動力學第三篇動力學引言動力學研究物體的機械運動與作用力之間的關系。動力學中所研究的力學模型是質點和質點系(包括剛體)。質點:具有一定質量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計的物體。質點系：由幾個或無限個相互有聯(lián)系的質點所組成的系統(tǒng)。剛體：質點系的一種特殊情形，其中任意兩個質點間的距離保持不變，也稱不變的質點系。工程實際中的動力學問題艦載飛機在發(fā)動機和彈射器推力作用下從甲板上起飛工程實際中的動力學問題若已知推力和跑道可能長度，則需要多大的初速度和一定的時間間隔后才能達到飛離甲板時的速度。若已知初速度、一定的時間間隔后飛離甲板時的速度，則需要彈射器施加多大推力，或者確定需要多長的跑道。工程實際中的動力學問題Fv1v2棒球在被球棒擊打后，其速度的大小和方向發(fā)生了變化。如果已知這種變化即可確定球與棒的相互作用力。工程實際中的動力學問題Av1Bv2載人飛船的交會與對接工程實際中的動力學問題航空航天器的姿態(tài)控制高速列車的振動問題工程實際中的動力學問題質點動力學基本方程第九章牛頓及其在力學發(fā)展中的貢獻牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個中等農戶家中。1661年牛頓進入了劍橋大學的三一學院，1665年獲文學學士學位。在他出生之前父親即去世，他不到三歲時母親改嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。在大學期間他全面掌握了當時的數學和光學。1665-1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病，學校暫時停辦，他回到老家。這段時間中他發(fā)現了二項式定律，開始了光學中的顏色實驗，即白光由7種色光構成的實驗。而且由于一次躺在樹下看到蘋果落地開始思索地心引力問題。在30歲時，牛頓被選為皇家學會的會員，這是當時英國最高科學榮譽。牛頓及其在力學發(fā)展中的貢獻★

牛頓在光學上的主要貢獻是發(fā)現了太陽光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說。★

牛頓在數學上的主要貢獻是與萊布尼茲各自獨立地發(fā)明了微積分，給出了二項式定理?！?/p>

牛頓在力學上最重要的貢獻，也是牛頓對整個自然科學的最重要貢獻是他的巨著《自然哲學之數學原理》。這本書出版于1687年，書中提出了萬有引力理論并且系統(tǒng)總結了前人對動力學的研究成果，后人將這本書所總結的經典力學系統(tǒng)稱為牛頓力學。9.1動力學的基本定律第一定律(慣性定律)不受力作用的質點，將保持靜止或作勻速直線運動。質點保持其原有運動狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。9.1動力學的基本定律第二定律(力與加速度關系定律)質點的質量與加速度的乘積，等于作用質點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。或在經典力學中質點的質量是守恒的，因此上面兩式等價，在相對論力學中，指點的質量與速度有關，質量已不再是常量，上面兩式也不等價。其中第一式仍然成立，第二式則不再成立。9.1動力學的基本定律質點的質量越大，其運動狀態(tài)越不容易改變，也就是質點的慣性越大。在地球表面，任何物體都受到重力P的作用。因此，質量是質點慣性的度量。上式是推導其它動力學方程的出發(fā)點，稱為動力學基本方程。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用g表示。由第二定律有或Φ為緯度國際計量標準g＝9.80665m/s2，一般取g＝9.8m/s29.1動力學的基本定律在國際單位制(SI)中，長度、時間、質量為基本量。第三定律（作用與反作用定律）兩個物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時分別作用在這兩個物體上。以牛頓定律為基礎所形成的力學理論稱為古典力學。其它量均為導出量，它們的單位則是導出單位。它們的單位以米(m)、秒(s)和千克(kg)為基本單位。它認為質點的質量是不變的，時間和空間是絕對的。必須指出的是：隨著人們研究問題的不同，所取的慣性參考系也不相同。質點受力與坐標無關，但質點的加速度與坐標的選擇有關。因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標都適用的。凡牛頓定律適用的坐標系稱為慣性坐標系。反之為非慣性坐標系。例如：研究人造衛(wèi)星的運動，可取以地心為原點，三軸指向三顆恒星的坐標系為慣性系。在一般工程問題中，把固結于地面的坐標系或相對地面作勻速直線運動的坐標系作為慣性系。9.1動力學的基本定律9.2質點的運動微分方程2.質點運動微分方程在直角坐標軸上投影1.矢量形式的質點運動微分方程3.質點運動微分方程在自然軸上投影9.2質點的運動微分方程9.3質點動力學的兩類基本問題第一類基本問題：第二類基本問題：已知質點的運動，求作用在質點上的力。這類問題其實質可歸結為數學上的求導問題。已知作用在質點上的力，求質點的運動。這類問題其實質可歸結為數學上的解微分方程或求積分問題。9.3質點動力學的兩類基本問題1.力是常數或是時間的簡單函數3.力是速度的簡單函數，分離變量積分2.力是位置的簡單函數,利用循環(huán)求導變換9.3質點動力學的兩類基本問題例1如圖，設質量為m的質點M在平面oxy內運動，已知其運動方程為x＝acoswt，y＝asinwt，求作用在質點上的力F。解：以質點M為研究對象。分析運動：由運動方程消去時間

t，得質點作橢圓運動。將運動方程對時間求兩階導數得：rFyxxbaOM9.3質點動力學的兩類基本問題代入質點運動微分方程，即可求得主動力的投影為：力F

與矢徑r

共線反向，其大小正比于矢徑r的模，方向恒指向橢圓中心。ijvrFyxxbaOM這種力稱為有心力。9.3質點動力學的兩類基本問題例2

質量為1Kg的小球M，用兩繩系住，兩繩的另一端分別連接在固定點A、B，如圖。已知小球以速度v＝2.5m/s在水平面內作勻速圓周運動，圓的半徑r＝0.5m,求兩繩的拉力。MOrBA45o60o解：以小球為研究對象，任一瞬時小球受力如圖。方向指向O點。小球在水平面內作勻速圓周運動。B60oArOMmgFBFAvan9.3質點動力學的兩類基本問題建立自然坐標系得：解得：分析:由(1)、(2)式可得:因此，只有當時，兩繩才同時受力。否則將只有其中一繩受力。B60oArOMmgFBFAvanbnt9.3質點動力學的兩類基本問題例3從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為α，如不計空氣阻力，求物體在重力單獨作用下的運動規(guī)律。解：研究拋射體,列直角坐標形式的質點運動微分方程積分后得初始條件為xyM9.3質點動力學的兩類基本問題軌跡方程為：由此可見，物體的軌跡是一拋物線。于是物體的運動方程為：確定出積分常數為：9.3質點動力學的兩類基本問題例4

垂直于地面向上發(fā)射一物體，求該物體在地球引力作用下的運動速度，并求第二宇宙速度。不計空氣阻力及地球自轉的影響。由于所以由直角坐標形式的質點運動微分方程得：由于解：以物體為研究對象，將其視為質點，建立如圖坐標。質點在任一位置受地球引力的大小為：9.3質點動力學的兩類基本問題分離變量得：設物體在地面發(fā)射的初速度為v0，在空中任一位置x處的速度為v，對上式積分得將上式改寫為9.3質點動力學的兩類基本問題若v02<2gR，則物體在某一位置x＝R+H時速度將為零，此后物體將回落，H為以初速v0向上發(fā)射物體所能達到的最大高度。將x＝R+H及v＝0代入上式可得所以物體在任意位置的速度為：可見物體的速度將隨x的增加而減小。9.3質點動力學的兩類基本問題若v02>2gR，則不論x為多大，甚至為無限大時，速度v均不會減小為零，若取g＝9.8m/s2，R＝6370km，代入上式可得這就是物體脫離地球引力范圍所需的最小初速度，稱為第二宇宙速度。因此欲使物體向上發(fā)射一去不復返時必須具有的最小速度為9.3質點動力學的兩類基本問題例5

在重力作用下以仰角a初速度v0拋射出一物體。假設空氣阻力與速度成正比，方向與速度方向相反，即FR＝-Cv，C為阻力系數。試求拋射體的運動方程。解：以物體為研究對象，將其視為質點。建立圖示坐標。在任一位置質點受力如圖。由直角坐標形式的質點運動微分方程得v0vMFRmgOyxaq9.3質點動力學的兩類基本問題因為將它們代入運動微分方程，并令，得：9.3質點動力學的兩類基本問題這是兩個獨立的線性二階常系數常微分方程，由常微分方程理論可知，它們的解為求導得其中，C1、C2

、D1、D2為積分常數，由運動初始條件確定。9.3質點動力學的兩類基本問題當t＝0時，x0＝0，y0＝0；vx0＝v0cosa，vy0＝v0sina代入以上四式，求得于是質點的運動方程為9.3質點動力學的兩類基本問題上式即為軌跡的參數方程，軌跡如圖所示。當α較大時，，當α

較小時，由運動方程求。質點的速度公式為由第一式可知軌跡漸近線為對于拋射體的射程：v0vMFRmgOyxaqA9.3質點動力學的兩類基本問題由上式可見，質點的速度在水平方向的投影vx不是常量，而是隨著時間的增加而不斷減小，當t→∞時，vx→0；質點的速度在y軸上的投影vy，隨著時間的增加，大小和方向都將變化，當t→∞時，vy→g/μ，方向鉛垂向下。因此，質點的運動經過一段時間后將鉛直向下作勻速運動。9.3質點動力學的兩類基本問題例6

如圖所示，一細常桿桿端有一小球M，其質量為m，另一端用光滑鉸固定。桿長為l，質量不計，桿在鉛垂面內運動，開始時小球位于鉛垂位置，突然給小球一水平初速度v0，求桿處于任一位置θ

時對球的約束力。解：以小球為研究對象，將其視為質點。v0qOlO1SM(+)nt建立圖示的自然坐標。由運動學知：9.3質點動力學的兩類基本問題（1）式是一常系數二階非線性微分方程，其解為橢圓積分，較為復雜。將其積分一次求出，代入（2）式即可求出FT。因為所以qOlO1Sv0mgFTM(+)nt在任一位置質點受力如圖。即由自然坐標形式的質點運動微分方程得9.3質點動力學的兩類基本問題得：由初始條件：t＝0時，q0＝0，代入上式得將其代入（2）式，得下面將計算結果作進一步的討論：9.3質點動力學的兩類基本問題

由(3)得此式表示桿在任意位置時球的速度。由此式可知:當時小球才能作圓周運動，否則球作擺動。(4)式給出約束力FT隨q角的變化規(guī)律。當q＝0時，當q＝p時，若令FT

=0，可由(4)式給出約束力為零時，桿的位置(設此時桿的位置用qA表示)所滿足的條件因此，要使FT>0，必須滿足。9.3質點動力學的兩類基本問題即若則因此，在區(qū)間范圍內，總存在確定的θA值，使小球在這一點不受桿的作用。當q<qA時，FT＞0，即小球受拉；當q>qA時，FT＜0，即小球受壓。9.3質點動力學的兩類基本問題umgs例7：質量為m長為l的擺在鉛垂面內擺動。初始時小球的速度為u,

=0。求繩作用在小球上的力F(),并分析小球的運動。解：1、取研究對象畫受力圖F

n積分上式可得：2、確定坐標系3、建立微分方程9.3質點動力學的兩類基本問題分析小球微幅擺動的運動規(guī)律運動特點：等時性