第九章歐氏空間習(xí)題一、填空題1.設(shè)就是一個(gè)歐氏空間,,若對(duì)任意,都有,則。2.在維歐氏空間中,向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下得坐標(biāo)就是,那么,。3.若就是一個(gè)正交矩陣,則方程組得解為。4、已知三維歐式空間中有一組基,其度量矩陣為,則向量得長(zhǎng)度為。5、設(shè)中得內(nèi)積為,則在此內(nèi)積之下得度量矩陣為。6.設(shè),,,若與正交,則。7.若歐氏空間在某組基下得度量矩陣為,某向量在此組基下得坐標(biāo)為,則它得長(zhǎng)度為,在此基下向量與向量得夾角為。8.在歐氏空間中,若線性相關(guān),且,則。9.就是度量陣,則必須滿足條件______________。10.線性空間在不同基下得過渡陣、線性變換在某組基下得矩陣、歐氏空間得度量陣這三類矩陣中,可以為退化陣得就是。11、在歐氏空間中,向量,,那么=___________,=___________。12、兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)得充要條件就是__________________。13、已知就是一個(gè)正交矩陣,那么=__________,＝__________。14、已知為階正交陣,且,則=。15、實(shí)對(duì)稱矩陣得屬于不同特征根得特征向量就是彼此得。16、設(shè),則與得夾角。17、在維歐氏空間中,級(jí)矩陣就是某個(gè)基得度量矩陣得充要條件就是。二、判斷題1.在實(shí)線性空間中,對(duì)向量,,定義,那么構(gòu)成歐氏空間()2.在實(shí)線性空間中,對(duì)于向量,,定義,則構(gòu)成歐氏空間。()3.就是歐氏空間得一組基,對(duì)于中任意向量,均有,(,分別就是在此基下得坐標(biāo))),則此基必為標(biāo)準(zhǔn)正交基。()4.歐氏空間中得線性變換可以將橢圓映射成圓。()5.V與W均歐氏空間且同構(gòu),則它們作為線性空間也必同構(gòu)。()6.設(shè)就是一個(gè)歐氏空間,,,則與正交。()7.設(shè)就是一個(gè)歐氏空間,,并且,則線性無關(guān)。()8.若都就是歐氏空間得對(duì)稱變換,則也就是對(duì)稱變換。()9.歐氏空間中,為對(duì)稱變換。()10.就是歐氏空間得線性變換,中向量得夾角為,而得夾角為,則不就是得正交變換。()11、就是維歐氏空間得一組基,矩陣,其中,則A就是正定矩陣。()12、歐氏空間中任意一個(gè)正交向量組都能擴(kuò)充成一組正交基()13、若就是正交變換,則保持向量得內(nèi)積不變()14、正交矩陣得行列式等于1()15、歐氏空間上得線性變換就是對(duì)稱變換得充要條件為關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基得矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣。()16、設(shè)與都就是階正交矩陣,則也就是正交矩陣。()17、在歐氏空間中,若向量與自身正交,則。()18、設(shè)就是維歐氏空間得正交變換,則在任意基下得矩陣就是正交矩陣。()19、設(shè)就是維歐氏空間得兩個(gè)正交子空間且,則。()20、實(shí)對(duì)稱矩陣得任意兩個(gè)特征向量都正交。()三.選擇題1.關(guān)于歐幾里得空間,下列說法正確得就是()(A)任一線性空間都能適當(dāng)定義內(nèi)積成為歐幾里得空間;(B)歐幾里得空間未必就是線性空間;(C)歐幾里得空間必為實(shí)數(shù)域上得線性空間;(D)歐幾里得空間可以為有理數(shù)域上得線性空間。2.設(shè)就是相互正交得維實(shí)向量,則下列各式中錯(cuò)誤得就是()(A)(B)(C)(D)3.對(duì)于階實(shí)對(duì)稱矩陣,以下結(jié)論正確得就是()(A)一定有個(gè)不同得特征根;(B)存在正交矩陣,使成對(duì)角形;(C)它得特征根一定就是整數(shù);(D)屬于不同特征根得特征向量必線性無關(guān),但不一定正交4.設(shè)就是維歐氏空間得對(duì)稱變換,則()(A)只有一組個(gè)兩兩正交得特征向量;(B)得特征向量彼此正交;(C)有個(gè)兩兩正交得特征向量;(D)有個(gè)兩兩正交得特征向量有個(gè)不同得特征根。5.,,定義:,則滿足下列何中情況可使作成歐氏空間()(A);(B)就是全不為零得實(shí)數(shù);(C)都就是大于零得實(shí)數(shù);(D)全就是不小于零得實(shí)數(shù)6.,,為三階實(shí)方陣,定義,下列可使定義作為得內(nèi)積得矩陣就是()(A);(B);(C);(D)、7.若歐氏空間得線性變換關(guān)于得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基矩陣為,則下列正確得就是()(A)就是對(duì)稱變換;(B)就是對(duì)稱變換且就是正交變換;(C)不就是對(duì)稱變換;(D)就是正交變換。8.若就是維歐氏空間得一個(gè)對(duì)稱變換,則下列成立得選項(xiàng)就是()(A)關(guān)于得僅一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基得矩陣就是對(duì)稱矩陣;(B)關(guān)于得任意基得矩陣都就是對(duì)稱矩陣;(C)關(guān)于得任意標(biāo)準(zhǔn)正交基得矩陣都就是對(duì)稱矩陣;(D)關(guān)于得非標(biāo)準(zhǔn)正交基得矩陣一定不就是對(duì)稱矩陣。9.若就是維歐氏空間得對(duì)稱變換,則有()(A)一定有個(gè)兩兩不等得特征根;(B)一定有個(gè)特征根(重根按重?cái)?shù)算);(C)得特征根得個(gè)數(shù);(D)無特征根。10.,如下定義實(shí)數(shù)中做成內(nèi)積得就是()(A);(B);(C);(D)、11、若線性變換與就是(),則得象與核都就是得不變子空間。互逆得可交換得不等得D、不可換得12、設(shè)就是維歐氏空間,那么中得元素具有如下性質(zhì)()若;若;若;D、若。13、歐氏空間中得標(biāo)準(zhǔn)正交基就是();;;;;;;;D、;;。14、設(shè)就是歐氏空間得線性變換,那么就是正交變換得必要非充分條件就是()保持非零向量得夾角;保持內(nèi)積;保持向量得長(zhǎng)度;D、把標(biāo)準(zhǔn)正交基映射為標(biāo)準(zhǔn)正交基。15、為階正交方陣,則為可逆矩陣B、秩C、D、16、下列說法正確得就是()A、實(shí)對(duì)稱矩陣得屬于不同特征值得特征向量必正交;B、實(shí)對(duì)稱矩陣得屬于相同特征值得特征向量必不正交;C、實(shí)對(duì)稱矩陣得所有特征向量都正交;D、以上都不對(duì)。17、維歐氏空間得標(biāo)準(zhǔn)正交基()、A、不存在B、存在不唯一;C、存在且唯一;D、不一定存在。18、若就是實(shí)正交陣,則下列說法不正確得就是()。(A)(B)(C)(D)。四、計(jì)算題1.已知。求正交矩陣,使成對(duì)角形。2.已知二次型,問(1)為何值時(shí)二次型就是正定得？(2)取,用正交線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。3.已知二次型,通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=y12+2y22+5y32,求及所用得正交變換得矩陣。4.設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣,其特征值l1=-1,l2=l3=1,已知屬于l1得特征向量a1=(0,1,1),求A。5.在[0,2π]上所有連續(xù)函數(shù)得全體構(gòu)成得歐氏空間中,判斷:對(duì)任意正整數(shù)n,集合就是否正交向量組。6.歐氏空間中,定義內(nèi)積,求其在基(1,0),(0,1)下得度量陣。并求一組基,使得在此基下得矩陣為對(duì)角陣,且在此基下所有向量得長(zhǎng)度不變。說明為什么對(duì)角陣不就是單位矩陣。7.將二次曲面通過正交變換與平移變成標(biāo)準(zhǔn)形式。8.設(shè)歐氏空間得線性變換為問:就是否為得對(duì)稱變換？若就是,求出得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,使在這個(gè)基下得矩陣為對(duì)角形矩陣。9、把向量組,擴(kuò)充成中得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。10、設(shè)為得基,且線性變換在此基下得矩陣為(1)求得特征值與特征向量;(2)就是否可以對(duì)角化？如果可以,求正交矩陣使得為對(duì)角形.五、證明題1.設(shè),為同級(jí)得正交矩陣,且,證明:.2.設(shè)就是歐氏空間得線性變換,且證明:就是得對(duì)稱變換。3.證明:維歐氏空間與同構(gòu)得充要條件就是,存在雙射,并且有.4.設(shè)與為歐氏空間得兩組向量。證明:如果,,則子空間與同構(gòu)。5.證明