數列中的裂項放縮訓練題一、先求和后放縮1.已知等比數列的公比，且，是，的等差中項，數列的通項公式.（I）求數列的通項公式；（II）證明：2.設數列的前項和（I）求首項與通項公式；（II）設，求證：.3.已知正項數列{an}的n項和為Sn，且an2+2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．（I）求數列{an}的通項公式；（II）若bn，數列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的取值范圍．二、先放縮后求和4.已知是數列的前項和，，且，其中.（I）求數列的通項公式；（II）若數列滿足，是數列的前項和，求證：.5.記數列的前項和為，且滿足，，（I）求的通項公式；（II）求證：對一切，均有.6.已知正項數列的首項，其前項和為，且．數列滿足：an+1(b1+b2．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）記，證明：．三、不求通項放縮7.設公差不為零的等差數列，若是與的等比中項,,（I）求;（II）若數列滿足,，求證:.【參考解析】一、先求和后放縮1.已知等比數列的公比，且，是，的等差中項，數列的通項公式.（I）求數列的通項公式；（II）證明：【解析】（Ⅰ）由是，的等差中項得，所以，解得，由，得，解得或，因為，所以，所以；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得，，∴，2.設數列的前項和（I）求首項與通項公式；（II）設，求證：.【解析】（Ⅰ）由①得，所以.再由①有②將①和②相減得整理得，因而數列是首項為a1+2=4，公比為4的等比數列，即，因而，（Ⅱ）將代入①得所以，3.已知正項數列{an}的n項和為Sn，且an2+2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．（I）求數列{an}的通項公式；（II）若bn，數列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的取值范圍．【解析】（I）由題意，當n＝1時，a12+2a1＝4S1﹣1＝4a1﹣1，整理，得a12﹣2a1+1＝0，解得a1＝1．當n≥2時，由an2+2an＝4Sn﹣1，可得，兩式相減，可得，即an2﹣an﹣12＝2an+2an﹣1，∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝2（an+an﹣1），∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝2，∴數列{an}是以1為首項，2為公差的等差數列．∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（II）由（1）知，Sn＝n2＝n2，則bn[]，∴Tn＝b1+b2+…+bn（1）（）[][1][1]，又∵an＞0，n∈N*，∴bn＞0，∴Tn≥T1＝b1（1），∴Tn．∴Tn的取值范圍為[，）．二、先放縮后求和4.已知是數列的前項和，，且，其中.（I）求數列的通項公式；（II）若數列滿足，是數列的前項和，求證：.【解析】(I)（*），又由，求得，滿足（*）式，所以故時首項為2，公差為2的等差數列，所以.(II)，當時，；當時，.綜上，5.記數列的前項和為，且滿足，，（I）求的通項公式；（II）求證：對一切，均有.【解析】（I）由，所以，又滿足此式，所以，根據，得，所以.（II）所以當時，，當時，，顯然成立，所以.6.已知正項數列的首項，其前項和為，且．數列滿足：an+1(b1+b2．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）記，證明：．【解析】由得，兩式相減得，又由，得，進一步得.（Ⅱ）由，得，則，那么，故，同理，，故.三、不求通項放縮7.設公差不為零的等差數