euclid空間與辰空間中基的gram矩陣

在這項工作中，我們討論了基于eulid空間和公共空間中基的gram矩陣的正定性。首先，將基于eu9的空間和基于云中元素的gram矩陣概念推廣到內積空間v中向量組的gram矩陣，然后討論了gram矩陣的半正定性。最后，描述了內部積空間中關于gram行列公式的中等階層。設V是數域F上的內積空間,?:α1,α2,…,αm∈V,由這m個向量的內積(αi,αj)(i,j=1,2…,m)作成的m階矩陣G(α1,α2?αm)={(α1,α1)(α1,α2)?(α1,αm)(α2?α1)(α2?α2)?(α2?αm)??????????(αm?α1)(αm,α2)?(αm,αm)}(1)G(α1,α2?αm)=???????????(α1,α1)(α1,α2)?(α1,αm)(α2?α1)(α2?α2)?(α2?αm)??????????(αm?α1)(αm,α2)?(αm,αm)???????????(1)稱為內積空間V中向量組α1,α2,…,αm的Gram矩陣,記作:G(α1,α2,…,αm).文中約定:(α,β)表示V中向量α與β的內積,detA表示矩陣A的行列式,T(k·i,j)表示把單位陣E的i列乘以常數k加到j列上去得到的初等矩陣。定理1內積空間V中向量組α1,α2,…,αm線性相關的充要條件是:detG(α1,α2,…,αm)=0(2)證明:向量組α1,α2,…,αm線性相關當且僅當存在不全為零的一組數k1,k2,…,km使得nΣi=1Κiαi=0(3)對(3)式分別與α1,α2,…,αm作內積可得G(α1,α2,…,αm)(k1,k2,…,km)′=(0,0,…,0)′(4)齊方程組(4)有非零解的充要條件為:detG(α1,α2,…,αm)=0定理1證畢.定理2內積空間V中的向量組α1,α2,…,αm線性無關的充要條件是:detG(α1,α2,…,αm)>0(5)證明:充分性由定理1易見,現證必要性。因V中的向量組α1,α2,…,αm線性無關,對其施行Gram-Schmidt正交化:{β1=α1β2=α2-(α2,β1)(β1,β1)β1β3=α3-(α3,β2)(β2,β2)β2-(α3,β1)(β1,β1)β1?????????????βm=αm-(αm,βm-1)(βm-1,βm-1)βm-1-?-(αm,β1)(β1,β1)β1作矩陣T1,T2,…,Tm-1如下:{Τ1=Τ(1?(α2,β1)(β1,β1)+2)?Τ1=Τ((α3,β1)(β1,β1)+3)Τ(2?(α3,β2)(β2,β2)+3)???????????????????Τm-1=Τ(1?(αm,β1)(β1,β1)+m)Τ(2?(αm,β2)(β2,β2)+m)?Τ((m-1)(αm,βm-1)(βm-1,βm-1)+m)而向量組β1,β2,…,βm是正交的,故有T′m-1…T2′T1′G(α1,α2,…,αm)T1T2…Tm-1=G(β1,β2,…,βm)(6)即(T1T2…Tm-1)′G(α1,α2,…,αm)T1T2…Tm-1=G(β1,β2,…,βm)(7)矩陣T1T2…Tm-1是12m(m-1)個第三種列初等矩陣的乘積,利用行列式的性質可得detG(α1,α2,…,αm)=detG(β1,β2,…,βm)(8)而detG(β1,β2,…,βm)=‖β1‖2‖β2‖2…‖βm‖2〉0定理2證畢.定理3設α1,α2,…,αm是V中的向量組,則Gram矩陣G(α1,α2,…,αm)是半正定的.證明:由定理1與定理2可知矩陣G(α1,α2,…,αm)的順序主子式:{△1=(α1,α1)≥0△2=detG((α1,α2)≥0????????????△m=detG(α1,α2,?,αm)故Gram矩陣G(α1,α2,…,αm)是半正定的,證畢.推論1若β1,β2,…,βm是由V中線性無關的向量組α1,α2,…,αm經Schmidt正交化得到,則∥βk∥=√detG(α1,α2,?,αk)detG(α1,α2,?,αk-1)(k=1,2,?,m)(9)約定零個向量的Gram行列式為1.證明:由(8)式可得∥βk∥2=detG(α1,α2,?,αk)∥β1∥2∥β2∥2?∥βk-1∥2=detG(α1,α2,?,αk)detG(α1,α2,?,αk-1)所以∥βk∥=√detG(α1,α2,?,αk)detG(α1,α2,?,αk-1)(k=1,2,?,m)推論2對于V中的向量組α1,α2,αm有0≤detG(α1,α2,…,αm)≤‖α1‖2‖α2‖2…‖αm‖2(10)左半部分等式成立當且僅當α1,α2,…,αm線性相關;右半部分等式成立當且僅當α1,α2,…,αm兩兩正交或其中含有零向量。左半部分可由定理3直接得到,右半部分可用數學歸納法證明,證明從略。記d(α,β)=√(α-β,α-β),?:α,β∈V令n=2,分別取V=(En,d)、(R∞,d)便得到detG(α1,α2)=|(α1,α2)(α1,α2)(α2,α1)(α2,α2)|≥0?(α1,α2)2≤(α1,α1)(α2,α2)?這就是n維Euclid空間、Hilbert空間中的Cauchy-Schwarz不等式,不等式(10)的左半