7.2概率、統計與統計案例專題七內容索引0102考情分析?備考定向高頻考點?探究突破03預測演練?鞏固提升考情分析?備考定向試題統計題型命題規律復習策略(2018全國Ⅰ,理10)

(2018全國Ⅱ,理8)(2018全國Ⅱ,理18) (2018全國Ⅲ,理18)(2019全國Ⅰ,理6) (2019全國Ⅰ,理15)(2019全國Ⅱ,理5) (2019全國Ⅱ,理13)(2019全國Ⅱ,理18) (2019全國Ⅲ,理17)(2020全國Ⅰ,理5) (2020全國Ⅱ,理3)(2020全國Ⅱ,理14) (2020全國Ⅱ,理18)(2020全國Ⅲ,理3) (2020全國Ⅲ,理18)(2021全國乙,理17) (2021全國甲,理2)(2021全國甲,理17) (2022全國乙,理13)(2022全國乙,理19) (2022全國甲,理15)選擇題填空題解答題從近五年高考試題來看,高考對概率的考查重點是基本概念和基本公式,如互斥事件的概率、古典概型、幾何概型等;高考對統計與統計案例的考查密度小,有增強的趨勢,考查的重點有用樣本估計總體、回歸分析和獨立性檢驗等.抓住考查的主要題目類型進行訓練,特別是互斥事件的概率、古典概型、幾何概型、用樣本估計總體、回歸分析、獨立性檢驗等.高頻考點?探究突破命題熱點一古典概型的概率【思考】

怎樣判斷一個概率模型是古典概型?如何計算古典概型的基本事件總數?例1(1)若4名同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為(

)DC(方法二)周六沒有同學參加公益活動即4名同學均在周日參加公益活動,此時只有一種情況;同理周日沒有同學參加公益活動也只有一種情況,所以周六、周日均有同學參加公益活動的情況共有16-2=14(種).故所求概率為題后反思1.具有以下兩個特點的概率模型簡稱古典概型:(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;(2)每個基本事件出現的可能性相等.2.對古典概型的基本事件總數,利用兩個計數原理或者排列、組合的知識進行計算.對點訓練1(1)(2022新高考Ⅰ,5)從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數,則這2個數互質的概率為(

)(2)在某次表彰會上,共有36人受到表彰,其中男性多于女性,現從中隨機選出2人作為代表上臺領獎,若選出的兩人性別相同的概率為,則受表彰人員中男性人數為(

)A.15 B.18C.21 D.15或21DC解析:

(1)從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數,共有

=21(種)不同的取法,若兩數不互質,則不同的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7種,故所求概率P=故選D.(2)設受表彰人員中男性有x人,則女性有(36-x)人,其中x>0,且36-x>0,∵男性多于女性,∴x>36-x,即x>18.∴18<x<36.∴x=21或x=15(舍去),故受表彰人員中男性有21人.命題熱點二幾何概型的概率【思考】

幾何概型有什么特點?解答幾何概型問題的關鍵點是什么?例2(1)七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具,是由七塊板組成的,而這七塊板可拼成許多圖形.例如,三角形、不規則多邊形、各種人物、動物、建筑物等.如圖,若用七巧板拼成一只雄雞,在雄雞平面圖形上隨機取一點,則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為(

)(2)在區間[-1,1]上隨機取一個實數k,使直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交的概率為(

)答案:

(1)C

(2)D解析:

(1)設包含7塊板的正方形邊長為4,其面積為4×4=16,則雄雞雞尾的面積為標號為6的板塊的面積,為2×1=2,所以在雄雞平面圖形上隨機取一點,則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概題后反思幾何概型考查的主要類型有線型幾何概型、面型幾何概型和體型幾何概型.(1)線型幾何概型:適用于基本事件只受一個連續的變量控制的幾何概型計算.(2)面型幾何概型:適用于基本事件受兩個連續的變量控制的情況,一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標.這樣基本事件就構成了平面上的一個區域.即可借助平面區域解決.(3)體型幾何概型:若一個隨機事件需要用三個連續變量來描述,則可用這三個變量組成的有序數組來表示基本事件,利用空間直角坐標系即可建立與體積有關的幾何概型.對點訓練2(1)魏晉時期數學家劉徽在他的著作《九章算術注》中,稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”(如圖),通過計算得知正方體的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為3∶2.若在該“牟合方蓋”內任取一點,則此點取自正方體內切球內的概率為(

)(2)甲、乙兩人相約10天內在某地會面,約定先到的人等候另一個人,經過三天后方可離開.若他們在期限內到達目的地是等可能的,則此二人會面的概率是(

)A.0.5 B.0.51

C.0.75

D.0.4(2)設甲、乙兩人到達的時間點分別為x,y,根據題意可得0≤x≤10,0≤y≤10,如圖,可得可行域為邊長為10的正方形,若要會面,則|x-y|≤3,其對應區域為圖中陰影部分,根據幾何概型,此二人會命題熱點三頻率分布直方圖的應用【思考】

觀察頻率分布直方圖能得到哪些信息?例3經銷商經銷某種農產品,在一個銷售季度內,每售出1t該產品獲利潤500元,未售出的產品,每1t虧損300元.根據歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤.(1)將T表示為X的函數;(2)根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率;(3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區間中點值代表該組的各個值,并以需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率),求T的數學期望.解:

(1)當X∈[100,130)時,T=500X-300(130-X)=800X-39

000,當X∈[130,150]時,T=500×130=65

000.(2)由(1)知利潤T不少于57

000元當且僅當120≤X≤150.由題中直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57

000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為

T45

00053

00061

00065

000P0.10.20.30.4所以E(T)=45

000×0.1+53

000×0.2+61

000×0.3+65

000×0.4=59

400.題后反思解決頻率分布直方圖的問題,關鍵在于找出圖中數據之間的聯系.在這些數據中,直接的有組距、

,間接的有頻率、小長方形的面積,合理使用這些數據,再結合兩個等量關系:小長方形面積=組距×=頻率,小長方形面積之和等于1,即頻率之和等于1,就可以解決頻率分布直方圖的有關問題.對點訓練3某生物研究小組準備探究某種蜻蜓的翼長分布規律,隨機捕捉20只該種蜻蜓,測量它們的翼長(翼長為整數,單位:mm)并繪制成如下的莖葉圖和一部分頻率分布直方圖,其中莖葉圖中有一處數字看不清(用a表示),但已知莖葉圖中每一行的數據都按照從小到大的順序排列且無相同數據,頻率分布直方圖每個分組含左端點不含右端點.(1)求a的值;(2)根據莖葉圖將頻率分布直方圖補充完整;(3)分別根據莖葉圖和頻率分布直方圖計算蜻蜓翼長的中位數,并分析哪個中位數可以更準確地反映蜻蜓翼長的總體情況.解:

(1)由題意可得,區間[40,45)上對應的個體個數為0.03×5×20=3,對應的三個數據分別為41,42,43,因此a必須要大于4且小于6,從而a=5.(2)區間[35,40),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65)對應的縱坐標分別為所以頻率分布直方圖如下:(3)根據莖葉圖可得,蜻蜓翼長的中位數為

=49.5(mm).根據頻率分布直方圖可得,蜻蜓翼長位于區間[35,50)上的頻率為(0.03+0.03+0.04)×5=0.5,因此中位數為50

mm.利用莖葉圖得到的中位數更加準確,因為頻率分布直方圖損失了樣本的部分信息,數據的分組對數字特征的估計結果也有影響;莖葉圖是原始數據,記錄了樣本的全部信息,所以能更準確地反映蜻蜓翼長的總體情況.命題熱點四回歸方程的求法及回歸分析【思考】

兩個變量具備什么關系才能用線性回歸方程來預測?如何判斷兩個變量具有這種關系?例4某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi(i=1,2,…,8)和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數據作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統計量的值.(1)根據散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據,建立y關于x的回歸方程.(3)已知這種產品的年利潤z與x,y的關系為z=0.2y-x.根據(2)的結果回答下列問題:①年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?②年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大?(3)①由(2)知,當x=49時,年銷售量y的預報值

題后反思當兩個變量之間具有線性相關關系時,才可通過線性回歸方程來估計和預測.對兩個變量的線性相關關系的判斷有兩種方法:一是根據散點圖,具有很強的直觀性,直接得出兩個變量是正相關或負相關;二是計算相關系數法,這種方法能比較準確地反映相關程度,相關系數的絕對值越接近1,相關性就越強.對點訓練4垃圾是人類日常生活和生產中產生的廢棄物,因為排出量大,成分復雜多樣,且具有污染性,所以需要無害化、減量化處理.某市為調查產生的垃圾數量,采用簡單隨機抽樣的方法抽取20個縣城進行了分析,得到樣本數據(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個縣城的人口(單位:萬人)(1)請用相關系數說明該組數據中y與x之間的關系可用線性回歸模型進行擬合;(2)求y關于x的線性回歸方程,用所求回歸方程預測該市10萬人口的縣城年垃圾產生總量約為多少噸?當x=10時,

=8.75×10+165=252.5,所以該市10萬人口的縣城年垃圾產生總量約為252.5噸.命題熱點五獨立性檢驗【思考】

獨立性檢驗有什么用途?例5甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營,為了解這兩家公司的長途客車的運行情況,隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯表:公司準點班次數未準點班次數A24020B21030(1)根據上表,分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率;(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關?P(K2≥k0)0.1000.0500.010k02.7063.8416.635解:

(1)一共調查了A公司260個班次的長途客車,其中有240個班次的長途客車準點,故估計A公司的長途客車準點的概率為一共調查了B公司240個班次的長途客車,其中有210個班次的長途客車準點,故估計B公司的長途客車準點的概率為(2)根據已知數據得到列聯表如下:公司準點班次數未準點班次數合計A24020260B21030240合計45050500所以能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關.題后反思利用獨立性檢驗,能夠幫助我們對日常生活中的實際問題作出合理的推斷和預測.獨立性檢驗就是考查兩個分類變量是否有關系,并能較為準確地給出這種判斷的可信度,具體做法是根據公式K2=計算隨機變量的觀測值k,k值越大,說明“兩個變量有關系”的可能性越大.對點訓練5某外賣平臺為提高外賣配送效率,針對外賣配送業務提出了兩種新的配送方案.為比較兩種配送方案的效率,共選取50名外賣騎手,并將他們隨機分成兩組,每組25人,第一組騎手用甲配送方案,第二組騎手用乙配送方案.根據騎手在相同時間內完成配送訂單的數量(單位:單)繪制了如下莖葉圖:(1)根據莖葉圖,求各組內25名騎手完成訂單數的中位數,已知用甲配送方案的25名騎手完成訂單數的平均數為52,結合中位數與平均數判斷哪種配送方案的效率更高,并說明理由;(2)設所有50名騎手在相同時間內完成訂單數的平均數為m,將完成訂單數超過m記為“優秀”,不超過m記為“一般”,然后將騎手的對應人數填入下面列聯表;方案優秀一般甲配送方案

乙配送方案

(3)根據(2)中的列聯表,判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為兩種配送方案的效率有差異.P(K2≥k0)0.0500.0100.005k03.8416.6357.879解:

(1)用甲配送方案的騎手完成外賣訂單數的中位數為53,用乙配送方案的騎手完成外賣訂單數的中位數為49.由題意可知用乙配送方案的騎手完成外賣訂單數的平均數為49,49<52,故甲配送方案的效率更高.列聯表如下:方案優秀一般甲配送方案178乙配送方案916所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為兩種配送方案的效率有差異.預測演練?鞏固提升1.為了解某地農村經濟情況,對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查,將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖:根據此頻率分布直方圖,下面結論中不正確的是(

)A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間C解析:

該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為(0.02+0.04)×1=6%,A正確;該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為(0.04+0.02+0.02+0.02)×1=10%,B正確;該地農戶家庭年收入的平均值約為0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68(萬元),C不正確;該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比率約為(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=64%,D正確.2.(2022重慶三模)北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相,好評不斷.為了研究“冰墩墩”與“雪容融”在不同性別的人群中受歡迎程度是否存在差異,某機構從關注冬奧會公眾號的用戶中隨機調查了100人,得到如下2×2列聯表:喜歡的吉祥物性別合計男女更喜歡“冰墩墩”251540更喜歡“雪容融”253560合計5050100附表:P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828則下列說法正確的是(

)A.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,可以認為“對兩個吉祥物的喜好傾向與性別無關”B.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,可以認為“對兩個吉祥物的喜好傾向與性別有關