2v+vv

在甲這次往返隊伍的過程中隊伍行進的路程為：=400；

V

因此T與v的函數關系式為：7=晅，此時隊伍在此過程中行進的路程為400%

V

a尾)頭一?東o尾靠東

???---------------?

甲一》<-甲

圖1圖2

25.(10分)(2019?河北)如圖1和2,oABCQ中，AB=3,BC=15,tanND4B=9.點P

3

為AB延長線上一點，過點4作切CP于點P,設BP=x.

(1)如圖1,x為何值時，圓心。落在AP上？若此時。0交AO于點E,直接指出PE

與8c的位置關系；

(2)當x=4時，如圖2,。。與AC交于點。，求/CAP的度數，并通過計算比較弦

AP與劣弧同長度的大小；

(3)當。。與線段AO只有一個公共點時，直接寫出x的取值范圍.

【分析】（1）由三角函數定義知：Rt^PBC中，&E=tanNP8C=tanND4B=_l,設CP

BP3

=4k,BP=3k,由勾股定理可求得8P,根據“直徑所對的圓周角是直角”可得PE_LAO,

由此可得PELBC^

（2）作CGJ_AB,運用勾股定理和三角函數可求CG和AG,再應用三角函數求NCAP,

應用弧長公式求劣弧食長度，再比較它與AP長度的大小；

（3）當。0與線段AO只有一個公共點時，00與相切于點4,或。。與線段D4

的延長線相交于另一點，此時，BP只有最小值，即x）18.

【解答】解：（1）如圖1,4P經過圓心0,；CP與。。相切于P,

AZAPC=90°,

:nABCD,

J.AD//BC,

:.NPBC=NDAB

：.^-=tanZPBC=