上海市七寶高中2024屆高三數學試題4月月考試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數滿足為虛數單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．2．若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．3．盒子中有編號為1，2，3，4，5，6，7的7個相同的球，從中任取3個編號不同的球，則取的3個球的編號的中位數恰好為5的概率是（）A． B． C． D．4．拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，若點，則的最小值為（）A． B． C． D．5．函數且的圖象是（）A． B．C． D．6．臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區的叫法）、撞球（中國地區的叫法）控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術，一次臺球技術表演節目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F處的目標球，最后停在點C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm7．設函數，若函數有三個零點，則（）A．12 B．11 C．6 D．38．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的右焦點為，若F到直線的距離為，則E的離心率為()A． B． C． D．9．若復數（）在復平面內的對應點在直線上，則等于()A． B． C． D．10．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．運行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為300，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積等于（）cm3A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像，則函數在區間上的值域為__________．14．若奇函數滿足，為R上的單調函數，對任意實數都有，當時，，則________.15．某校高三年級共有名學生參加了數學測驗（滿分分），已知這名學生的數學成績均不低于分，將這名學生的數學成績分組如下：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是________（填序號）．①；②這名學生中數學成績在分以下的人數為；③這名學生數學成績的中位數約為；④這名學生數學成績的平均數為．16．一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動，則容器體積的最小值為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在，角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，邊上的中線，求的面積.18．（12分）已知在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線的直角坐標方程；（2）求曲線上的點到直線距離的最小值和最大值.19．（12分）設函數．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且，求的最小值．20．（12分）如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點．求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.21．（12分）某市為了鼓勵市民節約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過度的部分按元/度收費，超過度但不超過度的部分按元/度收費，超過度的部分按元/度收費．（I）求某戶居民用電費用（單位：元）關于月用電量（單位：度）的函數解析式；（Ⅱ）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份戶居民每戶的用電量，統計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這戶居民中，今年1月份用電費用不超過元的占，求，的值；（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，若以這戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數據用該組區間的中點代替，記為該居民用戶1月份的用電費用，求的分布列和數學期望.22．（10分）每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調查某一社區人們的幸福度．現從該社區群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數,結果見如圖所示莖葉圖,其中以小數點前的一位數字為莖,小數點后的一位數字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸福”．(Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以這18人的樣本數據來估計整個社區的總體數據,若從該社區(人數很多)任選3人,記表示抽到“很幸福”的人數,求的分布列及．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

，分子分母同乘以分母的共軛復數即可.【題目詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.【題目點撥】本題考查復數的除法運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.2、B【解題分析】

由題中垂直關系，可得漸近線的方程，結合，構造齊次關系即得解【題目詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直．∴雙曲線的漸近線方程為．，得．則離心率．故選：B【題目點撥】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，考查了學生綜合分析，概念理解，數學運算的能力，屬于中檔題.3、B【解題分析】

由題意，取的3個球的編號的中位數恰好為5的情況有，所有的情況有種，由古典概型的概率公式即得解.【題目詳解】由題意，取的3個球的編號的中位數恰好為5的情況有，所有的情況有種由古典概型，取的3個球的編號的中位數恰好為5的概率為：故選：B【題目點撥】本題考查了排列組合在古典概型中的應用，考查了學生綜合分析，概念理解，數學運算的能力，屬于中檔題.4、B【解題分析】

通過拋物線的定義，轉化，要使有最小值，只需最大即可，作出切線方程即可求出比值的最小值．【題目詳解】解：由題意可知，拋物線的準線方程為，，過作垂直直線于，由拋物線的定義可知，連結，當是拋物線的切線時，有最小值，則最大，即最大，就是直線的斜率最大，設在的方程為：，所以，解得：，所以，解得，所以，．故選：．【題目點撥】本題考查拋物線的基本性質，直線與拋物線的位置關系，轉化思想的應用，屬于基礎題．5、B【解題分析】

先判斷函數的奇偶性，再取特殊值，利用零點存在性定理判斷函數零點分布情況，即可得解.【題目詳解】由題可知定義域為，，是偶函數，關于軸對稱，排除C，D.又，，在必有零點，排除A.故選：B.【題目點撥】本題考查了函數圖象的判斷，考查了函數的性質，屬于中檔題.6、D【解題分析】

過點做正方形邊的垂線，如圖，設，利用直線三角形中的邊角關系，將用表示出來，根據，列方程求出，進而可得正方形的邊長.【題目詳解】過點做正方形邊的垂線，如圖，設，則，，則，因為，則，整理化簡得，又，得，.即該正方形的邊長為.故選：D.【題目點撥】本題考查直角三角形中的邊角關系，關鍵是要構造直角三角形，是中檔題.7、B【解題分析】

畫出函數的圖象，利用函數的圖象判斷函數的零點個數，然后轉化求解，即可得出結果．【題目詳解】作出函數的圖象如圖所示，令，由圖可得關于的方程的解有兩個或三個（時有三個，時有兩個），所以關于的方程只能有一個根（若有兩個根，則關于的方程有四個或五個根），由，可得的值分別為，則故選B．【題目點撥】本題考查數形結合以及函數與方程的應用，考查轉化思想以及計算能力，屬于常考題型.8、A【解題分析】

由已知可得到直線的傾斜角為，有，再利用即可解決.【題目詳解】由F到直線的距離為，得直線的傾斜角為，所以，即，解得.故選：A.【題目點撥】本題考查橢圓離心率的問題，一般求橢圓離心率的問題時，通常是構造關于的方程或不等式，本題是一道容易題.9、C【解題分析】

由題意得，可求得，再根據共軛復數的定義可得選項.【題目詳解】由題意得，解得，所以，所以，故選：C.【題目點撥】本題考查復數的幾何表示和共軛復數的定義，屬于基礎題.10、B【解題分析】

由，可得，解出即可判斷出結論．【題目詳解】解：因為，且．，解得．是的必要不充分條件．故選：．【題目點撥】本題考查了向量數量積運算性質、三角函數求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．11、B【解題分析】

由，則輸出為300，即可得出判斷框的答案【題目詳解】由，則輸出的值為300，，故判斷框中應填？故選：．【題目點撥】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題．12、D【解題分析】解：根據幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結合圖中數據，計算它的體積為：V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=（6+1.5π）cm1．故答案為6+1.5π．點睛：根據幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結合圖中數據計算它的體積即可．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據圖像的平移變換得到函數的解析式，再利用整體思想求函數的值域.【題目詳解】函數的圖像向右平移個單位得，，，.故答案為：.【題目點撥】本題考查三角函數圖像的平移變換、值域的求解，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意整體思想的運用.14、【解題分析】

根據可得,函數是以為周期的函數，令，可求，從而可得，代入解析式即可求解.【題目詳解】令，則，由，則，所以，解得，所以，由時，，所以時，；由，所以，所以函數是以為周期的函數，，又函數為奇函數，所以.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了換元法求函數解析式、函數的奇偶性、周期性的應用，屬于中檔題.15、②③【解題分析】

由頻率分布直方圖可知，解得，故①不正確；這名學生中數學成績在分以下的人數為，故②正確；設這名學生數學成績的中位數為，則，解得，故③正確；④這名學生數學成績的平均數為，故④不正確．綜上，說法正確的序號是②③．16、【解題分析】

一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動,則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長方體的體對角線的長,長方體的體對角線的長為,所以容器體積的最小值為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)答案不唯一，見解析【解題分析】

（1）由題意根據和差角的三角函數公式可得，再根據同角三角函數基本關系可得的值；（2）在中，由余弦定理可得，解方程分別由三角形面積公式可得答案．【題目詳解】解：（1）在中，因為，又已知，所以，因為，所以，于是.所以.（2）在中，由余弦定理得，得解得或，當時，的面積，當時，的面積.【題目點撥】本題考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面積公式和分類討論思想，屬于中檔題．18、（1）（2）最大值；最小值.【解題分析】

（1）結合極坐標和直角坐標的互化公式可得；（2）利用參數方程，求解點到直線的距離公式，結合三角函數知識求解最值.【題目詳解】解：（1）因為，代入，可得直線的直角坐標方程為.（2）曲線上的點到直線的距離，其中，.故曲線上的點到直線距離的最大值，曲線上的點到直線的距離的最小值.【題目點撥】本題主要考查極坐標和直角坐標的轉化及最值問題，橢圓上的點到直線的距離的最值求解優先考慮參數方法，側重考查數學運算的核心素養.19、（1）或（2）最小值為．【解題分析】

（1）討論，，三種情況，分別計算得到答案.（2）計算得到，再利用均值不等式計算得到答案.【題目詳解】（1）當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得．所以所求不等式的解集為或．（2）根據函數圖像知：當時，，所以．因為，由，可知，所以，當且僅當，，時，等號成立．所以的最小值為．【題目點撥】本題考查了解絕對值不等式，函數最值，均值不等式，意在考查學生對于不等式，函數知識的綜合應用.20、（1）見解析（2）見解析【解題分析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連結NE.則N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.∴＝，＝.∴＝且NE與AM不共線．∴NE∥AM.∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0，0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)，∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.21、（1）；（2），；（3）見解析.【解題分析】試題分析:（1）根據題意分段表示出函數解析式;（2）將代入（1）中函數解析式可得，即，根據頻率分布直方圖可分別得到關于的方程,即可得;（3）取每段中點值作為代表的用電量,分別算出對應的費用值,對應得出每組電費的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.試題解析:（1）當時，；當當時，；當當時，，所以與之間的函數解析式為.（2）由（1）可知，當時，，則，結合頻率分布直方圖可知，∴，（3）由題意可知可取50，150，250，350，450，550，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，當時